Построение сеток в задачах авиационной и космической техники - А.М. Молчанов, М.А. Щербаков, Д.С. Янышев, М.Ю. Куприков, Л.В. Быков. 2013, страница 7

Учитывая условие (2.35), получаем: 2  x j x j x j  x j  k     m   xxjkmj k  m  2    m   kx j x j  k  m x j  k  x j   m k  m  2 2 m   k  m  2Pm  0x j x j  k  m x j x j  m x j x j  k  m  mт.к. производную mx j(2.36)можно рассматривать как сложную функциюнезависимых аргументов  k , и, соответственно, использовать формулупроизводной сложной функции: 2 m   m     m   k  k    m x j x j x j  x j   k  x j  x j x j  k  x j (2.37)Подставляем в уравнение (2.36) функцию   xi ( очевидно, что на неесправедливо соотношение (2.35) ) и получаем уравнения k  m  2 xix i Pm  0x j x j  k  m  m(2.38)Введем обозначениеg k ,m  k  mx j x j49(2.39)Конкретные значения:22        g1,1       ; g1,2  g 2,1 ;xyxxyy   2     g 2,2    x   y (2.40)2Расписываем уравнение (2.38):g1,22 x2 x 2 x xx2ggPQ01,22,222(2.41)2 y2 y 2 y yyg1,2 2  2 g1,2 g 2,2 2 PQ0Полученнаясистемадифференциальных уравнений вчастныхпроизводных является нелинейной, т.к.

входящие в нее коэффициентызависят от неизвестных величин. Она решается численными методами.Контрольные функции могут быть заданы формулами [4]:NP  ,    ann 1NQ   ,     ann 1  n  ec  nNn  n,(2.42)nNn  i  e d       b,(2.43)n 12 1/22iin 1  n  e c    n   i  e d       bii  i2 1/ 22ii  iiiгде N - количество линий (координатных линий    n и   n ), а I число точек ( с координатами    i ,  i ), возле которых сетка должнасгущаться, коэффициенты an , cn , bi , d i - положительные параметры. Первыйчлен в (2.42)приводит к смещению линий ξ=const линии    n , а первыйчлен в (2.43)приводит к смещению линий η=const к линии   n .

Вторыечлены в формулах (2.42) и (2.43)приводят к сгущению линий сетки ξ=const и50η=const к точкеi ,i  .Для тонких тел вторые члены могут бытьиспользованы для концентрации точек вблизи передней и задней кромок.Кроме эллиптических методов построения сеток, описанных выше,следует упомянуть такие дифференциальные методы, как гиперболические,конформные преобразования и т.д.2.1.7.Примерыпостроениясеточныхмоделейдифференциальными методамиНарисункахпредставленыпримерыпостроениясетокдифференциальными методами.Рисунок 2.1.19 Дифференциальные методы построения сеток.

Пример №151Рисунок 2.1.20 Дифференциальные методы построения сеток. Пример №2Рисунок 2.1.21 Дифференциальные методы построения сеток. Пример №352Рисунок 2.1.22 Дифференциальные методы построения сеток. Пример №453Рисунок 2.1.23 Дифференциальные методы построения сеток. Пример №5Рисунок 2.1.24 Дифференциальные методы построения сеток. Пример №6542.2. Построение неструктурированных сетокКак уже упоминалось в предыдущем разделе, при несомненныхпреимуществах структурированных сеток по части использования машиннойпамяти и времени счёта их построение часто представляет собой весьматрудоёмкуюзадачу.Позднее,разбираяпрактическиепримеры,представленные в данном пособии, вы сможете убедиться в этом напрактике.Более простыми с точки зрения пользователя в плане построенияпредставляются сетки неструктурированные.Согласноопределению,неструктурированнойсеткойназываютпроизвольное разбиение заданной области пространства на простые фигуры,такие как параллелограммы, тетраэдры, пирамиды и ряд других.Таким образом, неструктурированную сетку можно построить длялюбой, сколь угодно сложной геометрии.Рассмотрим небольшой пример.

Пусть имеется некоторая область (см.рисунок 2.2.1).Рисунок 2.2.1 Область, для которой необходимо построить сетку55Дляэтойобластибылапостроенанеструктурированнаясетка,представленная на рисунке 2.2.2.Рисунок 2.2.2 Неструктурированная стека, состоящая из треугольных элементовЕсли внимательно изучить рисунок 2.2.2, то можно заметить, чтопостроенная сетка является не совсем точным представлением исходнойгеометрии, представленной на рисунке 2.2.1. В частности, окружность 1 идуга 2 теперь представляют собой соответственно многоугольник и ломануюлинию, образованные сторонами треугольных элементов.

