1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008), страница 6

Пустьмы имеем уравнение в явной форме: y = f (x), где f (x) — однозначная функция, определенная, например, в промежутке (a, b), т. е. такая функция, что любому x из (a, b) соответствует одно определен-30Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[12ное значение f (x); график указанной функциональной зависимостисостоит из точек (x, y), полученных указанным только что способом. Перпендикуляр к оси OX, проведенный через любую точкуэтой оси, абсцисса которой принадлежит (a, b), встретит график водной точке (однозначность f (x)). В случае уравнения F (x, y) = 0в неявной форме дело обстоит сложнее. Может случиться, что уравнению не соответствует ни одной точки.

Это имеет место, например,для уравнения x2 + y 2 + 3 = 0, ибо при любых вещественных x иy левая часть положительна. Уравнению (x − 3)2 − (y − 5)2 = 0соответствует, очевидно, только одна точка (3, 5).Построение графика совершается автоматически в самопишущихприборах; переменной x является обычно время; y — величина, изменениекоторой с течением времени нас интересует, например барометрическоедавление (барограф), температура (термограф). Важное значение имеетиндикатор, который записывает зависимость между объемом и давлением газа, заключенного в цилиндре парового или газового двигателя.12.

Линейная функция. Простейшая функции, которая вместе с тем имеет важные приложения, — двучлен первой степени:y = ax + b,(2)где a и b — данные числа. Эта функция называется линейной функцией. Мы покажем, что ее график — прямая линия. Рассмотримсначала тот случай, когда число b равно нулю. При этом функция(2) имеет вид:y = ax.(3)Она выражает тот факт, что переменная y прямо пропорциональна переменной x, и число a называется коэффициентом пропорциональности. Значенияx = 0, y = 0удовлетворяют уравнению (3), т.

е. соответствующий этому уравнению график проходит через начало координат O.Обращаясь к чертежу (рис. 5), мы видим, что уравнение (3) выражает следующее геометрическое свойство исследуемого графика: какую бы точку M на нем мы ни взяли, отношение ординаты12]§ 1. Переменные величиныРис. 5.31Рис. 6.y = N M этой точки к ее абсциссе x = ON есть постоянная величина a. Так как, с другой стороны, это отношение равно тангенсуугла α, образуемого отрезком OM с осью OX, то отсюда видно, чтогеометрическое место точек M есть прямая, проходящая через начало координат O под углом α (или π + α) к оси OX. Мы считаемα от оси OX до прямой против часовой стрелки.Одновременно с этим обнаруживается и важное геометрическоезначение коэффициента a в уравнении (3): а есть тангенс угла α,который образует прямая, соответствующая этому уравнению,с осью OX, вследствие чего a называется угловым коэффициентомпрямой.

Заметим, что если a — число отрицательное, то угол α будет тупой и соответствующая прямая будет расположена так, какуказано на рис. 6.Обратимся теперь к общему случаю линейной функции, а именно к уравнению (2). Ординаты y графика этого уравнения отличаются от соответствующих ординат графика уравнения (3) постоянным слагаемым b. Таким образом, мы получим непосредственнографик уравнения (2), если график уравнения (3), изображенный на рис. 5 (при a > 0), передвинем параллельно оси OY наотрезок b: наверх, если b положиРис. 7.тельно, и вниз, если оно отрицательно.

Таким образом, мы получим прямую, параллельную исходной прямой и отсекающую на оси OY отрезок OM 0 = b (рис. 7).32Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[13Итак, график функции (2) есть прямая линия, причем коэффициент a равен тангенсу угла, образованного этой прямой с осьюOX, а свободный член b равен отрезку, отсекаемому этой прямойна оси OY , считая от начала O.Коэффициент a иногда называют просто уклоном прямой, а b —начальной ординатой этой прямой. Наоборот, если нам дана какаянибудь прямая L, не параллельная оси OY , то нетрудно написатьуравнение вида (2), соответствующее этой прямой. Согласно предыдущему, достаточно взять коэффициент a равным тангенсу угланаклона этой прямой к оси OX и b равным отрезку, отсекаемомуэтой прямой на оси OY .Отметим один частный случай, который представляет известную особенность.

Пусть a = 0. Уравнение (2) дает нам при всяком x:y = b,(21 )т. е. получается такая «функция» от x, которая при всех значенияхx сохраняет одно и то же значение b. Нетрудно видеть, что графиком уравнения (21 ) будет прямая, параллельная оси OX и отстоящая от этой оси на расстоянии |b| (сверху, если b > 0, и снизу, еслиb < 0). Чтобы не делать специальных оговорок, мы будем говорить,что уравнение (21 ) также определяет функцию от x.13. Приращение. Основное свойство линейной функции.Установим одно новое важное понятие, с которым часто приходитсяиметь дело при исследовании функциональной зависимости.Приращением независимой переменной величины x при переходе от начального значения x1 к конечному x2 называется разностьмежду конечным и начальным значениями: x2 −x1 .

