Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу, страница 6

) ~й = Зй 2 О 2 С, О ~ С,, О Ве г ~й = — + Зю'. 1 2 с 2) ) хог с С вЂ” полуокружность ф = 1„ 0 < агг г < л: л л л) х дг = ) дг = ) )е " йр = — 1 (е '~ + 1) Йр =— 2 2 2 2 с с О О (г = 1 . елг <р н 10, н)). 1 Можно проще: х = + "Й вЂ” у~, 1 х дг = ) ) х Ыу; с 0 3) ) (г+ 2г) ог 44 с С: ф=2, 1ре — —,—, где г=2ет, поэтому я л~ 1Е 2'2~' 3 ) (г+ 2г) Ыг =) (2е1е+ 4е 1е) г 2(е1Е йр = ) (41е 1Е + 81) йр = 8йц а 3 1 — (г = 2я йго), й(г) с 0 г — г ((г) — аналитическая на С и внутри С; г лежит внутри С. Формула дает возможность вычислять значения аналитической функции внутри области, если заданы ее значения на границе (по значениям на границе восстанавливается )(г) внутри области, если ~(г) — аналитическая).

Если контур сложный, то ) Йг) ог = ) ~(г) дг + ... + / Яг) ог; — )'" (го) =) Иг (получается из формулы Коши 2Я(;,ю 1 Г(г) С (г — го)" " дифференцированием по ге). 3 4. а)) С 3 С вЂ” окружность ~г! = 2, тогда 1".(г) = аналитическая в г — 3 круге (г~ < 2, по теореме Коши интеграл равен нулю. 45 1+! 4) ) е дг = е — 1 (по формуле Ньютона — Лейбница).

( е 1+1 0 Получить этот ответ двумя другими методами. 1Ч. Вычисление интегралов при помощи интегральной формулы Коши: С вЂ” окружность Ц = 4, Дг) = г „го — — 3, г — аналитическая 3 3 в замкнутом круге )г~ < 4, г = 3 лежит внутри круга: 1 — Г(г = 2кФго), Г(го) = 3 = 27, ) Г(г = 54х1; г 1(г) з г 1, о о ), с соз г гз + 2г — 3 4=2 г + 2г — 3 = (г + 3) (г — 1), г, = 1, соз г Г соз 2/(2 + 3) КГ 112 =) Г(г = 2х1 соз 1/4 = — соз 1; (г + 3) (г — 1) г — 1 2 ~4=2 ~4=2 81пг ...... х 2,-2 в) ) 112 = х1 (- 81п 21) = — х1 81п 21 = — (е — е ) 2)з 2 ~4=2 (81П 2) ~ 21 = — 81П г ~„21 = — 81П 21) . Ъ'.

Вычисление интегралов с помощью основной теоремы Коши о вычетах: если функция пГ = Г(г) является аналитической на границе Г области С и всюду внутри области, за исключением быть может конечного числа особых точек г, г, ..., г„, то Л )' Г(2) Г(г = 2х1 11 газ 1(г), Г 1= 1 2 1Г1. Вычисление несобственных интегралов от рациональных Р (х) функций. Пусть В(х) — рациональная функция, В(х) = 9 (х) где Ра(х) и 9„(х) — многочлены степеней ГГГ и 1 соответственно. Если Я(х) непрерывна на всей действительной оси и 1 > й+ 2, т. е. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то 1Я(х) Г(х = 2х1 ~1 гез В(г), Здесь з 46 Ре(г) сумма вычетов функции В(г) = — берется по всем полюсам Ю,(г) г, расположенным в верхней полуплоскости 1т г > О.

