1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008), страница 9

13),которая лежит правее оси OY . Часть графика функции√1y = x илиy = x 2 ,лежащая в первом координатном угле, уже была изображена намина рис. 22.Займемся теперь тем случаем, когда обращение однозначнойпрямой функции приводит к однозначной же обратной функции.Для этого нам придется ввести новое понятие.Функция y = F (x) называется возрастающей, если при увеличении независимой переменной x соответствующие значения yвозрастают, т.

е. если из неравенства x2 > x1 следует f (x2 ) >(x1 ).∗∗ Подчеркнем, что неравенство f (x ) > f (x ) должно быть выполнено для21любой пары x1 , x2 , таких что x2 > x1 , из промежутка (a, b) на котором заданафункция.21]§ 1. Переменные величины51При том расположенииосей OX и OY , которыммы пользуемся, возрастаниюx соответствует перемещениепо оси OX вправо, а возрастанию y — движение по осиOY вверх. Характерной особенностью графика возрастающей функции являетсятот факт, что при движении вдоль кривой в сторонувозрастающих x (вправо) мыдвижемся и в сторону возрастающих y (вверх).Рис.

28.Рассмотрим график какой-нибудь однозначной возрастающей функции, определенной в промежуткe a 6 x 6 b(рис. 28). Пусть f (a) = c и f (b) = d, причем, очевидно, в силу возрастания функции c < d. Если мы возьмем какое-нибудь значение yиз промежутка c 6 y 6 d и в соответствующей точке восставим перпендикуляр к оси OY , то этот перпендикуляр встретит наш графикв одной точке, т. е. всякому y из промежутка c 6 y 6 d отвечаетодно определенное значение x. Иначе говоря, функция, обратнаявозрастающей функции, будет однозначной.Нетрудно видеть из чертежа, что и эта обратная функция будетвозрастающей.Аналогичным образом, функция y = f (x) называется убывающей, если при увеличении независимой переменной x соответствующие значения y, наоборот, убывают, т.

е. если из неравенства x2 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ). Как и выше, можно утверждать, что функция, обратная убывающей функции, будет однозначной убывающей функцией. Отметим еще одно важное обстоятельство. Во всех рассуждениях мы предполагаем всегда, что график функции представляет собою сплошную кривую без разрывов.Этот факт равносилен особому аналитическому свойству функции f (x), а именно непрерывности этой функции. Строгое математическое определение непрерывности функции и исследование52Гл. I.

Функциональная зависимость и теория пределов[22непрерывных функций будет нами дано в § 2. Целью настоящейглавы являутся лишь предварительное ознакомление с основнымипонятиями, систематическое изучение которых будет дано в следующих главах.В отношении терминологии заметим, что когда мы говорим офункции без упоминания о ее многозначности, то мы подразумеваем всегда однозначную функцию.22. Показательная и логарифмическая функции. Возвращаемся теперь к исследованию элементарных функций. Показательная функция определяется уравнениемy = ax ,(15)причем мы считаем, что основание a есть заданное положительноечисло (отличное от единицы).

При целом положительном x значение ax очевидно. При дробномположительномx выражение ax√pqpqопределяется как радикал a = a , причем, в случае четногоq, мы условливаемся брать положительное значение радикала. Невходя сейчас в подробное рассмотрение значений ax при иррациональном x, заметим только, что мы получим приближенные значения ax при иррациональном x все с большей степенью точности,если заменим иррациональное x его приближенными значениямитак, как это √было указано выше [2]. Например, приближенными√значениями a 2 , где, как известно, 2 = 1, 414213.

. . , будут√√10100a14 , a1,41 =a141 , . . .a1 = a, a1,4 =Вычисление ax при отрицательном x сводится к вычислениюa при положительном x в силу формулы: a−x = a1x , являющейсяопределением степени при отрицательном показателе. Из упомяну√pтого выше соглашения считать радикалы в выражении a q = q apвсегда положительными вытекает, что функция ax при любых вещественных x всегда положительна.

Кроме того, можно показать,на чем мы не останавливаемся, что при a > 1 функция ax — возрастающая функция, а при 0 < a < 1 — убывающая функция. Болееподробное исследование этой функции будет нами дано дальше [44].x22]§ 1. Переменные величины53На рис. 29 изображены графики функции (15) при различныхзначениях a. Отметим некоторыеособенности графиков на рис.

29.Прежде всего, при любом a 6=0 мы имеем по определению a0 =1 и, следовательно, при любомa график функции (15) проходитчерез точку y = 1 на оси OY , т. е.через точку с координатами (0, 1).Если a > 1, то кривая идет слева направо (в сторону возрастающих x), поднимаясь беспредельноРис. 29.вверх, а при движении влево кривая беспредельно приближается к оси OX, нигде ее не достигая.При a < 1 расположение кривой относительно осей будет иным.При движении направо кривая беспредельно приближается к осиOX, а при движении влево беспредельно уходит вверх. Так как axвсегда положительно, то график, конечно, всегда расположеннадx1можно поосью OX.

