Построение сеток в задачах авиационной и космической техники - А.М. Молчанов, М.А. Щербаков, Д.С. Янышев, М.Ю. Куприков, Л.В. Быков. 2013, страница 6

Существует расчетная областьABCD в физической системе координат  x, y  . Необходимо поставить ей всоответствие квадрат ,  0,0  ,  0,1 , 1,0  , 1,1 в– см. Рисунок 2.1.7.37расчетной системе координатРисунок 2.1.7 К задаче преобразования расчётной области в единичный квадратКак уже было сказано, использования преобразования (2.12) или (2.13)здесь недостаточно.Введем обозначения для отображений (2.12) и (2.13) в общем случае   ,   1    r  0,    r 1,  ,(2.14)   ,   1    r  ,0    r  ,1(2.15)Для получения преобразования координат типа формул (2.7) в случаекриволинейных границ на первый взгляд может показаться, что достаточноприменить отображения (2.12) и (2.13) последовательно друг к другу:    ,    1      0,      1,   1    1    r  0,0    r  0,1    1    r 1,0    r 1,1 (2.16) 1   1    r  0,0   1    r  0,1   1    r 1,0    r 1,1Однако на самом деле при применении этой формулы получается такназываемая билинейная интерполяция, в результате которой границырасчетной области переходят с прямые линии, как на Рисунке 2.1.8.38Рисунок 2.1.8 Билинейная интерполяцияМожно показать, что для получения правильного преобразованиякоординат необходимо осуществить оба отображения(2.14) и (2.15) и"вычесть" из полученного результата билинейную интерполяцию (2.16), т.е.   ,     ,       ,    1    r  0,    r 1,   1    r  ,0    r  ,1(2.17) 1   1    r  0,0   1    r  0,1   1    r 1,0    r 1,1Эта формула лежит в основе так называемой трансфинитнойинтерполяции позволяет решить поставленную в начале параграфа задачу.Комбинация отображений, выраженная формулой (2.17), называетсяБулевой суммой отображений и обозначается, как         (2.18)На Рисунке 2.1.9 представлено преобразование между физической ирасчетной системами на основе трансфинитной интерполяции.39Рисунок 2.1.9 Трансфинитная интерполяцияЭто преобразование задается формулой, полученной на основе (2.17)r  ,   1    rl     rr    1    rb     rt   1   1    rb  0   1    rt  0    1    rb 1   rt 1 ,(2.19)где индексы l,r,b,t относятся к левой, правой, нижней и верхней частирасчетной области соответственно.При этом для границ области выполняются условия совмещения:rb  0   rl  0  , rb 1  rr  0  , rr 1  rt 1 , rl 1  rt  0  ,(2.20)Уравнение (2.19) для вектора r эквивалентно двум уравнения для егокомпонент:x   ,   1    xl     xr    1    xb     xt   1   1    xb  0   1    xt  0    1    xb 1   xt 1 ,y   ,   1    yl     yr    1    yb     yt   1   1    yb  0   1    yt  0    1    yb 1   yt 1(2.21)(2.22)Если разбить отрезки прямых, задающих расчетную область  ,  наравные части в соответствии с формулой (2.5)40i , j   i  1  , i  1, 2,..., N X ,   1 /  N X  1i , j   j  1  ,j  1,2,..., NY ,   1 /  NY  1 ,то формулы (2.21) и (2.22) позволяют получить двумерную сетку вфизической области  x, y  .2.1.4.Примеры построения сеток в двумерных областях.На Рисунке 2.1.10 показано, как криволинейная физическая область Lобразной формы может быть преобразована к прямоугольному виду врасчетной области.

Однако, точки А и D излома образующей в физическойобласти лежат на линии постоянного значения η (точки А' и D') в расчетнойобласти. Этот фактор приводит к таком недостатку, как неортогональностьсетки.Рисунок 2.1.10 Преобразование L-образной области в прямоугольникТа же самая область L-образной формы в физической области может бытьпреобразованакпрямоугольнойL-образнойрасчетнойобласти.ИзРисунка 2.1.11 видны основные преимущества такого преобразования.

Приприближенном сохранении формы области проще избежать сильнойдеформации, т.е. неортогональности сетки.41Рисунок 2.1.11 Преобразование L-образной области с сохранением формыЗдесь для применения трансфинитной интерполяции расчетная областьразбивается на 2 прямоугольника, для каждого из которых используютсяотдельные преобразования.На рисунках 2.1.12-2.1.15 приведены другие примеры преобразованияобластей [3].Рисунок 2.1.12 Фиктивные узлы в физической области.42Как правило, чем сложнее форма границы физической области, тембольше число возможных отображений.

Например, одна и та же область,изображенная на Рисунок 2.1.13-2.1.15, может быть отображена различнымиспособами.Рисунок 2.1.13 Сетка с выступом (первый метод построения)Рисунок 2.1.14 Сетка с выступом (второй метод построения)Рисунок 2.1.15 Сетка с выступом (третий метод построения)43Также как и в параграфе 1, при использовании трансфинитнойинтерполяции можно использовать сгущение сеток в областях, где возможнопоявление больших градиентов искомых функций.Нарисунках2.1.16-2.1.18представленыпримерытакихсеток,полученных из прямоугольных расчетных областей.Рисунок 2.1.16Сгущение сетки. Пример №1 (половина расчетной области)44Рисунок 2.1.17 Сгущение сетки.