Исходя из этого,точность аппроксимации границ является одним из факторов, налагающихограничение на максимальный размер элементов неструктурированнойсетки.Чтожепредставляютсобойнеструктурированныесеткивматематическом плане? Если структурированная сетка по своей сути естьматематическоевыражение,задающеекоординатывсехузлов,тонеструктурированная сетка – это достаточно большой массив данных,содержащий информацию о всех узлах, элементах и взаимосвязях междуними.Форматпредставленияэтихданныхзависитотконкретногопрограммного пакета, но в целом в любом файле неструктурированной сетки56представлены данные, которые условно можно разделить на три большихблока:1.

Массив, в котором последовательно перечисляются координаты всехузлов сетки:x1y1z1x2y2z2x3y3z3………2. Массив, содержащий информацию о типе каждого элемента иномерах узлов, входящих в данный элемент:ТипПервый узел Второй узелэлемента…элемента 1элемента 11ТипПервый узел Второй узелэлемента…элемента 2элемента 22ТипПервый узел Второй узелэлемента…элемента 2элемента 22…………3. Массив, содержащий информацию о принадлежностях каждогоэлемента к какой либо границе, либо внутреннему объёму сетки:Наименованиеграницыиливнутреннего объёма 1Номера элементов, принадлежащихданной границе или объёмуНаименованиеграницыиливнутреннего объёма 2Номера элементов, принадлежащихданной границе или объёму…..Теперь подробнее рассмотрим основные способы построениянеструктурированных сеток.Процесс построения неструктурированных сеток итеративен.

Имеянекоторую начальную сетку, её последовательно сглаживают, пока не будут57удовлетворены требуемые критерии качества и достигнут заданный уровеньаппроксимации геометрии.Рассмотрим стадии этого процесса подробнее.2.2.1.Типы элементов и критерии их качестваПеречислим основные типы элементов сетки:ДвухмерныеТреугольникЧетырёхугольникТрёхмерныеТетраэдрГексаэдр58ПирамидаПризмаКритериев качества сетки разработано достаточно много, но в целом ониимеют такой вид, что идеально качественными согласно им будутдвухмерном случае считаться правильный треугольник и квадрат, а втрёхмерном – правильный тетраэдр и куб.Под качеством для элементов разного типа могут понимать следующиехарактеристики:ДвухмерныеТреугольникОтношениеопущеннойнанормированное настороныкнеёвысоте,2(отношение3длиныстороныквысотеправильного треугольника).ЧетырёхугольникТ.н.

детерминант, а вернее –отношение минимального значенияопределителяматрицыЯкоби,вычисляемого для каждого из узловэлементакмаксимальному(подробнее о детерминанте иматрице Якоби см. ниже).59ТрёхмерныеКоэффициент формы (Aspectratio), вычисляемый, как отношениерадиусов вписанной и описаннойвокругэлементасферы,1нормированное на 3 (отношениерадиусов вписанной и описаннойокружностиуправильноготетраэдра).ТетраэдрГексаэдрПирамидаПризмаДетерминантДетерминантКак уже упоминалось в разделе 2.1, для некоторой области можноввести такую систему координат, в которой данная область преобразуется кединичному квадрату (см.

рисунок 2.1.2).Входерешениязадачспомощьюметодов,использующихнеструктурированные сетки, полезно бывает ввести такую локальнуюсистему координат для каждого отдельного элемента сетки. На рисунке 2.2.3демонстрируется переход к локальной единичной системе координат (т.н.естественным координатам) для квадратного элемента.Рисунок 2.2.3 Натуральные координаты для квадратного элемента60Координаты ξ и η можно выразить через координаты x и y и наоборот.Можно также вычислить производные типаx,xи т.д.Матрица, составленная из этих производных, называется матрицейЯкоби или Якобианом: x J  y x  y  (2.44)Представляет интерес определитель этой матрицы.

В частности, в курсематематическогоанализадемонстрируется,чтоплощадьэлементаS   dS   dx  dy   J d  d .SSSОпределитель матрицы Якоби, как говорилось выше, используется дляопределения качества некоторых элементов сетки. В частности, чтобыопределить качество элемента, показанного на рисунке 2.2.3, необходимовычислить определитель Якобиана в узлах 1,2,3,4, выбрать из полученныхзначений минимальное и максимальное и соотнести их.Сходным образом определяется качество и трёхмерных элементов.ПерекошенностьЕщё одной немаловажной характеристикой качества элементов сеткиявляется перекошенность (skewness).Для произвольного двухмерного элемента сетки, например, онавычисляется как:       min Skew  max  max e ; ee  180   e61(2.45)где  max – максимальный угол в элементе (см.