1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008), страница 5

Абсолютное же значениерассматриваемого числа выражается длиной изображающего егоотрезка независимо от направления.Длину отрезка AB будем обозначать через |AB|; если отрезокAB изображает число x, то будем писать простоx = AB, |x| = |AB|.Для большей определенности можно раз навсегда условитьсяпомещать начало всех отрезков в заранее выбранную точку O прямой. Тогда всякий отрезок OA, а потому и изображаемое им числоx, будет вполне определяться точкой A, концом отрезка (рис. 2).Обратно, задав число x, можем и по величине и по направлению определить отрезок OA, а потому и конецРис.

2.его A. Точке O (начало) соответствует x = 0.Итак, если провести направленную прямую X ′ X (ось) и отметить на ней неподвижную точку O (начало), то каждому вещественному числу x будет соответствовать определенная точкаA этой прямой, такая, что отрезок OA измеряется числом x.Обратно, всякой точке A оси соответствует вполне определенное вещественное число x, измеряющее отрезок OA. Это число xназывается абсциссой точки A; если нужно указать, что точкаA имеет абсциссу x, то пишут A(x).Если число x меняется, то изображающая его точка A передвигается по оси.

Установленное выше понятие о промежутке притаком графическом изображении числа x становится совершеннонаглядным, а именно: если x меняется в промежутке a 6 x 6 b,то соответствующая точка на оси X ′ X будет находиться в отрезке,концы которого имеют абсциссы a и b.26Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[10Если бы мы ограничились одними рациональными числами, тоточке A не соответствовало бы никакой абсциссы, если отрезок OAнесоизмерим с принятой единицей, т. е., иначе говоря, одни рациональные числа не заполняют всех точек прямой.

Это заполнениедостигается введением иррациональных чисел. Основным положением при графическом изображении одной переменной величиныявляется указанное выше положение: всякой точке оси X ′ X соответствует определенное вещественное число и, наоборот, всякомувещественному числу соответствует определенная точка оси X ′ X.Возьмем на оси X ′ X две точки: точку A1 с абсциссою x1 и точку A2 c абсциссою x2 .

При этом отрезку OA1 будет соответствоватьчисло x1 , а отрезку OA2 — число x2 . Нетрудно показать, рассматривая всевозможные взаимные расположения точек A1 и A2 , что отрезку A1 A2 будет соответствовать число x2 −x1 так что длина этогоотрезка будет равна абсолютному значению разности (x2 − x1 ):|A1 A2 | = |x2 − x1 |.Если, например, x1 = −3 и x2 = 7, то точка A1 лежит слеваот O на расстоянии, равном 3, а точка A2 лежит справа от O нарасстоянии, равном 7. Отрезок A1 A2 будет иметь длину 10 и будет направлен так же, как ось X ′ X, т. е.

ему будет соответствоватьчисло 10 = 7 − (−3) = x2 − x1 . Предоставляем читателю разобратьдругие возможности расположения точек A1 и A2 .10. Координаты. Выше мы видели, что положение точки напрямой X ′ X может быть определено вещественным числом x. Покажем теперь аналогичныйспособ определении положения точки на плоскости.Проведем на плоскости двевзаимно перпендикулярныеоси X ′ Xи Y ′ Y и возьмемза начало на каждой изних их точку пересеченияO (рис. 3).

Положительныенаправления на осях указаны стрелками. Точкам осиРис. 3.10]§ 1. Переменные величины27X ′ X соответствуют вещественные числа, которые мы обозначимбуквой x. Точкам оси Y ′ Y также соответствуют вещественные числа, которые мы будем обозначать буквой y. Если нам заданы определенные значения x и y, то мы имеем определенные точки A иB на осях X ′ X и Y ′ Y ; зная точки A и B, можем построить точкуM пересечения прямых, параллельных осям и проведенных черезточки A и B.Каждой паре значений величин x, y соответствует одновполне определенное положение точки M на плоскости чертежа.Обратно, каждой точке M плоскости соответствует вполнеопределенная пара значений величин x, y, отвечающих точкам пересечения A, B прямых, проведенных через точку M параллельноосям, с осями X ′ Xи Y ′ Y .При указанных на рис. 3 направлениях осей X ′ X, Y ′ Y надо xсчитать положительным, если точка A лежит направо, и отрицательным, если она лежит налево от точки O; y будет положительным, если точка B лежит сверху, отрицательным, — если снизу отточки O.Величины x, y, определяющие положение точки M на плоскости и в свою очередь определяемые положением точки M , называются координатами точки M .

