1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008)

В. И. СмирновДопущено Научно-методическим советом по математикеМинистерства образования и науки Российской Федерациив качестве учебника для студентов механико-математическихи физико-математических факультетов университетови технических высших учебных заведенийСанкт-Петербург«БХВ-Петербург»2008УДКББК510(075.8)22.1я73С50С50Смирнов В. И.Курс высшей математики. Том I / Пред.

Л. Д. Фаддеева, пред. иприм. Е. А. Грининой: 24-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2008. —624 с.: ил. — (Учебная литература для вузов)ISBN 978-5-94157-909-9Фундаментальный учебник по высшей математике, переведенный намножество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностьюи строгостью изложения, а с другой — простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами.В первом томе изложены функциональная зависимость и теория пределов, понятие о производной и интеграле, ряды и их приложения к приближенным вычислениям, функции нескольких переменных, комплексные числа, начала высшей алгебры и интегрирование функции.В настоящем, 24-м, издании отмечена устаревшая терминология,сделаны некоторые замечания, связанные с методикой изложения материала, отличающейся от современной, исправлены опечатки.Для студентов университетов и технических вузовУДК 510(075.8)ББК 22.1я73Предисловие академика РАН Л.

Д. ФаддееваРецензент: Л. Д. Кудрявцев, член-корреспондент РАН, академик Европейскойакадемии наук, президент Центра современного образования, профессорРедактор: Е. А. Гринина, канд. физ.-мат. наукОригинал-макет подготовлен издательствомСанкт-Петербургского государственного университетаISBN 978-5-94157-909-9© Смирнов В. H., Смирнова Е. В., 2008© Оформление, издательство "БХВ-Петербург", 2008ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие к 24-му изданию. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9ГЛАВА IФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬИ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ§ 1. Переменные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Величина и ее измерение (11). 2. Число (12). 3. Величины постоянные и переменные (15). 4. Промежуток (16). 5.

Понятие о функции (17). 6. Аналитический способ задания функциональной зависимости (20). 7. Неявные функции (22). 8. Табличный способ (23).9. Графический способ изображения чисел (24). 10. Координаты(26). 11. График и уравнение кривой (28). 12. Линейная функция(30). 13. Приращение. Основное свойство линейной функции (32).14. График равномерного движения (34). 15. Эмпирические формулы (36). 16. Парабола второй степени (37). 17.

Парабола третьейстепени (40). 18. 3акон обратной пропорциональности (42). 19. Степенна́я функция (44). 20. Обратные функции (47). 21. Многозначность функции (49). 22. Показательная и логарифмическая функции(52). 23. Тригонометрические функции (55). 24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции (59).11§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .25. Упорядоченное переменное (62). 26. Величины бесконечно малые (65). 27. Предел переменной величины (71). 28. Основные теоремы (76). 29. Величины бесконечно большие (79). 30. Монотонныепеременные (81). 31. Признак Коши существования предела (83).32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанныхфункциональной зависимостью (88). 33. Примеры (93). 34.

Непрерывность функции (95). 35. Свойства непрерывных функций (98).36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин624Оглавление(102). 37. Примеры (104). 38. Число e (106). 39. Недоказанные предложения (110). 40. Вещественные числа (112). 41. Действия над вещественными числами (116). 42. Точные границы числовых множеств (119). 43. Свойства непрерывных функций (121).

44. Непрерывность элементарных функций (125).Г Л А В А IIПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ§ 3. Производная и дифференциал первого порядка . . . . . . . . . . . .45. Понятие о производной (131). 46. Геометрическое значение производной (134). 47. Производные простейших функций (137). 48. Производные сложных и обратных функций (141). 49. Таблица производных и примеры (146). 50. Понятие о дифференциале (149).51.

Некоторые дифференциальные уравнения (153). 52. Оценка погрешностей (156).131§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . .53. Производные высших порядков (158). 54. Механическое значениевторой производной (161). 55. Дифференциалы высших порядков(162). 56. Разности функций (164).158§ 5. Приложение понятия о производной к изучению функции57. Признаки возрастания и убывания функций (167). 58. Максимумы и минимумы функций (171). 59.

Построение графиков (178).60. Наибольшее и наименьшее значения функций (182). 61. Теорема Ферма (189). 62. Теорема Ролля (190). 63. Формула Лангранжа(192). 64. Формула Коши (196). 65. Раскрытие неопределенностей(197). 66. Различные виды неопределенностей (200).167§ 6. Функция двух переменных . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67. Основные понятия (203). 68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных (206).69. Производные сложных и неявных функций (209).203§ 7. Некоторые геометрические приложения понятия о производных . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70. Дифференциал дуги (211). 71. Выпуклость, вогнутость и кривизна (214). 72. Асимптоты (218). 73. Построение графиков (220).74. Параметрическое задание кривой (223). 75. Уравнение Ван-дерВаальса (228). 76. Особые точки кривых (230). 77. Элементы кривой(235). 78. Цепная линия (238). 79. Циклоида (239). 80.

Эпициклоиды и гипоциклоиды (242). 81. Развертка круга (246). 82. Кривые вполярных координатах (246). 83. Спирали (249). 84. Улитки и кардиоида (251). 85. Овалы Кассини и лемниската (253).211Оглавление5Г Л А В А IIIПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ§ 8. Основные задачи интегрального исчисления и неопределенный интеграл . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86. Понятие о неопределенном интеграле (256). 87. Определенныйинтеграл как предел суммы (261). 88. Связь определенного и неопределенного интегралов (268). 89. Свойства неопределенного интеграла (274). 90. Таблица простейших интегралов (276). 91. Правилоинтегрирования по частям (277). 92. Правило замены переменных.Примеры (279). 93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка (284).256§ 9. Свойства определенного интеграла . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94. Основные свойства определенного интеграла (288). 95. Теоремао среднем (293). 96. Существование первообразной функции (297).97. Разрыв подынтегральной функции (300). 98. Бесконечные пределы (305). 99. Замена переменной под знаком определенного интеграла (306). 100. Интегрирование по частям (310).288§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле . . . .

. . . . .101. Вычисление площадей (313). 102. Площадь сектора (317).103. Длина дуги (320). 104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям (329). 105. Объем тела вращения (331). 106. Поверхность тела вращения (333). 107. Определение центров тяжести.Теоремы Гульдина (337). 108. Приближенное вычисление определенных интегралов; формулы прямоугольников и трапеций (342).109.

Формула касательных и формула Понселе (345). 110. ФормулаСимпсона (346). 111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом (350). 112. Графические способы (352).113. Площади быстро колеблющихся кривых (355).313§ 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле . . .114. Предварительные понятия (356). 115. Разбиение промежуткана части и образование различных сумм (358).

116. Интегрируемыефункции (362). 117. Свойства интегрируемых функций (367).356Г Л А В А IVРЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМВЫЧИСЛЕНИЯМ§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов . . . . . . . . . .118. Понятие о бесконечном ряде (372). 119. Основные свойства бесконечных рядов (174).

120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости (377). 121. Признаки Коши и Даламбера (379).3726Оглавление122. Интегральный признак сходимости Коши (384). 123. Знакопеременные ряды (387). 124. Абсолютно сходящиеся ряды (389). 125. Общий признак сходимости (392).§ 13. Формула Тейлора и ее приложения . .