Построение сеток в задачах авиационной и космической техники - А.М. Молчанов, М.А. Щербаков, Д.С. Янышев, М.Ю. Куприков, Л.В. Быков. 2013, страница 5

Регулярные (структурированные) сетки2.1.1.ЗадачаОбщие положенияпостроениярасчетной сеткизаключаетсяв нахожденииотображения, которое переводит узлы сетки из физической области ввычислительную. Данное отображение, как минимум, должно удовлетворятьследующим требованиям:- отображение должно быть однозначным;- сетка должна иметь сгущение в тех областях, где возможно появлениебольших градиентов искомых функций;- линии сетки должны быть гладкими для обеспечения непрерывностипроизводных;- сетки должны быть максимально близки к ортогональным (границыэлементов сетки должны пересекать под углами близкими к 90);- отношение сторон элемента сетки не должно быть слишком большим(в идеале, близко к единице).Еслимножествоупорядоченным,структурированной.тосеточныхтакаяузловсеткаИспользованиерасчетнойназываетсясеткиявляетсярегулярнойструктурированныхсетокили(посравнению с неструктурированными) позволяет, как правило, уменьшитьпродолжительность расчета и необходимый объём оперативной памятикомпьютера.

В то же время, процедура построения криволинейнойрегулярной сетки в общем случае представляет собой достаточно сложную29операцию, требующую больших трудоресурсов по сравнению с процедуройпостроения нерегулярной сетки.При выборе способа построения сеток (структурированных илинеструктурированных) следует учитывать следующие факторы.1.Структурированныесеткидопускаютвысокийпорядокаппроксимации, чем неструктурированные сетках.2. Течения с сильными ударными волнами лучше решаются наструктурированных сетках, чем на неструктурированных3.

Программы, использующие регулярные сетки проще, т.к. не требуютхранения и переработки информации о соседних ячейках, ребрах, гранях(ориентация,длиныит.п.),необходимойприрасчетенанеструктурированных сетках.4. Задача построениярегулярных сеток для тел сложной геометрииявляется весьма трудоемкой; кроме того возможно появление вырожденныхячеек, что приводит к существенному снижению точности.5.Существеннымпреимуществомнеструктурированногоподходаявляется гибкая структура построения сетки, позволяющая точно отобразитьгеометрию расчетной области и сгенерировать сетку с меньшими затратамидля областей сложной геометрии, главным образом, пространственныхконфигураций.6. Адаптация сетки к решению задачи в случае неструктурированногоподхода производится сравнительно проще, чем в случае регулярныхметодов построения сетки.Рассмотрим некоторые аспекты построения регулярной сетки напримерах двумерной расчетной области.1.

Преобразование координатЕсли расчетная область прямоугольной, то построение расчетной сеткитривиально - сеточные узлы задаются формулами:30xi, j   i  1 x, i  1,2,..., N Xyi , j   j  1 y,где x, y(2.1)j  1,2,..., NY ,- шаги сетки по осям x, y соответственно. При этомпредполагается, что нижняя и левая границы расчетной области совпадают сосями x, y соответственно.Длякриволинейнойрасчетнойобластиприпостроениисеткинеобходимо применять преобразование координат.Например, если расчетная область ограничена двумя радиусамиr1  r  r2и углами0  в полярной системе координат r , (см.

Рисунок 2.1.1), то преобразованиеx  r cos ,y  r sin (2.2)переведет криволинейную физическую область в системе координат  x, y  впрямоугольную расчетную область в системе  r ,  .Рисунок 2.1.1. Сетка в полярной системе координат31Ещеболееинтереснымпредставляетсяпродолжениеэтогопреобразования переходом к системе безразмерных координатr  r1,  ,r2  r1(2.3)которые изменяются в пределах 0    1, 0    1 (см.

Рисунок 2.1.2).Рисунок 2.1.2 Переход от криволинейной области к единичному квадратуСвязь между физической областью x, y и расчетной областью ,  определяется из соотношений (2.2) и (2.3):x    r2  r1   r  cos   ,y    r2  r1   r sin  (2.4)Если в расчетной области  ,  задать по аналогии с выражениями (2.1)равномерную сеткуi , j   i  1  , i  1, 2,..., N X ,   1 /  N X  1i , j   j  1  ,j  1,2,..., NY ,   1 /  NY  1 ,(2.5)то с помощью преобразования (2.5) мы получим соответствующие узлы вфизической области xi, j , yi , j .32Например, при рассмотрении задачи обтекания цилиндра полагаем, что  2 , и получаем после преобразования из равномерной сетки в системе , в физической области криволинейную сетку, представленную наРисунке 2.1.3.Рисунок 2.1.3 Построение криволинейной сетки для задачи обтекания цилиндра.При переходе от области , к физической области x, y точкиA, E, B , находящиеся на левой стороне квадрата переходят соответственно вточки A, E , B , лежащие на большей окружности.