Пример №2 – течение в сопле (полная расчетнаяобласть)Рисунок 2.1.18 Сгущение сетки. Пример №3 – обтекание профиля крыла2.1.5.Трехмерная трансфинитная интерполяцияПолученные в параграфе 3 результаты можно распространить натрехмерные задачи [5].Расширим определения отображений (2.14) и (2.15) на трехмерныйслучай.Предположим, что у нас есть преобразование координат r  , ,  ,переводящееединичныйпространствавкуб6-сторонний 0    1, 0    1, 0  объемR 1физическогорасчетногопространства.Противоположные плоские стороны куба, заданные, как   0 и   1,45преобразуютсявпротиволежащиестороныr  0, ,  иr 1, ,  физического объема R (в общем случае криволинейные).Введем отображения, аналогичные (2.14) и (2.15):   , ,    1    r  0, ,    r 1, ,  ,(2.23)   , ,    1    r  ,0,    r  ,1,  ,(2.24)  , ,   1    r  , ,0    r  , ,1(2.25)Например, отображение  преобразует противоположные стороныкуба   0 и   1 в противоположные поверхности r  0, ,   и r 1, ,   ,вершины куба  0,0,0  , 1,0,0  и т.д.

в вершины объема R r  0,0,0  , r 1,0,0  ит.д.Вводим понятие тензорного произведения отображений:    , ,   1   1    r  0,0,   1    r  0,1,  (2.26)  1    r 1,0,    r 1,1,  Аналогично:   , ,    1   1    r  ,0,0   1     r  ,0,1  1    r   ,1,0    r   ,1,1,   , ,    1   1    r  0, ,   1    r  0, ,1  1    r 1, ,0    r 1, ,1Трилинейнаяинтерполяциявыражаетсяформулой(2.27)(2.28)тройногопроизведения отображений    , ,    1   1   1    r  0,0,0   1   1    r 1,0,0   1    1    r  0,1,0  1   1     r  0,0,1   1    r 1,1,0   1    r 1,0,1  1    r  0,1,1   r 1,1,146(2.29)и преобразует единичный куб в шестигранник, у которого прямолинейныестороны соединяют вершины объема R.Булева сумма трех отображений имеет вид                                   (2.30)Можно показать, что Булева сумма является ассоциативной.Это выражение (2.30) с использованием формул (2.23)-(2.29) и являетсяосновой для трансфинитной интерполяции в трехмерном случае.Для ее использования, должны быть заранее заданы все поверхностифизического объема R ( 6 функций r  0, ,   , r 1, ,   и т.д.

), все его ребра(12 функций r  ,0,0  , r   ,0,1 и т.д.), а также 8 вершин ( r  0,0,0  , r 1,0,0  ит.д.).Существуют и другие алгебраические методы построения сеток,например, метод двух границ (two-boundary technique) и метод многихповерхностей (multi-surface method).2.1.6.Дифференциальные методы построения сетокАлгебраические методы построения сеток достаточно просты, нообладают такими недостатками, как отсутствие ортогональности, а такжесильное отличие по размеру соседних ячеек.

Все это приводит к уменьшениюточности решения. Этих недостатков в некоторой степени лишены такназываемые дифференциальные методы, в которых для построения сетокрешается система дифференциальных уравнений.Чаще всего используются уравнения Лапласа, которые для двумерногослучая имею вид:47 2  0,  2  0(2.31)Эти уравнения подобны уравнению теплопроводности и уравнению дляизотермических линий, которые ортогональны друг к другу. Таким образомв физическом пространстве  x, y  обеспечивается перпендикулярность линийс постоянными значениями ξ и η, т.е.

ортогональность сетки.Уравнения (2.31) позволяют получить равномерную сетку, а дляполучения сгущения сетки в нужных областях течения используются такназываемые контрольные функции P  ,  , Q   ,  и уравнения Пуассона: 2  P  ,  ,  2  Q  , (2.32)В уравнениях (2.31) и (2.32) независимыми переменными являютсяфизические координаты x и y, а в результате решения получаются функции и  . При построении сетки необходимо решать обратную задачу.Поскольку линии сетки задаются в пространстве  ,  , то необходимополучить зависимости x  x   ,  ,y  y  ,  , а не наоборот. Поэтомузависимые и независимые переменные в уравнении (2.32) надо поменятьместами.Для сокращения записей используем индексные обозначения координат: x1, x2    x, y  , 1, 2    ,  ,  P1, P2    P, Q (2.33)Уравнения (2.32) примут: 2i Pi , i  1, 2x j x j(здесь,какидалее,подразумеваетсясуммирование(2.34)подваждыповторяющимся индексам - соглашение суммирования Эйнштейна)Предположим, что есть некоторая функция  , удовлетворяющаяусловию48 20x j x jПерейдем к новым координатам1,2  ,(2.35)удовлетворяющим системе(2.32).