Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу, страница 2

е. имеем два значения: 3 = — 2+1, 3 = 2 — 1. Проверкой можно убедиться в справедливости полученного ответа. Задача извлечения корня 'Й связана с трудоемкой операцией: возведение в степень п и решение системы, если и > 2. Задача упрощается, если использовать тригонометрическую форму записи комплексного числа г = г (соз д + 1 з1п ~3), 1р = агу г + 2я3, 3 < г. Замечание 1. Выбор промежутка для главного значения аргумента агу з следует согласовать с лектором.

Как правило, полагают — я < агу 3 < я. На занятии надо подчеркнуть, что функция 1э = агд г: а) не определена для г = О; б) разрывна в точках„ в которых х < О, у = О. Можно записать выражение агу 3 через агу $д в разных четвертях: х атятя л-, Х > О (1, 1Ъ' ЧЕтВЕртн) х' я + агу 1я, х < О, у > О (П четверть) х' — я+ агя $3, х < О, у < О (П1 четверть) я Е При х=О и у>О, 1р= —; при х=О н у<О, р.= —— 2' 2 Аргумент числа г = О не определен. Из определения обрат- х х ных тригонометрических функций следует: — — < агс(2' а <— 2 2 О < агсс12 з < х. Полезно в некоторых ответах выписывать и ага г, и Агя з. Следует сразу приучить студентов оперировать с комплексными числами в показательной форме записи: г = г е~~ = г е ~~~ ~.

В частности, выписать на доске для запоминания: и й 2ам е '=1(Фее); е =О е = — 1; е Можно в некоторых примерах получить ответ дважды, используя алгебраическую и показательную формы записи комплексного числа. Замечание 2. Комплексные числа геометрически интерпретируются точками декартовой плоскости хор. Очевидно, что между множеством С и множеством точек этой плоскости существует взаимно-однозначное соответствие, поэтому множество С называют комплексной плоскостью и обозначают С = (2). Замечание 3. Сумма и произведение комплексно-сопряженных чисел — числа действительные: г+ г = 2х; — 2 2 г г = х + у > О; здесь х = Ве г, у=1т з.

Заметим также: зт + з2 = 21+ 22, з1 — Е2 = 21 — 22 ,' 1 2 1 2' 22 з2 (з„) = Р)" ' Р„(з) = Ра (з), где Р„(г) — многочлен степени и с действительными коэффи- циентами. Например, 2г — Зг + 1 = 22 — Зг+ 1. Поэтому, если 1) < О, то (х — г) (х — г) = х + рх + Ч, где р, о е В, т. е. квадратный трехчлен с действительными ко- 2 эффициентами в случае — с < 0 имеет пару комплексно-со- 4 пряженных корней.

Замечание 4. Надо напомнить, что для квадратных уравнений с комплексными коэффициентами справедлива та же формула для корней, что и в случае действительных коэффициентов. Действительно, ч'- 1 =+ й ча+(и' имеет два и только два г — —. различных значения. Замечание 5. Если каждой точке М плоскости г отнести радиус-вектор Ой(, то появится возможность представлять комплексные числа векторами. Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов.

Отсюда следует, что для любых комплексных чисел г и г имеют место соотношения: ~г + гг, 'ь,г1~ + ~гг~; /г1 — гг/ й /г1/ — /г2! (г1 — — (г1 — г2) + гг). модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между точками г и г . При умножении комплексных чисел модули перемножаются, аргументы складываются; при делении комплексных чисел модули делятся, аргументы вычитаются. Из правила умножения комплексных чисел следует (сов у + 1 в1п д)" = сов лд + 1 в(п л~р (формула Муавра). Раскрывая левую часть этой формулы по формуле бинома Ньютона и отделяя действительную часть от мнимой„получим формулы для косинуса и синуса кратных углов: л (и — 1) сов лу = сов д — сов ~р в1п д+ ..., 1 2 и (и — 1) (и — 2) в1п ищ = исоа" д в1п д — сов" д в1п ~р + 1 2.3 Тригонометрическая форма записи г = г (соз у + 1 в1п д) приводит к простому правилу извлечения корней из комплексных чисел: 10 и и ( !р+ 2йк,, д+ 2йк) ')г =ч'г сов +1в!п, й=0,1,2,...,п — 1.