Соответствующим приращением функции y = f (x) называется разность между конечным и начальным значениями функции:y2 − y1 = f (x2 ) − f (x1 )Эти приращения часто обозначают так:∆x = x2 − x2 , ∆y = y2 − y1 .13]§ 1. Переменные величины33Заметим при этом, что приращение может быть как положительной, так и отрицательной величиной, так что величина, получив «приращение», не обязательно должна увеличиться.Обратим внимание на то, что запись ∆x надо рассматриватькак единое целое для обозначения приращения x.Обратимся к случаю линейной функции:y2 = ax2 + b и y1 = ax1 + b.Вычитая почленно, получимy2 − y1 = a(x2 − x1 )(4)или∆y = a∆x.Равенство это показывает, что линейная функция y = ax + b обладает тем свойством, что приращение функции (y2 −y1 ) пропорционально приращению независимой переменной (x2 − x1 ), причемкоэффициент пропорциональности равен a, т. е.

угловому коэффициенту, или уклону графикафункции.Если мы обратимся к самомуграфику (рис. 8), то приращениюнезависимой переменной соответствует отрезок M1 P = ∆x = x2 −Рис. 8.x1 и приращению функции — отрезок P M2 = ∆y = y2 −y1 , и формула (4) непосредственно вытекаетиз рассмотрения треугольника M1 P M2 .Положим теперь, что некоторая функция обладает указаннымвыше свойством пропорциональности приращений независимой переменной и функции, выражаемым формулой (4). Из этой формулыследуетy2 = a(x2 − x1 ) + y134Гл.

I. Функциональная зависимость и теория пределов[14илиy2 = ax2 + (y1 − ax1 ).Будем считать исходные значения переменных x1 и y1 вполнеопределенными и обозначим разность (y1 − ax1 ) одной буквой b:y1 = ax1 + b.Так как окончательные значения переменных x2 и y2 мы можембрать любыми, то вместо букв x2 и y2 можно просто писать буквыx и y, и предыдущее равенство перепишется в видеy = ax + b,т. е. всякая функция, обладающая указанным выше свойством пропорциональности приращений, есть линейная функция y = ax + b,причем a есть коэффициент пропорциональности.Итак, линейная функция и график ее, прямая линия, могут служить для изображения всякого закона природы, в котор ом имеетместо пропорциональность между приращениями исследуемых величин, что случается весьма часто.14. График равномерного движения.

Наиболее важное приложение, которое дает механическое истолкование уравнения прямой и его коэффициентов, — это график равномерного движения. Если точка P движется по некоторому пути (траектории), положение ее вполне определяется расстоянием, отсчитываемым по траектории в ту или иную сторону от некоторой данной ее точки A до точки P . Эторасстояние, т. е. дуга AP , называется пройденным путем и обозначается буквой s,причем s может быть и положительным иотрицательным: значения s в одну сторону от начальной точки A считаются положительными, а в другую — отрицательРис. 9.ными.Пройденный путь s есть некоторая функция от времени t, приняв которое за независимую переменную, можем построить график движения,т.

е. график функциональной зависимости (рис. 9)s = f (t);14]§ 1. Переменные величины35его не следует смешивать с самой траекторией движения.Движение называется равномерным, если путь, проходимый точкой за любой промежуток времени, пропорционален этомупромежутку, другими словами, если отношение∆ss2 − s1=t2 − t1∆tРис. 10.пути, пройденного за промежуток времениот t1 до t2 , к величине этого промежутка есть постоянная величина,которая называется скоростью движения и обозначается через v.В силу сказанного выше, уравнение графика равномерного движенияимеет видs = vt + s0 ;самый график есть прямая, угловой коэффициент которой равен скорости движения, начальная же ордината s0 есть значение s при t = 0.На рис.

10 изображен график движения точки P , которая двигаласьс постоянной скоростью v1 в положительном направлении от момента 0до момента t1 (угол с осьюt острый), затем с постоянной же, но большейскоростью v2 , в том женаправлении (угол острый, но больший) до момента t2 , а затем с постоянной, но отрицательнойскоростью v3 (в обратномнаправлении, угол тупой)до начального своего положения. В случае, когдаприходится иметь дело смногими точками, движущимися по одной и тойже траектории (напримерпри составлении расписания движения поездовили трамваев), такой графический способ являетсяРис. 11.единственно удобным на36Гл.