При этом точки A и Bсливаются. Аналогично точки D, F , C  переходят в точки D, F , CОчень интересный вариант преобразования сеток получается, есливвести еще одну промежуточную стадию - систему координат  s, t  , котораяпозволяет сгущать сетку в нужных областях.Например, может быть использована эффективная функция растяжения,предложенная Робертсом [1] и модифицированная Эйземаном [2], котораяимеет вид: th Q 1     s  P  1  P  1  ,thQ33(2.6)где P и Q - параметры, обеспечивающие контроль распределения точексетки. Примеры того, как распределяются узлы сетки по оси s приравномерном распределении узлов по оси  , представлены на Рисунке 2.1.4.Рисунок 2.1.4 Распределение узлов сетки по координате s при использованииформулы преобразования (2.6).Такой подход позволяет, например, в рассмотренной выше задачесгустить сетку возле цилиндра (см.Рисунок 2.1.5).Рисунок 2.1.5 Сетка со сгущением узлов возле поверхности цилиндра.342.1.2.Однонаправленная интерполяцияПредставленные в предыдущем параграфе методы применимы в случае,когда существует аналитическая однозначная связь между координатнымисистемами, такими как, например, (2.2).

Для случаев, когда такойаналитической связи нет, или она слишком сложна, следует применятьинтерполяцию.Чтобы показать построениедвумерной плоской сетки, рассмотримфизическую области ABCD (Рисунок 2.1. 6), в которой заданы толькограницы АВ и и CD.Рисунок 2.1.6 Линейная интерполяция между двумя линиями.Принимаем, что кривые AB и CD соответствуют значениям координатыξ равными нулю (AB) и единице (CD), на каждой из них координатаηменяется от 0 до 1.

Разбиваем эти кривые на несколько частей (на Рисунок2.1.6 на 4 части). Устанавливаем следующее соответствие: точкам А и Ссоответствуют значения η = 0, точкам А1 и С1 соответствуют значенияη=0.25, точкам А2 и С2 соответствуют значения η=0.5, точкам А3 и С3соответствуют значения η=0.75 и, наконец, точкам В и D соответствуютзначения η = 1.35Таким образом, точке A в координатной системе  x, y  соответствуетточка с координатами  0,0  в координатной системе  ,  , точке B - точка скоординатами  0,1 , точке C - точка с координатами 1,0  , точке D - точка скоординатами 1,1 , точке A1 - точка с координатами  0.25,1 и т.д.Задача состоит в получении связи между координатами физическойобласти ABCD и расчетной области в системекоординат ,  ,т.е.получении зависимостей:x  x   , (2.7)y  y  , Вводим обозначение: вектор r задается своими координатами x и y:rxi y j(2.8)Координаты любой точки на прямой АС могут быть получены линейнойинтерполяцией по  :r  ,0   1    r  0,0    r 1,0 (2.9)Аналогично на прямой А1С1r  ,0.25  1    r  0,0.25    r 1,0.25 (2.10)И в общем случае для любого значения координаты  j :r  , j   1    r  0, j    r 1, j  ,где  j  j  1 NY  1(2.11), NY - число узлов по вертикальной координате (на Рисунке2.1.6 NY  5 )36Если разбить отрезок 0,1по координате ξ на равные части сколичеством узлов N X0  i  i  1 N X  11,то получим двумерную плоскую сетку, заданную узламиr i , j   1  i  r  0, j   ir 1, j (2.12)Здесь интерполяция проводится по одной координате (направлению) ξ,поэтому такая интерполяция называется однонаправленной.Аналогично, если бы физическая область имела криволинейные границыAC и BD, а границы AB и CD задавались отрезками прямых линий,следовало бы использовать однонаправленную интерполяцию по координатеη:r i , j   1   j  r  i ,0    j r i ,1(2.13)Очевидно, что в случае, когда все границы расчетной области являютсякриволинейными, преобразования (2.12) или (2.13) неприемлемы.2.1.3.Трансфинитная интерполяцияЗадача ставится следующим образом.