1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008), страница 3

Переменные величины1355= 0, 151515 · · · = 0(15),= 0, 2777 · · · = 0, 2(7).3318Наоборот, как известно из арифметики, всякая периодическая десятичная дробь выражает рациональное число.При измерении величины, несоизмеримой с принятой единицей,мы можем сначала подсчитать, сколько раз полная единица заключается в измеряемой величине, затем сколько раз десятая доля единицы заключается в полученном остатке величины, затем сколькораз сотая доля единицы заключается в новом остатке и т. д. Таким путем при измерении величины, несоизмеримой с единицей,будет образовываться некоторая бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Всякому иррациональному числу соответствует такая бесконечная дробь и, наоборот, всякой бесконечной непериодической десятичной дроби соответствует некоторое иррациональноечисло. Если в этой бесконечной десятичной дроби оставить лишьнесколько первых десятичных знаков, то получится приближенноезначение по недостатку иррационального числа, представляемогоэтой дробью. Так, например, извлекая квадратный корень по обычному правилу до третьего десятичного знака, получим√2 = 1, 414 . .

.√Числа 1,414 и 1,415 будут приближенными значениями 2 с точностью до одной тысячной по недостатку и по избытку.Пользуясь десятичными знаками, можно иррациональные числасравнивать по величине друг с другом и с рациональными числами.Во многих случаях приходится рассматривать величины разныхзнаков: положительные и отрицательные (температура выше и ниже 0◦ и т.

п.). Такие величины выражаются соответственно положительными и отрицательными числами. Если a и b — положительныечисла и a > b, то −a < −b, и любое положительное число, включаянуль, больше любого отрицательного числа.Все рациональные и иррациональные числа располагаются внекотором определенном порядке по своей величине. Все эти числаобразуют совокупность вещественных чисел.14Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[2Отметим одно обстоятельство, связанное с представлением вещественных чисел десятичными дробями.

Вместо любой конечнойдесятичной дроби мы можем написать бесконечную десятичнуюдробь с девяткой в периоде. Так, например: 3, 16 = 3, 1599 . . . Еслине пользоваться конечными десятичными дробями, то получитсяточное биоднозначное∗ соответствие между вещественными числами и бесконечными десятичными дробями, т. е. всякому вещественному числу соответствует бесконечная десятичная дробь и всякой бесконечной десятичной дроби соответствует вещественное число. Отрицательным числам соответствуют бесконечные десятичныедроби с предшествующим им знаком минус.В области вещественных чисел выполнимы первые четыре действия, кроме деления на нуль.

Корень нечетной степени из любого вещественного числа имеет всегда одно определенное значение. Корень четной степени из положительного числа имеет два значения, которые различаются только знаком. Корень четной степени из отрицательного вещественного числа не имеет смысла в области вещественныхчисел√n( 0 = 0).Строгая теория вещественных чисел и действий над ними будетнами изложена в [40].Арифметическим, или абсолютным, значением числа a называется само число a, если a — положительное число или нуль, и число −a, если a — отрицательное число.

Абсолютное значение числаa обозначается символом |a|, так что |a| = a, если a > 0, и |a| = −a,если a < 0. Так, например, |5| = 5 и | − 5| = 5 и вообще |a| = | − a|.Нетрудно видеть, что абсолютное значение суммы |a+b| будет равносумме абсолютных значений слагаемых, т. e. равно |a| + |b| только втом случае, если слагаемые имеют одинаковый знак, а при разныхзнаках слагаемых |a + b| < |a| + |b|, так что во всех случаях|a + b| 6 |a| + |b|.∗ «Биоднозначное»означает взаимооднозначное.3]§ 1.

Переменные величины15Так, например, при a = −3 и b = −7 мы имеем знак равенства, апри a = 3 и b = −7 имеем |3 + (−7)| = 4 и |3| + | − 7| = 10, т. е. знакнеравенства.Точно так же легко видеть что|a − b| > |a| − |b|,причем считается, что |a| > |b|. При |a| < |b| неравенство такжесправедливо, ибо слева стоит положительная величина, а справа —отрицательная.Абсолютное значение произведения равно произведению абсолютных значений сомножителей, и абсолютное значение частного(делитель отличен от нуля) равно частному абсолютных значенийделимого и делителя, т.

е.a a |abc| = |a| · |b| · |c| и = .bb3. Величины постоянные и переменные. Величины, исследуемые в математике, разделяются на два класса: постоянные ипеременные.Постоянной величиной называется величина, которая при данном исследовании сохраняет одно и то же, неизменное, значение.Ей соответствует, таким образом, при фиксированной единице меры определенное число.Переменной величиной называется такая величина, которая потем или иным причина может принимать различные значения приданном исследовании.Из этих определений ясно, что понятие о постоянной и переменной величине в значительной мере условно и зависит от обстоятельств, при которых изучается данное явление.

