1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008), страница 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126. Формула Тейлора (393). 127. Различные виды формулы Тейлора (399). 128. Ряды Тейлора и Маклорена (400). 129. Разложениеex (401). 130. Разложение sin x и cos x (403). 131. Бином Ньютона(406). 132. Разложение log(1+x) (413). 133. Разложение arctg x (417).134. Приближенные формулы (421). 135. Максимумы, минимумы иточки перегиба (422). 136.

Раскрытие неопределенностей (424).393§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов . . . . . . . . . . . . . . . .137. Свойства абсолютно сходящихся рядов (426). 138. Умножениеабсолютно сходящихся рядов (429). 139. Признак Куммера (431).140. Признак Гаусса (433). 141. Гипергеометрический ряд (436).142. Двойные ряды (438). 143. Ряды с переменными членами.

Равномерно сходящиеся ряды (444). 144. Равномерно сходящиеся последовательности функций (448). 145. Свойства равномерно сходящихсяпоследовательностей (451). 146. Свойства равномерно сходящихсярядов (456). 147. Признаки равномерной сходимости (457). 148. Степенные ряды. Радиус сходимости (460). 149. Вторая теорема Абеля(462). 150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда(464).426ГЛАВА VФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 15. Производные и дифференциалы функции . . .

. . . . . . . . . . . . . . .151. Основные понятия (468). 152. О предельно переходе (470).153. Частные производные и полный дифференциал первого порядка (473). 154. Однородные функции (476). 155. Частные производные высших порядков (478). 156. Дифференциалы высших порядков(481). 157. Неявные функции (484). 158. Пример (487).

159. Существование неявных функций (489). 160. Кривые в пространстве иповерхности (492). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 16. Формула Тейлора. Максимумы и минимумы функции отнескольких переменных . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161. Распространение формулы Тейлора на случай функции отнескольких независимых переменных (497). 162. Необходимые условия максимума и минимума функции (499). 163. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных (501).164. Примеры (505). 165. Дополнительные замечания о нахождениимаксимумов и минимумов (507). 166.

Наибольшее и наименьшее значения функции (510). 167. Относительные максимумы и минимумы(511). 168. Дополнительные замечания (514). 169. Примеры (519).468497Оглавление7Г Л А В А VIКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА,НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫИ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ§ 17. Комплексные числа . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170. Комплексные числа (523). 171. Сложение и вычитание комплексных чисел (527). 172. Умножение комплексных чисел (529).173. Деление комплексных чисел (532). 174. Возвышение в степень(533). 175. Извлечение корня (536). 176. Показательная функция(539). 177. Тригонометрические и гиперболические функции (542).178. Цепная линия (547). 179. Логарифмирование (553).

180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы (554). 181. Примеры(558). 182. Кривые в комплексной форме (562). 183. Представлениегармонического колебания в комплексной форме (566).§ 18. Основные свойства целых многочленов и вычисление ихкорней . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184. Алгебраическое уравнение (567). 185. Разложение многочленана множители (569). 186. Кратные корни (571). 187. Правило Горнера (573). 188. Общий наибольший делитель (577). 189. Вещественныемногочлены (578). 190. Зависимость между корнями уравнения иего коэффициентами (580). 191. Уравнение третьей степени (581).192.

Решение кубического уравнения в тригонометрической форме (585). 193. Способ итерации (588). 194. Способ Ньютона (593).195. Способ простого интерполирования (595).§ 19. Интегрирование функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196. Разложение рациональной дроби на простейшие (598). 197.

Интегрирование рациональной дроби (601). 198. Интеграл от выражений,p содержащих радикалы (604). 199. RИнтегралы видаRR(x, ax2 +bx+c)dx (605).R200. Интегралы вида R(sin x, cos x)dx(610). 201. Интегралы вида eax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx (612).523567598ПРЕДИСЛОВИЕк 24-му изданиюЧитателю предлагается переиздание первой книги многотомного труда Владимира Ивановича Смирнова «Курс высшей математики».В чем притягательная сила этого энциклопедического учебника, который выдерживает испытание временем уже более семидесяти лет, переведен на множество языков мира, ссылки на который имеются в научныхпубликациях самого последнего времени?Прежде всего это основополагающая идея, выдвинутая выдающимися учеными, академиками В. А. Фоком и В.

И. Смирновым, работавшимина физическом факультете Ленинградского университета. Она состоялав том, что для студентов физиков и, даже шире, для естествоиспытателей и инженеров, требуется совсем иное содержание и стиль изложенияматематики, чем для студентов математиков. Формализованный стиль,основанный на чередовании определений, лемм и теорем, и доведениеусловий до предельно общих за счет громоздкости доказательства представляется ненужным мышлению физика, использующего эмпирическийподход чаще, чем дедуктивный.Второй составляющей успеха представляемой книги был непревзойденный педагогический дар Владимира Ивановича. До преклонных летон был одним из любимейших лекторов на физическом факультете.