Вычислим несобственный интеграл дх 1О о 1. Рассмотрим замкнутый контур ИВ=1+С +11 (рис. 1б), тогда Рис. 15 2л и В 1+х" В Ие(~ ор -) О. 1+ )1" е"~( и н 2л ( -з — е 1 л В 3. 1н=1 О дг . 1 . 1 = 2ш' лез „= 2к( л 1 ее" 1+ г" ( (л — 1)— 5и с пе и с Л г = — 1<=>г,=е л (л е 2лг)lл 1 л ° го=с , 2л (— В гл е де )( Ыг 1 егл( гл 1 +,л О 2л г = г е'~ = ге , 2п 1— Ы ((г = е дг, так как на луче (а =— 2п 21, =(1 — ') 1 Г= 1 (и — 1) — ~, и е 1 2я1 1 п,2п и — ! — 1 л п )П И, И -1— и е — е 2л1 1 и я и в(п и и п ! — 1— е "— е 21 21 П Л 1 2(х Л б. В случае и = 10 имеем — = — и 1 = ) и 10 2 1+х1о, я о 10 в)п 10 2'П. Вычисление несобственных интегралов специального Рь(х) вида. Пусть А(х) — рациональная функция, Н(х) =, где (е)(х) 48 Рь(х) и 9„(х) — многочлены степеней 12 и 1 соответственно. Если А(х) непрерывна на всей действительной оси и 1> Й+ 1 (то есть А(х) — правильная рациональная дробь), то А(х) сов)2хе(х=Ве ~2л( ~ гее, А(г) е( ', )2> 0; ( 1И ( 2)*) ' 1* 1* = 1 (2 2 21 ) ' *), 1 2, где сумма вычетов А(г) е' берется по всем полюсам г, расположенным в верхней полуплоскости 1гп г > О.

Справочный материал Ряд Лорана. Функция ш = ~(г), аналитическая в кольце р < ~г — г ~ ~< )1, разлагается в этом кольце в ряд Лорана: Дг) = ,'~ Са (г — го) = ~> Сь (г — го) + ~~~ Са (г — го), (1) коэффициенты которого находятся по формулам Сг= — ) '' ', Й=О,х1,+2... 2л( (г г )" +т ' г о (2) Здесь à — произвольная окружность с центром в точке г, о лежащая внутри заданного кольца. Разложение в ряд Лорана единственно. В формуле(1) ряды С,(г — г,) и ~~~ С,(г — г,) называются соответственно главной частью ряда Лорана и правильной частью ряда Лорана. На практике для нахождения коэффициентов С, если зто ~2 ~а е~ = 1+ ~+ — + ...

+ — +,. 21 '" л! 1 и положим (, = —, тогда г ' 49 возможно, используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Для примера разложим в ряд Лорана с центром в точке 3 1/а з г~ го = О функцию ~(г) = г е, Функция )(г) = г е аналитична в кольце 0 < ~г~ <, следовательно, разложима в нем в ряд Лорана. Воспользуемся разложением показательной функции в ряд Тейлора в окрестности точки ьо = 0: )(г)=г 1+ — - ...+ +... зГ г 2! г~. Ф! =г +г + — + — + 3 2 г 1 1 1 +...+ + 2! 3! г.й! э з.(у г В силу единственности ряда Лорана полученное разложение функции ~(г) по степеням г является рядом Лорана для функции !".(г) = г е в кольце О <!г! < З 1'г Изолированные особые точки аналитической функции. Классификация (табл.

1). Точка г называется изолированной особой точкой функции ю = !(г), если )(г) — аналитическая функция в круговом кольце О < !г — г ~ < б, кроме самой точки го. Функцию ю = йг) в окрестности точки г можно разложить в ряд Лорана (1), сходящийся в кольце О < !г — г ! < б. Прп этом возможны три различных случая, когда ряд Лорана: 1) не содержит членов с отрицательными степенями разности (г — г ), т.е. Г(г) =~» Сэ (г — го) . В этом случае го называется устраниь «=о мой особой точкой функции и = Д(г); 2) содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности (г — г ), т.е. Д(г) = ~~ С„(г — г ), причем С „э О.

В этом случае г наг э=-п зывается полюсом порядка л функции в = ((г); 3) содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями разности (г — го), т.е. )(г) ='~~ Сэ (г — ге) . В этом случае г„называется э э=— существенно особой точкой функции ш = !(г). При определении характера особой точки используются следующие утверждения. 50 о ф й й о » О. й й ф О ф х о ф в х Р' о х ь Р в' »»Ф Ф о х ! н 8 Н Ят Н Ят ь Н ф х Р' о й х Е" 51 й Ф о х 2 3 О ф 2 х о О х Ф О х й й х х х х х о х о о х х 'О о НР ф 8 а х Н Ф й о о й х о Йа М о Ф Н ф х Ф "х 2, о Ф о й а Ф Ф о й ЛИ„ Н в 1л1 Н 1 о х ь ф в ~ х о о » Ф Ф Р й Ф М ф а К ф ай о н" о о Ф Ф о хй„ х о х м Ф о ф йф2 о Ф в" й о о Ф хо ф Х НВ О о м Ф 2 й Ф а" о о й в" о о ф о о" х ф " 'Ф М й о О, Ф а а й ааф3 х о Ф о о о -И„ Н И.

