1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008), страница 10

Функции (18) имеют такжепериод 2πa .Графики функций видаy = A1 sin a1 x + B1 cos a1 x + A2 sin a2 x + B2 cos a2 x,представляющих собою сумму нескольких слагаемых типа (17),можно строить, например, складывая ординаты графиков отдельных слагаемых. Полученные таким образом кривые называютсяобычно сложными гармоническими кривыми. На рис. 38 указаноРис. 38.24]§ 1. Переменные величины59построение графика функцииy = 2 sin x + cos 2xЗаметим при этом, что функцияy = A1 sin a1 x + B1 cos a1 x(19)может быть представлена в виде (18) и изображает простое гармоническое колебание.Действительно, положимqB1A1pp, n=, A = A21 + B12 .m=A21 + B12A21 + B12Мы имеем, очевидно,A1 = mA,B1 = nA(20)и, кроме того,m2 + n2 = 1,|m| 6 1, |n| 6 1,а потому, как известно из тригонометрии, всегда можно найти такой угол b1 , чтобы былоcos b1 = m,sin b1 = n.(21)Подставив в (19) вместо A1 и B1 их выражения (20) и пользуясьравенствами (21), получимт.

е.y = A(cos b1 · sin a1 x + sin b1 · cos a1 x),y = A sin(a1 x + b1 ).24. Обратные тригонометрические, или круговые,функции. Эти функции получаются при обращении тригонометрических функций:y = sin x, cos x, tg x, ctg x60Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[24и обозначаются, соответственно, символамиy = arc sin x, arc cos x, arc tg x, arc ctg x,что представляет собою не что иное, как сокращенное обозначениеназваний: угол (или дуга), синус, косинус, тангенс или котангенскоторого соответственно равен x.Остановимся на функцииy = arc sin x.(22)График этой функции (рис. 39) получается из графика функцииy = sin x по правилу, указанному в [20].

Весь этот график расположен в вертикальной полосе ширины два, опирающейся на отрезок−1 6 x 6 +1 оси OX, т. е. функция (22)определена лишь в промежутке −1 6 x 6+1. Далее, уравнение (22) равносильно уравнению sin y = x, и, как известно из тригонометрии, при заданном x мы получаем бесчисленное множество значений для угла y.Из графика мы видим, действительно, чтопрямые, перпендикулярные к оси OX в точках промежутка −1 6 x 6 +1, имеют с графиком бесчисленное множество общих точек, т.

е. функция (22) есть многозначнаяфункция.Непосредственно из рис. 39 мы видим,что функция (22) станет однозначной, если мы вместо всего графика ограничимсялишь его частью, начерченной более жирно сплошной линией, что соответствует условию — рассматривать только те значения угданный sin y = x, которыеРис. 39.ла y, имеющегоπ πлежат в промежутке − 2 , 2 .На рис. 40 и 41 указаны графики функций y = arc cos x иy = arc tg x и отмечены жирно сплошной линией те части графика,которые надо оставить, чтобы сделать функцию однозначной (чертеж для arc ctg x предоставляется сделать читателям). Заметим при24]§ 1.

Переменные величиныРис. 40.61Рис. 41.этом, что функции y = arc tg x и y = arc ctg x определены при всехвещественных значениях x.Отмечая из чертежа интервал изменения y на отмеченной жирно части кривой, мы получаем таблицу ограничений, при которыхфункции становятся однозначными:yНеравенства для yarc sin x− π2<y<arc cos xπ20<y<πarc tg x− π2<y<arc ctg xπ20<y<πНетрудно показать, что определенные таким образом функции, которые называются главными значениями круговых функций, удовлетворяют соотношениямarc sin x + arc cos x =π,2arc tg x + arc ctg x =π.2(23)62Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[25§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

НЕПРЕРЫВНЫЕФУНКЦИИ25. Упорядоченное переменное. Когда мы говорили о независимой переменной x, для нас было важно лишь множество техзначений, которые может принимать x. Например, это могло бытьмножество значений, удовлетворяющих неравенству 0 6 x 6 1.Сейчас мы будем рассматривать переменную величину x, принимающую последовательно бесчисленное множество значений, т. е.сейчас для нас является важным не только множество значений x,но и тот порядок, в котором она принимает эти значения.

Точнееговоря, предполагается следующее: 1) если x′ и x′′ два значенияпеременной величины x, то имеется возможность отличить срединих предыдущее и последующее, причем если x′ предшествует x′′ ,а x′′ предшествует x′′′ , то x′ предшествует x′′′ ; 2) никакое значение x не является последним, т. е. какое бы значение переменнойвеличины x мы ни взяли, существует бесчисленное множество значений, следующих за ним. Такую переменную величину называютупорядоченной переменной.

В дальнейшем мы для краткости просто будем говорить переменная величина. Отвлекаясь, как всегда,от конкретного характера величины (длина, вес и т. д.) термином«упорядоченная переменная величина» или просто «переменная величина» обозначают всю бесконечную последовательность ее значений, т. е. бесконечную последовательность чисел.Важным частным случаем упорядоченной переменной величины является тот случай, когда имеется возможность пронумероватьвсю ее последовательность значений (первое, второе, третье и т. д.):x1 , x2 , x3 , . . .

, xn , . . . ,так что из двух значений xp и xq то является последующим, котороеимеет больший значок.∗ В качестве примера положим, что общийчлен последовательности xn определяется формулой xn = 21n (n =1, 2, 3, . . . ), так что последовательность имеет вид1 1 11, , , ..., n, ...2 4 82(1)∗ Такую упорядоченную переменную обычно называют числовой последовательностью.25]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции63nz }| {Пусть, далее, xn = 0, 11 .