Одна и та жевеличина, которая при одних условиях могла рассматриваться какпостоянная, при других условиях может стать переменной, и наоборот.Так, например, при измерении веса тел важно знать, производится ли взвешивание в одном и том же месте земной поверхностиили в разных: если измерение производится в одном и том же месте, то ускорение силы тяжести, от которой и зависит вес, будет16Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[4оставаться величиной постоянной, и различие в весе между разными телами будет зависеть только от их массы; если же измеренияпроизводятся в разных местах земной поверхности, то ускорениесилы тяжести не может считаться постоянным, так как оно зависит от центробежной силы вращения Земли; благодаря этому однои то же тело на экваторе весит меньше, чем на полюсе, что и можнообнаружить, если производить взвешивание не на рычажных, а напружинных весах.Равным образом при грубых технических расчетах можно считать, что длина входящих в конструкцию стержней есть величинанеизменная; при более же точных, когда приходится принимать вовнимание действие изменения температуры, длина стержней оказывается переменной, что, конечно, значительно усложняет все расчеты.4.

Промежуток. Характер изменения переменной величиныможет быть самым разнообразным. Переменная величина можетпринимать либо всевозможные вещественные значения, без всякихограничений (например время t, отсчитываемое от некоторого определенного начального момента, может принимать всевозможные,как положительные, так и отрицательные, значения), либо значения ее ограничиваются некоторыми неравенствами (например абсолютная температура T ◦ , которая должна быть больше — 273 ◦C);наконец, переменная величина может принимать лишь некоторые,а не всевозможные значения (только целые — число жителей данного города, число молекул в данном объеме газа — или только соизмеримые с данной единицей и т. п.).Укажем некоторые, наиболее распространенные в теоретических исследованиях и на практике способы изменения переменныхвеличин.Если переменная величина x может принимать все вещественные значения, удовлетворяющие условию a 6 x 6 b, где a и b — заданные вещественные числа, то говорят, что x изменяется в промежутке (a, b).

Такой промежуток, со включенными концами, называют иногда замкнутым промежутком. Если переменная x можетпринимать все значения из промежутка (a, b), кроме его концов,т. е. a < x < b, то говорят, что x изменяется внутри промежут-5]§ 1. Переменные величины17ка (a, b). Такой промежуток с исключенными концами называетсяоткрытым промежутком. Кроме того, областью изменения x может быть и промежуток, замкнутый с одной стороны и открытыйс другой: a 6 x < b или a < x 6 b.Если область изменения x определяется неравенством a 6 x, тоговорят, что x изменяется в промежутке (a, +∞), который замкнутслева и открыт справа. Точно так же при неравенстве x 6 b мы имеем промежуток (−∞, b), открытый слева и замкнутый справа.

Еслиx может принимать любые вещественные значения, то говорят, чтоx изменяется в промежутке (−∞, +∞), открытом с обеих сторон.В дальнейшем через (a, b) мы всегда будем обозначать замкнутый промежуток. Часто для замкнутого промежутка пользуютсяобозначением [a, b]∗ . Исключение одного или обоих концов из промежутка мы будем оговаривать особо.5. Понятие о функции.

Чаще всего в приложениях приходится иметь дело не с одной переменной величиной, а с несколькимисразу. Рассмотрим, например, 1 кг воздуха. Переменные величины,определяющие его состояние, будут: давление p(кг/м 2 ), под которым он находится; объем v(м 3 ), который он занимает; температураего t(◦C). Предположим пока, что температура воздуха поддерживается равной 0 ◦C. Число t есть в данном случае постоянная, равная нулю.

Остаются переменные p и v. Если менять p, то будет меняться и v; например, если воздух сжимать, то объем уменьшается.Давление p мы можем менять произвольно (по крайней мере, в пределах, доступных технике), а потому мы можем называть p независимой переменной; при каждой фиксированной величине давления газ, очевидно, должен занимать вполне определенный объем;стало быть, должен существовать такой закон, который позволяет при каждом значении p найти соответствующее ему значение v.Этот закон хорошо известен — это закон Бойля-Мариотта, которыйгласит, что объем, занимаемый газом при постоянной температуре,обратно пропорционален давлению.∗ В математической литературе, как правило, обозначение (a, b) используется именно для открытого промужетка, a [a, b] для замкнутого. На это следуетобратить внимание при использовании этой книги одновременно с другими источниками.18Гл.

I. Функциональная зависимость и теория пределов[5Применяя этот закон к нашему килограмму воздуха, можнонайти зависимость между v и p в виде уравненияv=273 · 29, 27.pПеременная величина v называется в данном случае функциейнезависимой переменной p.Отвлекаясь от этого частного примера, мы можем сказать, что,теоретически говоря, для независимой переменной характернымявляется множество ее возможных значений, и мы можем попроизволу выбирать для нее любое значение из этого множества ее возможных значений. Так, например, множеством значений независимой переменной x может служить какой-либо промежуток (a, b) или внутренность этого промежутка, т.

е. независимаяпеременная x может, например, принимать любые значения, удовлетворяющие неравенству a 6 x 6 b или неравенству a < x < b.Может случиться, что x принимает любые целочисленные значенияи т. д. В указанном выше примере роль независимой переменнойиграло p, и объем v был функцией p. Дадим теперь определениефункции.О п р е д е л е н и е. Величина y называется функцией независимой переменной x, если любому определенному значению x (измножества ее возможных значений) соответствует определенное значение y.Если, например, y есть функция от x, определенная в промежутке (a, b), то это значит, что любому значению x из этого промежуткасоответствует определенное значение y.Вопрос о том, какую из двух величин, x или y, считать независимой переменной, есть часто вопрос только удобства. В нашемпримере мы могли бы, меняя произвольно объем v и определяякаждый раз давление p, считать независимой переменной v, а давление p рассматривать как функцию от v.