1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (Колесников - Лекции), страница 2

Рассмотримr = 0b = qa + r ⇒r 6= 0,по предположению индукции.⇒ a | b ⇒ a ∈ gcd(a, b);δ(r) < n ⇒ ∃d ∈ gcd(r, a)Если d ∈ gcd(r, a), то d ∈ gcd(a, b):d | r, d | a, b = qa + r ⇒ d | b;h | a, h | b, r = b − qa ⇒ h | r ⇒ h | d.Пример.Найти НОД в кольце Z для a = 5265, b = 9984.9984 = 1 · 5265 + 4719 ⇒ надо найти НОД(5265, 4719)5265 = 1 · 4719 + 546 ⇒ надо найти НОД(4719, 546)4719 = 8 · 546 + 351 ⇒ надо найти НОД(546, 351)546 = 1 · 351 + 195 ⇒ надо найти НОД(351, 195)351 = 1 · 195 + 156 ⇒ надо найти НОД(195, 156)195 = 1 · 156 + 39 ⇒ надо найти НОД(156, 39)156 = 4 · 39 ⇒ НОД равен 39.Теорема.Пусть R — евклидово кольцо, a, b ∈ R, a, b 6= 0, d ∈ gcd(a, b).

Тогда найдутсятакие x, y ∈ R, что ax + by = d.Доказательство. Индукцией по n = min{δ(a), δ(b)}.n = 0 (δ(a) = 0): a ∼ 1, d ∼ 1 ⇒ d = ax + b0, где x = da−1 ∼ 1.Пусть n = δ(a) ≤ δ(b) для определенности. Тогдаr = 0b = aq + r ⇒r 6= 0,a | b ⇒ d ∼ a : d = ax + b0, x ∼ 1;δ(r) < n, ⇒ d ∈ gcd(r, a) ⇒ d = rx′ + ay ′по предположению индукции. Подставим r = b − aq:d = (b − aq)x′ + ay ′ = a(y ′ − qx′) + bx′.Пример.39 ∈ gcd(5265, 9984). Найдем x, y ∈ Z такие, что 39 = 5265x + 9984y.195 = 1 · 156 + 39351 = 1 · 195 + 156546 = 1 · 351 + 19539 = 195 − 15639 = 195 − (351 − 195) = 2 · 195 − 1 · 35139 = 2 · (546 − 351) − 1 · 351 = 2 · 546 − 3 · 3514719 = 8 · 546 + 35139 = 2 · 546 − 3 · (4719 − 8 · 546) = 26 · 546 − 3 · 47195265 = 1 · 4719 + 54639 = 26 · (5265 − 4719) − 3 · 4719 = 26 · 5265 − 29 · 47199984 = 1 · 5265 + 471939 = 26 · 5265 − 29 · (9984 − 5265) = 55 · 5265 − 29 · 9984Следствие. Если a, b — взаимно простые элементы евклидова кольца R,то найдутся такие x, y ∈ R, что ax + by = 1.Упражнение.

Докажите обратное утверждение: если в целостном кольцеR для двух ненулевых элементов a, b ∈ R найдутся такие x, y ∈ R, чтоax + by = 1, то a и b — взаимно просты.Факториальность евклидовых колецЛемма.Пусть R — евклидово кольцо, b, c ∈ R — ненулевые элементы. Если a = bc,b, c — необратимые, то δ(b), δ(c) < δ(a).Доказательство. Допустим,δ(a) = δ(bc) = δ(b).Рассмотримb = qa + r,δ(r) < δ(a) = δ(b)(случай r = 0 невозможен)b = qbc + r ⇒ r = b(1 − qc) ⇒ δ(r) ≥ δ(b)— противоречие.Теорема.Всякое евклидово кольцо факториально.Доказательство.Пусть R — евклидово кольцо. Проверим критерий факториальности.Условие (Ф1): вытекает из предыдущей леммы индукцией по δ(a)Далее,p | bc ⇒ p | b или p | c?Да: p 6 | b ⇒ 1 = px + by ⇒ c = pxc + bcy = p(.

. . ).Следствие.Следующие кольца факториальны:• Z;• F [x], где F — поле;• Z[i], i2 = −1 (упражнение).Упражнение. Являются ли евклидовыми следующие кольца:• F [[x]]?√• Z[ 2]? (Сравните с Z[i].)√√√• Z[ 5]? (Используйте 2 · 2 = (3 + 5)(3 − 5).)Лемма ГауссаПусть R — факториальное кольцо,f (x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ R[x] — ненулевой многочлен степени n(an 6= 0).НОД всех его коэффициентов назовем содержанием многочлена f (x):c(f ) = gcd(a0, a1, .