Отсюда следует: корень и-ой степени из комплексного числа г в 0 имеет и и только и различных значений. Соответствующие им точки лежат на одной окружности с центром в точке О и делят эту окружность на и равных частей; поэтому эти точки являются вершинами правильного и-угольника с центром О, В частности, при г = 1 (г = 1, д = 0): п 2йк , , 2йк ~1 = сов — е 1 в(п †-, й = О, 1, 2, ..., и — 1.

и и Задачи для самостоятельной работы 1. Показать на комплексной плоскости г: (!+ 1), 1, 1, (1 — !) (2+ !). 2 + 2! . 3 .240 .103 1 ' 3 — 4! — 3+! 2. Решить систему < г1+ 2гг = 1 + О Зг +!г =2 — 3!. /11 2 3. Найти 1(2 — !), !" —, ~, если Дг) = —.

Найти 3(- 1 — !), К (г/г)„если д(г) = г. г . 4. Записать в показательной форме: 3+41, — 3441, — 3 — 4~', 3 — 40 найти модули и аргументы: 1 — ч'21, 1 е "Г21, (1 - ч'2) 1, 'и, чб4, з в— 'чЗ+ 1, — (е Г' — ~и/7 1+в 1 — ! 5. Вычислить , в 1+ !чЗ 6. Найти все значения корней 7. Решить уравнения: г +2=0; г — 2г лО; г +1 — (=0; 5 . 3 . 7 2г +1=0; г — 4г +8=0; г — 2МЗг +4=0; (3 + 2!) г — (3 — 21) г + 10! = 0; !г~ = 5; 1ш г = 1; !г + 1( + !г — 1! = 4; !г! = 1 — Ве г.

2. Основные элементарные функции комплексного переменного. Вычисление функции в заданной точке Основными элементарными функциями являются г", е, з1п г, соз г, зЬ г, сЬ г, !и г. л е =~~ —, В= (!г~< ); л=о гл + 1 зш г = ~~~ ( — 1)л (2п + 1)! л=о В= (!г! < ° ); гл соз г = ~~> (- 1)л (2п)! л= о зл + 1 зЬ г = ~ (2п + 1)! л=о Полагаем по определению (естественное продолжение в комплексную область соответствующих функций действительного цеременного): ггг сЬ г = ~~~ — В = (~г) < ).

(2п)1 в=о С помощью определения, используя свойства абсолютно сходящихся рядов, можно установить: г+г г г 1) теорему сложения: е ' '= е '. е г, откуда ~ег~ ~ех+ у~ ~ х с~у~ ~ех~ ех 2) е' х 0 при любом г; 3) е' периодич а с периодом Т = 2к1: е'+ гг1 = ег . егю = е*; 4) ееа = сов д + 1 Бгп д (формула Эйлера); е" — е " Е'г + е ег ег е-г 5) Б)пг= ., сонг= 21 ' 2 ' 2 БЬ2= е +е сЬ г = 2, в1п г и сов г периодические с Т = 2х; БЬ г и сЬ г периодические с Т = 2х(; б) $дгх, 1Ьг= —; Б1п г БЬ г сов г ' сЬ г ' 7) формулы связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями: БЬ г = — 1Б1п 1г, ВЬ2 = — 11а'12, сЬ 2 = сов гг, СЖг =1С1г 12; 8) имеют место основные тригонометрические соотношения, в том числе теоремы сложения для синуса и косинуса; Б1П (2 + гг) = Б1П 2 СОБ 22 + Б1П гг СОБ 21 1 2 1 СОБ (21 + 22) СОБ 21 СОБ 22 Б1П 21 Б1П 22 ' БЬ(г ег)=БЬг СЬгг БЬггсЬг11 сЬ(г +г„)=сЬг сЬг +БЬ2 БЬг 13 в!и г+сов г=1, сп г — вп г=1; 2 2 2 2 9) неограниченность в)п г и сов г по модулю, т.