Оси X ′ X, Y ′ Y ; называются координатными осями, плоскость чертежа — координатной плоскостью XOY , точка O — началом координат.Величина x называется абсциссой, y — ординатой точки M .Задавая точку M ее координатами, пишут M (x, y).Самый способ изображения называется способом прямоугольных координат.Знаки координат точки M при различных ее положениях в различных координатных углах (I–IV) (рис. 3) можно представить такой таблицей:Совершенно ясно, что координаты x иMIIIIIIIVy точки M равны расстояниям точки Mдо осей координат, взятым с соответствуx+——+ющими знаками. Отметим, что точки осиX ′ X имеют координаты (x, 0), а точкиy++——оси Y ′ Y — координаты (0, y).

Начало координат O имеет координаты (0, 0).28Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[1111. График и уравнение кривой. Возвратимся к величинамx и y, которые изображает точка M . Пусть x и y связаны функциональной зависимостью; это значит, что, меняя по произволу x(или y), мы будем получать каждый раз соответствующее значениеy (илиx). Каждой такой паре значений x и y соответствует определенное положение точки M на плоскости XOY ; если же значенияэти будут меняться, то точка M будет передвигаться по плоскостии при движении своем опишет некоторую линию (рис.

4), котораяназывается графическим изображением (или, проще, графикомили диаграммой) рассматриваемой функциональной зависимости.Если зависимость задана аналитически в виде уравнения вявной формеy = f (x)Рис. 4.или в неявной формеF (x, y) = 0,то уравнение это называется уравнением кривой, а кривая — графиком уравнения или графиком функции.

Кривая и ее уравнениесуть лишь различные способы выражения одной и той же функциональной зависимости, т. е. все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению кривой, лежат на этой кривой и, обратно,координаты всех точек, лежащих на кривой, удовлетворяют ееуравнению.Если дано уравнение кривой, можно, пользуясь листом графленой бумаги, построить, более или менее точно, самую кривую (вернее, можно построить какое угодно число точек, лежащих на этойкривой); чем больше таких точек построим, тем яснее будет длянас форма кривой; такой способ называется построением кривойпо точкам.11]§ 1.

Переменные величины29Выбор масштаба имеет существенное значение при построениикривых; при этом можно выбирать разные масштабы при построении x и y. При одинаковых масштабах для x и y плоскость уподобляется листу бумаги, разграфленному на квадраты, при разных жемасштабах — на прямоугольники. В дальнейшем будет подразумеваться, что масштабы для x и y одинаковы.Читателям рекомендуется здесь же построить по точкамнесколько графиков простейших функций, меняя притом масштабы для x и y.Введенные выше понятия о координатах точки M , об уравнениикривой и графике уравнения устанавливают тесную связь междуалгеброй и геометрией.

С одной стороны, мы получаем возможность наглядным геометрическим путем изображать и исследоватьаналитические зависимости, с другой стороны, оказывается возможным сводить решение геометрических вопросов к чисто алгебраическим действиям, в чем и заключается основная задача аналитической геометрии, разработанной впервые Декартом.Ввиду чрезвычайной важности формулируем еще раз факты,лежащие в основе аналитической геометрии.

Если на плоскости отметить две координатные оси, то всякой точке плоскости будетсоответствовать пара вещественных чисел — абсцисса и ордината этой точки, и, наоборот, всякой паре чисел будет соответствовать определенная точка плоскости, имеющая первое числосвоей абсциссой и второе число своей ординатой. Кривой на плоскости соответствует функциональная зависимость между x иy, или, что то же, уравнение, содержащее переменные x и y, которое удовлетворяется в том и лишь в том случае, если вместоx и y подставить координаты какой-либо из точек кривой. Наоборот, уравнению, содержащему две переменные x и y, соответствует кривая, состоящая из тех точек плоскости, координатыкоторых, будучи подставлены вместо x и y в уравнение, удовлетворяют ему.В дальнейшем мы рассмотрим основные примеры графиковфункций, а теперь приведем некоторые общие соображения.