Заметим еще, что график функции y = axлучить из графика функции y = a , поворачивая чертеж вокругоси OY на 180◦ . Это вытекает непосредственно из того,x что приупомянутом повороте x переходит в (−x), а a−x = a1 .Заметим еще, что если a = 1, то y = 1x и при всяком значенииx мы имеем y = 1 [12].Логарифмическая функция определяется уравнениемy = loga x.(16)По определению логарифма функция (16) будет обратной дляфункции (15). Мы можем, таким образом, получить график логарифмической функции (рис.

30) из графика показательной, повернув кривые рис. 29 на 180◦ вокруг биссектрисы первого координатного угла.Ввиду возрастания функции (15) при a > 1 обратная функция(16) будет также однозначной возрастающей функцией от x, причем, как это видно из рис. 29, функция (16) определена лишь при54Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределовРис.

30.[22Рис. 31.x > 0 (отрицательные числа не имеют логарифмов). Все графикирис. 30, соответствующие различным значениям a, пересекают осьOX в точке x = 1. Это соответствует тому факту, что логарифмединицы при любом основании равен нулю. На рис. 31 изображендля ясности один график функции (16) при a > 1.С понятием о логарифмической функции тесно связаны понятия ологарифмической шкале и теория логарифмической линейки.Логарифмической шкалой называется такая шкала, нанесенная наданной прямой, длина делений которой соответствует не самому числу,обозначающему деление, а его логарифму, обыкновенно по основанию10 (рис. 32).

Таким образом, если при некотором делении шкалы стоитчисло x, то длина отрезка 1x равна не x, а log10 x. Длина отрезка междудвумя точками шкалы, обозначенными, через x и y, будет равняться(рис. 32)y1y − 1x = log10 y − log 10 x = log 10 ;xдля получения же логарифма произведения xy достаточно к отрезку 1xприбавить отрезок 1y, так как полученный таким путем отрезок будетРис. 32.23]§ 1. Переменные величины55равенlog10 x + log10 y = log10 (xy).Таким образом, имея логарифмическую шкалу, можно приводитьумножение и деление чисел просто к сложению и вычитанию отрезковна шкале,что проще всего осуществляется на практике с помощью двух тождественных шкал, из коих одна может скользить вдоль другой(рис. 32 и 33). В этом и заключается основная идея устройства логарифмической линейки.Рис.

33.Для вычислений часто употребляется логарифмическая бумага, которая представляет собой разграфленный лист, причем, однако, точкиделения на осях OX и OY соответствуют не обыкновенной, а логарифмической шкале.23. Тригонометрические функции. Мы остановимся лишьна четырех основных тригонометрических функциях:y = sin x,y = cos x,y = tg x,y = ctg x,причем независимую переменную x будем выражать в радианноймере, т. е. за единицу угла примем центральный угол, которому соответствует дуга окружности, по длине равная радиусу.График функции y = sin x изображен на рис. 34. Из формулыπcos x = sin x +2ясно, что график функции y = cos x (рис. 35) может быть получениз графика функции y = sin x простым передвижением его вдольоси OX налево на отрезок π2 .56Гл.

I. Функциональная зависимость и теория пределов[23Рис. 34.Рис. 35.На рис. 36 представлен график функции y = tg x. Кривая состоит из ряда одинаковых отдельных бесконечных ветвей. Каждаяветвь помещается в вертикальной полосе ширины π и представляетсобою возрастающую функцию от x. Наконец, на рис. 37 представлен график функции y = ctg x, также состоящий из отдельныхбесконечных ветвей.При передвижении графиков функций y = sin x и y = cos xвдоль оси OX направо или налево на отрезок 2π эти графики совмещаются сами с собой, что соответствует тому факту, что функцииsin x и cos x имеют период 2π, т. е.sin(x ± 2π) = sin x и cos(x ± 2π) = cos x23]§ 1. Переменные величины57Рис. 36.Рис.

37.при любом x. Совершенно так же графики функций y = tg x иy = ctg x совмещаются сами с собой при передвижении их вдольоси OX на отрезок π.Графики функцийy = A sin ax, y = A cos ax (A > 0, a > 0)(17)58Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[23весьма схожи с графиками функций y = sin x и y = cos x. Чтобыполучить, например, график первой из функций (17) из графикаy = sin x, надо длины всех ординат этого последнего графика умножить на A и изменить масштаб по оси OX так, чтобы точка с абсциссой x попала бы в точку с абсциссой xa . Функции (17) такжепериодические, но имеют период 2πa .Графики более сложных функцийy = A sin(ax + b),y = A cos(ax + b),(18)которые называются простыми гармоническими кривыми, получаются из графиков функций (17) передвижением вдоль оси OX наотрезок ab влево (мы считаем b > 0).