-И Н о Я Ф о „ Ф а о,й о ф Р Ф о ф й 5 й ф о о о ь о 2 Ф Д о ф Ф х Ф в о Ф х о х х а Ф о ФФ х в ав Ф й р в Р в а Я,', Н Р» о Ф о о й в ь Ф $ х » о ао о х о Ф Ф а Ф о ф О 2 й х о О О о а НР вв о х \Р Ф й о й Ф о а о х Ф 2 о х 4 Ф Ф х о х о х Ф аа о о ) (г) Пусть г — изолированная особая точка функции Дг) =— Н(г) где А(г) и Н(г) — функции аналитические в точке г,. Если числитель и все производные до (Й вЂ” 1) порядка вклю- чительно в точке ге равны нулю, то Мю(г ) з О, знаменатель Н(г) и все производные до (1 — 1) порядка включительно также Равны нУлю в точке го, Н (г ) а О, то пРи 1 > Ф точка го ЯвлЯ(О ется полюсом порядка л = 1 — й аналитической функции )(г). В частном случае, при й = О, 1 = 1 имеем: если Х(ге) з О, Н(го) = О, Н'(го) з О, то гс — полюс пеРвого поРЯдка фУнкции ((г).

3. Пусть при г — э г аналитическая функция ш = ((г) не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного). Это условие яв- ляется необходимым и достаточным для того, чтобы точка гс была существенно особой точкой функции ш = ~(г), Вычет. Пусть г — изолированная особая точка функции: о Вычетом функции 1(г) в точке г называется число, обозначае- мое символом тез )(г) и определяемое равенством е хез Д(г) = — ) Дг) дг. 1 2х( е У (3) 52 1. Чтобы точка го являлась устранимой особой точкой аналитической функции ш = )(г), необходимо и достаточно, чтобы существовал предел 11тп Дг) = С,, причем )Со~ < з -Ф 3 2. Чтобы точка гс являлась полюсом аналитической функции ш = ~(г), необходимо и достаточно, чтобы 11т Дг) = ° .

о Чтобы точка г являлась полюсом порядка п аналитической фуикции ~(г), необходимо и достаточно, чтобы функцию Д(г) можно было представить в виде Дг) = р(г)/(г — го), где т(г)— функция аналитическая в точке г, причем фгс) з О. Формулы для вычисления вычета в различных точках приведены в табл. 2. Преобразование Лапласа, Функцией-оригиналом называется функция ((Г) действительного аргумента ~, удовлетворяющая условиям: 1) Г(г) интегрируема на любом конечном интервале оси г; 2) для всех отрицательных и ~(О = 0; 3) Дз) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и и,, что для всех г: ~~(г)! < Месс'. Изображением функции 1(Г) по Лапласу называется функция Р(р) комплексного переменного р = и+ (т, определяемая равенством Р(Р) = ) е ~ ДИ сЫ.

0 Обозначение: Дз) ='Р(Р). Для любой функции оригинала Г(~) изображение Р(Р) определяется в полуплоскости Ве р > о н является в этой полуплоскости аналитической функцией. Свойства 1. Линейность: для любых комплексных постоянных с и с сг~г(г) + сз)з(г),— с1Рг(Р) + сзРз(Р). 2. Формула подобия для любого постоянного а > 0 Доз~) ы — Р 3. Дифференцирование оригинала: если функции Д~), )"((), (() являются функциями-оригиналами, то Г'(Ю) ее р Р(р) — 1(0), Г(О,=-'рзР(р) — рг(0) — Г(0), 53 1(")(1) .— —'р"р(р) — р" гд(О) — р" 2Г(О) — ...