Книги, написанные им, читаются просто и увлекательно, даже те страницы,где проводятся громоздкие вычисления. И все это с сохранением достаточной строгости изложения.Третьим важным моментом является энциклопедический охват материала. Курс включает как общие разделы математики, читаемые дляфизиков, химиков, инженеров и т. д., так и более специализированныеразделы, например, теорию групп или теорию специальных функций.10ПредисловиеПри написании раздела по теории групп значительную помощь емуоказал мой отец член-корреспондент Д. К. Фаддеев.

В последнем томе курса впервые в советской математике было дано изложение функционального анализа. Часть разделов, связанных с функциональныманализом, была доработана после смерти В. И. Смирнова академикомО. А. Ладыженской.Несколько слов надо сказать о личности Владимира Ивановича. Онбыл очень скромным, открытым человеком, никогда не требовавшим отуниверситетского начальства ни отдельного кабинета, ни личной секретарши. Однако он был тверд и решителен, когда выступал в защиту гонимых по тем или иным причинам математиков, когда отстаивал научныепринципы университетского образования.

Ту же О. А. Ладыженскую оннеоднократно спасал от административного произвола, сохранив для математики выдающегося ученого. Авторитет Владимира Ивановича как вЛенинградском математическом сообществе, так и в мировой науке былчрезвычайно высок.До сих пор курс В. И. Смирнова используется как основное учебноепособие на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. На младших курсах одним из лекторов по высшейматематике была Е.

А. Гринина, которая и подготовила данное переиздание к печати.академик РАН Л. Д. ФаддеевОбщая цель сделанных комментариев состоит в том, чтобы упроститьсовременному студенту использование данной книги и как единого учебного пособия, и как справочного материала при работе с другими изданиями. Мною отмечена устаревшая терминология, даны замечания поповоду опущенных вычислений.

Также сделаны некоторые замечания,связанные с методикой изложения материала, отличающейся от принятой в большинстве современных лекционных курсов. В ходе работы былиисправлены опечатки, допущенные в предыдущем издании.канд. физ.-мат. наук Е. А. ГрининаГЛАВА IФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬИ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ1. Величина и ее измерение. Математический анализ имеетосновное значение в ряде наук и, в частности, в естественных науках и технике. В отличие от остальных наук, из которых каждаяинтересуется лишь некоторой определенной стороной окружающего нас мира, математика имеет дело с самыми общими свойствами,присущими всем доступным для научного исследования явлениям.Одним из основных понятий является понятие о величине и ееизмерении.

Характерное свойство величины заключается в том, чтоона может быть измерена, т. е. тем или иным путем сравнена с некоторой определенной величиной того же рода, которая принимаетсяза единицу меры. Самый процесс сравнения зависит от свойстваисследуемой величины и называется измерением. В результате жеизмерения получается число, выражающее отношение рассматриваемой величины к величине, принятой за единицу меры.

Всякийзакон природы дает нам соотношение между величинами или, вернее, между числами, выражающими эти величины. Предметом исследования математики и являются как раз числа и различные соотношения между ними, независимо от конкретного характера техвеличин или законов, которые привели нас к этим числам и соотношениям.12Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[2Итак, каждой величине соответствует измеряющее ее число.Но число это существенно зависит от принятой при измерении единицы или масштаба.

При увеличении этой единицы будет уменьшаться число, измеряющее данную величину, и, обратно, число этобудет увеличиваться при уменьшении единицы. Выбор масштабаобусловливается характером исследуемой величины и обстоятельствами, при которых производится измерение. Величина масштаба при измерении одной и той же величины может меняться в самых широких пределах, — например, при измерении длины в точных оптических исследованиях принимают за единицу длины одинангстрем (одну десятимиллионную долю миллиметра, 10−7 мм); вастрономии же употребляют единицу длины, называемую световым годом, т. е.

расстояние, проходимое светом в течение одногогода (за одну секунду свет проходит примерно 300 000 км).2. Число. Число, которое получается в результате измерения,может быть целым (если единица содержится целое число раз в измеряемой величине), дробным, или рациональным (если существуетдругая единица, которая содержится целое число раз в измеряемойвеличине, так и в выбранной раньше единице, — короче, когда измеряемая величина соизмерима с единицей меры), и, наконец, иррациональным (когда такой общей меры не существует, т. е. даннаявеличина оказывается несоизмеримой с единицей меры).Так, например, в элементарной геометрии доказывается, чтодиагональ квадрата несоизмерима с его стороной, так что если мыбудем измерять диагональ квадрата, приняв за √единицу длины егосторону, то полученное при измерении число 2 будет иррациональным.

Иррациональным же оказывается и число π, измеряющеедлину окружности, диаметр которой принят за единицу.Для уяснения понятия об иррациональном числе полезно обратиться к десятичным дробям. Всякое рациональное число, какизвестно из арифметики, может быть представлено или в виде конечной десятичной дроби, или в виде бесконечной десятичной дроби, причем в последнем случае бесконечная дробь будет периодической (чистой периодической или смешанной периодической). Так,например, производя деление числителя на знаменатель по правилу деления десятичных дробей, мы получим2]§ 1.