. . , an)Если c(f ) = [1], то многочлен называется примитивным.Теорема (лемма Гаусса).Пусть R — факториальное кольцо,f (x), g(x) ∈ R[x] — примитивные многочлены.Тогда f (x)g(x) — тоже примитивный многочлен.Доказательство. Допустим противное и выберем простое p | c(f g).f (x) = a0 + a1x + · · · + as−1xs−1 + asxs + · · · + anxn,s≥0g(x) = b0 + b1x + · · · + br−1xr−1 + br xr + · · · + bmxm,r≥0f (x)g(x) = · · · + cr+sxr+s + . .

.cr+s =Xi+j=r+saibj = · · · + as+1br−1 + asbr + as−1br+1 + . . .p 6 | asbr ⇒ p 6 | c(f g) — противоречие.Следствие.Для любых ненулевых f (x), g(x) ∈ R[x] имеемc(f )c(g) = c(f g)в естественном смысле:d1 ∈ c(f ), d2 ∈ c(g) ⇒ d1d2 ∈ c(f g).Следствие.Пусть f (x) ∈ R[x], deg f ≥ 1 — многочлен, который нельзя представить ввиде f (x) = f1(x)f2(x), fi(x) ∈ R[x], deg fi ≥ 1. Тогда f (x) ∈ R[x] ⊆ Q(R)[x]неприводим над полем Q(R).Доказательство.

Допустим противное:f (x) = g1(x)g2(x),deg gi ≥ 1, gi ∈ Q(R)[x].Тогда найдутся такие q1, q2 ∈ R \ {0}, чтоh1(x) = q1g1(x) и h2(x) = q2g2(x)лежат в R[x](домножим на НОК знаменателей).Выделим примитивные части многочленов hi(x):h1(x) = c(h1)f1(x),h2(x) = c(h2)f2(x),fi(x) ∈ R[x] примитивные.Тогдаh(x) = (q1q2)f (x) = (q1g1(x))(q2g2(x)) = h1(x)h2(x) = c(h1)c(h2)f1(x)f2(x).По лемме Гаусса f1(x)f2(x) — примитивный многочлен, поэтому изh(x) = (q1q2)f (x) = c(h1)c(h2)f1(x)f2(x)следует, чтоc(h) = (q1q2)c(f ) = c(h1)c(h2) ⇒ q1q2 | c(h1)c(h2).Отсюдаf (x) =c(h1)c(h2)f1 f2 ,q1 q2deg fi ≥ 1,— разложение на нетривиальные множители в R[x]. Противоречие.Факториальность кольца многочленов от нескольких переменныхF — поле;F [x] — евклидово ⇒ факториальное; F [x, y] = (F [x])[y] — не евклидово(есть неглавные идеалы);(?) F [x1, .

. . , xn] факториальноеДостаточно показать, что кольцо многочленовнад факториальным кольцом само является факториальным.Пусть R — факториальное кольцо.Тогда R[x] — целостное.• Обратимые элементы R = обратимые элементы R[x];• p ∈ R простой ⇒ p ∈ R[x] простой;• f (x) ∈ R[x] f (x) ∈ Q(R)[x] примит., непр.

над Q(R),простой ⇒f (x) = p ∈ R простой в R,• f (x) ∈ R[x] примитивный, неприводимый над Q(R)⇒ f (x) — простой в R[x].deg f > 0;deg f = 0.Теорема. Пусть R — факториальное кольцо. Тогда R[x] факториально.Доказательство. Проверим критерий факториальности.(Ф1): Разложить f (x) ∈ R[x] на произведение простых.Выберем b ∈ c(f ) и представим f (x) = bf1(x), f1(x) ∈ R[x] примитивный.Разложим b на простые множители в R:b = p1 . . . pk , pi — простые и в R[x].Индукцией по степени покажем, что всякий примитивный многочленf1(x) ∈ R[x] разлагается в произведение примитивных многочленовиз R[x], неприводимых над Q(R).deg f1 = 1 — сам неприводим;deg f1 > 1 и f1 приводим над Q(R).