. . 1, т. е. xn есть, десятичная дробь, укоторой целая часть равна нулю, а после запятой стоит n единиц;получим последовательностьnz }| {0, 1; 0, 11; 0, 111, . . . , 0, 11 . . . 1, . . .(2)Вставляя между двумя числами последовательности (1) числонуль, получим новую последовательность1111, 0, , 0, , 0,, ...24816(3)для которой x1 = 12 , x2 = 0, x3 = 14 , x4 = 0, x5 = 18 и т. д. Средизначений этой переменной величины встречаются и одинаковые, аименно xp = 0 при четном p.

Отметим, что переменная (1) убывающая, т. е. всякое ее значение меньше всех предшествующих значений, а переменная (2) возрастающая, т. е. всякое ее значение большевсех предшествующих. Переменная (3) не является ни убывающей,ни возрастающей.Укажем теперь примеры упорядоченной переменной, значениякоторой нельзя пронумеровать.

Положим, что переменная величина x принимает все различные значения, удовлетворяющие неравенству a−k 6 x < a, где a и k — некоторые числа и k > 0. При этомсчитается, что из двух значений x′ и x′′ последующим являетсябольшее. Иначе говоря, переменная величина x возрастает, принимая все значения из промежутка a − k 6 x < a, замкнутого слева иоткрытого справа. Она принимает любые значения из этого промежутка меньшие a, но не принимает значения a. Первым значениемпеременной является значение x = a − k, а дальнейшая нумерациязначений переменной невозможна.

Если мы положим, что возрастающая переменная удовлетворяет не неравенству a − k 6 x < a,а неравенству a − k < x < a, то при этом нет и первого значения переменной x. Совершенно аналогично можно рассматриватьи убывающую переменную x на промежутке a < x 6 a + k или напромежутке a < x < a + k.Укажем теперь пример, аналогичный предыдущим, но в котором переменная не является ни возрастающей, ни убывающей. Пе-64Гл.

I. Функциональная зависимость и теория пределов[25ременная величина x принимает все различные значения, удовлетворяющие неравенству a − k 6 x 6 a + k, кроме значения x = a.Если x′ и x′′ — различные значения x, у которых абсолютные величины разностей |x′ − a| и |x′′ − a| различны, то последующимсчитается то, у которого эта абсолютная величина меньше (то, которое ближе на оси OX к a), а если x′ − a и x′′ − a отличаются лишьзнаком (x′ и x′′ одинаково удалены от a, но находятся на оси OXс разных сторон от a), то последующим считается то, у которогоуказанная разность отрицательна (то, которое на оси OX лежитслева от a). В этом примере переменная x приближается к a напромежутке a − k 6 x 6 a + k с разных сторон, принимая все значения, кроме x = a; первое значение переменной x = a + k, второеx = a − k, а дальнейшая нумерация невозможна. Если вместо промежутка a − k 6 x 6 a + k взять промежуток a − k < x < a + k припрежнем определении порядка изменения x, то нет возможностиуказать и первое значение x.В дальнейшем мы часто будем иметь дело с переменными величинами, связанными функциональной зависимостью.

Пусть переменная x есть функция переменной t. В соответствии с этим введемобозначение x(t). Пусть t — некоторое упорядоченное переменное.Этим создается и упорядоченность значений x(t), а именно, если t′и t′′ принадлежат последовательности значений t и t′ предшествуетt′′ , то считаем, что среди значений x(t) значение x(t′ ) предшествует x(t′′ ). В дальнейшем мы будем иметь в основном те случаи, когда среди значений упорядоченной переменной t нет одинаковых.Но x(t) может принимать и одинаковые значения при различных t.Естественно сказать, что упорядоченное переменное t упорядочивает переменную x(t) или является упорядочивающей переменной дляx(t).

Отметим, что для пронумерованной переменной x1 , x2 , x3 , . . .роль t играет значок 1, 2, 3, . . . , т. е. в этом случае t принимаетпоследовательные значения 1, 2, 3, . . . и таким образом нумеруетзначения переменной x.Возникает вопрос о действиях над упорядоченными переменными.

Если, например, x и y — упорядоченные переменные, то безпредварительных соглашений неясно, что обозначает сумма x + yили произведение xy, ибо как x, так и y принимают бесчисленноемножество значений, и остается неясным, какие значения x и y26]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции65надо складывать или перемножить, чтобы получить новую переменную x + y или xy. Если x и y — пронумерованные переменные, аx1 , x2 , . . . и y1 , y2 , . . .

— последовательные значения x и y, то сумма x + y определяется как пронумерованное переменное, имеющеепоследовательность значенийx1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 , . . .В общем случае для определения действия над упорядоченнымипеременными необходимо, чтобы они имели одну и ту же упорядочивающую переменную. Пусть переменные x и y — функции x(t) иy(t) одной и той же упорядоченной переменной t, которая упорядочивает x(t) и y(t). Сумма x и y определяется как упорядоченнаяпеременная x(t) + y(t), которая упорядочивается той же переменной t.Для явлений, происходящих во времени, последовательностьзначений переменной величины может естественно устанавливаться их последовательностью во времени, и часто пользуются схемоювремени и применяют термины «до» и «после» вместо «предыдущее» и «последующее» значения.Настоящий параграф посвящен в основном теории пределов, являющейся основою современного математического анализа.