е. для любого М > О существует г такое„что )в)п г! > М„,'соз г~ > М: е "+е" сов )у = 2 ф у -ч Заметим, что 1 и г, где г е О, определяется как отображение, обратное функции е, причем 1 и г = 1п (г! + 1 Ага г = 1п )г! 4 1 (агд г + 2ий), 2 = О, + 1, + 2, Значение функции, которое получается при е = О, называется главным значением и обозначается 1п г = 1п ~г~+ 1 ага г. Обычные правила логарифмирования остаются в силе. Замечание. Функция 1п г разрывна вдоль отрицательной части действительной оси.

Удобно ввести термин "разрез"', можно записать: 1и (х~+ ил = 1п 1х+ Ю) з1п (х — Ю) =1п ~~х! — )и при а х < О. Можно выделить непрерывные ветви 1п г и г, а е Я, в плоскости с разрезом по любому лучу, выходящему из точки О: (Ьп г)„= 1п ~г~ + 1д, — п + а < у < и + а, так что (1 и г) = 1п г главная веточка. Замечание. Основные элементарные функции можно определить просто следующими формулами: 1) е =е (сов х+1в1п у); и и Ы вЂ” гг е — е 2) совг=- —, вгпг= 2 ' 21 3) тег= соз г санг= в1п г 14 г — г г — 2 е +е е — е в'и г 4) с'пг= 2 ' 2 ' сЬг' заг= тп г = —; б) 1п г =!и Ц+1(агд г+ 2ий), )ч е Я; если й = О, то 1п г = 1п ~г~ + 1 ага г — главное значение логарифма (главная веточка); а = е' '" ~, ч' а в С, а е О, а я 1; г =е ", ч'аеС. 1.

Вычислить значения функций: 2 + в! а) е В; б) в!п (5 — !); в) сЬ (- 1+ !); г) 1п (- 2 — !); 1п (- 2 — !); д) !'; е) 2 Решение: 2 ем з а) е з =евгз сов — + ! айп — = — (1+ ! БАГЗ); 3 З~ 2 ! Г -1 = — — !се (сов 5 е ! вш 5) — е (сов 5 — ! з!п 5)1= 2! в е+е е — е = — з!и 5 2 — ! сов 5 = — в!п 5 сЬ 1 — ! сов 5 вЬ 1 2 (Зк !, (Зк = — в!п — + 0,29 . 1,54 — ! соз — + 0,29 1,18 1,48 — ! 0,34 ( 2 ( 2 (отметим, что, ~в!п (5 — !)~ > 1); г) !п (- 2 — !) = 1п ~- 2 — (! + ! агк (- 2 — !) = = !п (5 + ! агс$к — — к, 1п ( — 2 — !) = — !и 5 + ! ~ агс1К вЂ” — к 2 ~' 2 ~ 2 1 .Г 1 1п ( — 2 — !) = — !п 5 + ! агой — + (2!! — 1) к, Ф е Е. 2 ~ 2 Заметим, что натуральный логарифм комплексного числа всегда комплексное число в смысле главного значения; !!=О, +1, Прий=О: [=е . Числа(ей; 1) й.)=" .,=".'; 1е~ е а =е =е = е [сов( — 1)+[айп(-1)) =е(сов 1 — )в(п 1); к() л) 2) у(г)=вЬ г — — ~, г =24 —; о оЗ="2ЗЗЬ2З 2 2 сЬ вЂ” л(— 3 — сЬ 2 вЬ вЂ” л)= вЬ 2 сов — к — )сЬ 2.