По следствию из леммы Гауссаf1(x) = h1(x)h2(x),hi(x) ∈ R[x], 0 < deg hi < deg f1.При этом [1] = c(f1) = c(h1)c(h2) ⇒ hi — примитивные.По предположению индукции каждый из hi(x) разлагается в произведениепростых из R[x] ⇒ существует разложение для f1(x).(Ф2): Пусть f (x), g(x) ∈ R[x]. Проверим, что если p(x) — простой в R[x],то(?)p(x) | f (x)g(x) ⇒ p(x) | f (x) или p(x) | g(x)в кольце R[x].Если p(x) = p ∈ R, то утверждение очевидно:p | f (x)g(x) ⇒ p | c(f g) = c(f )c(g) ⇒ p | c(f ) или p | c(g)откуда p | f или p | g в R[x].Если p(x) — примитивный неприводимый над Q(R),то p(x) | f (x) или p(x) | g(x) в кольце Q(R)[x],так как Q(R) — поле ⇒ Q(R)[x] евклидово ⇒ факториально.Например, еслиf (x) = p(x)q(x),q(x) ∈ Q(R)[x],то найдется b ∈ R такое, что bq(x) ∈ R[x].

Тогдаbf (x) = p(x)bq(x),сравним содержание левой и правой частей:c(bf (x)) = bc(f (x)),c(p(x)bq(x)) = c(p(x))c(bq(x)) = c(bq(x))bc(f (x)) = c(bq(x)) ⇒ b | c(bq(x)),что возможно лишь при q(x) ∈ R[x].Следствие.F [x1, . . . , xn] над полем F факториально.Доказательство. Индукцией по n.n = 1: F [x1] евклидово ⇒ факториально;n − 1 → n: F [x1, . . . , xn] = F [x1, . . . , xn−1] [xn].Следствие.Пусть f (x1, . . .

, xn) ∈ F [x1, . . . , xn]. Еслиf (x1, . . . , xn)|xi=xj = 0тоxi − xj | fв кольце F [x1, . . . , xn].при i 6= j,Доказательство. ОбозначимR = F [x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn],t = xi ,a = xj ∈ R.Тогда F [x1, . . . , xn] = R[t],f = g(t) ∈ R[t] ⊂ Q(R)[t],причем g(a) = 0. По теореме Безуt − a | g(t) = fв кольце Q(R)[t], но процедура деления с остатком на унитарный многочлен(t − a) показывает, что коэффициенты частного лежат в R. Значит,f = g(t) = (t − a)q(t),q(t) ∈ R[t].Степень и вес многочлена от нескольких переменныхR — целостное кольцо, f ∈ R[x1, .

. . , xn] — ненулевой многочлен;f (x1, . . . , xn) =Xm1 ,...,mn ≥0mnam1,...,mn x1 1 . . . xmn ,am1,...,mn ∈ R,его степенью называется числоdeg f = max{m1 + m2 + · · · + mn : am1,...,mn 6= 0}Многочлен f называется однородным, если m1 + · · · + mn = deg f для всехm1, . . . , mn таких, что am1,...,mn 6= 0.Весом однородного многочлена f называетсяwt f = max{m1 + 2m2 + · · · + nmn : am1,...,mn 6= 0}(есть только один такой одночлен — старший в f ).Очевидно,deg(f g) = deg f + deg g,wt(f g) = wt f + wt g.Пример (определитель ван-дер-Монда).Вычислить1...1 1 x1x...xn 2W =.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n−1n−1x1xn−1...xn2Из формулы полного раскрытия определителя следует, чтоW ∈ Z[x1, . . . , xn] — однородный многочлен, причемn−2xW = xn−1nn−1 . . . x2 + . . .deg W = (n − 1) + (n − 2) + · · · + 1 = n(n − 1)/2.С другой стороны, W = 0 при xi = xj (i 6= j), поэтому(xi − xj ) | W,i>jнеприводимые, взаимно простые многочлены.Факториальность ⇒Y1≤j<i≤n(xi − xj ) | WноY1≤j<i≤nn−2(xi −xj ) = (xn −xn−1) . . . (xn −x1) . .

. . . . (x2 −x1) = xn−1n xn−1 . . . x2 +. . .Значит,W =Y1≤j<i≤n(xi − xj )12. Симметрические многочленыПусть R — целостное кольцо.Многочлен f ∈ R[x1, . . . , xn] называется симметрическим, еслиf (x1, . . . , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n))для любого σ ∈ Sn,т.е. многочлен f не меняется при перестановке переменных.Примеры (n = 3)x1 + x2 + x3 ,x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 ,22222x21 x2 + x2 x3 + x1 x3 + x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 ,...Простейшие свойства:• Если f, g ∈ R[x1, . .