Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу, страница 4

хО хо р х = — 2агс$д— р Следовательно, Дг) = 1п(х + у ) + ~ — 2 агой — '-С 2 2 х 1 Найдем С согласно условию 1(1) = О: О =!и (О + 1) + ( — 2 агота О + Сг) 1 <=> С ( = О, Контрольное задание 1. Убедиться в том, что существует аналитическая функция 1(з), для которой: Ке ~(г) = х — Зху — х; 2 а) 1щ 1(г) = Зх + 2ху; б) Ке )(з) = соз х . сЬ у; в) 11п 1(з) = агс)а х, х > О.

х' 25 т.е. С = О и Дг) = 1п (хх+ уз) — 2 агсСЗ вЂ” 1, р Для заданной гармонической функции и(х, у) построили аналитическую функцию, действительная часть которой совпадает с функцией и(х, у). Найти эти функции, если ~(го) = 1 (го выбрать самостоятельно), 2. Найти область аналитичности функций: а) созг; б) з(п —; в) ег; г) г. 4. Функция комплексного переменного как отображение. Конформные отображения 1. Рассмотрим две комплексные плоскости г и ш. Первая содержит точки г = х + (у, вторая — точки ш = и + Ы.

Пусть (г)— некоторое множество точек г, а (ш) — некоторое множество точек ш. Функцией комплексного переменного 1 или отображением множества (г) ыа множество (ш) называется такое соответствие, прн котором каждому элементу г е (г) соответствует определенный элемент ш е (ш), где и = 1(г) — образ элемента г, который называется прообразом элемента ш.

Всякая функция комплексыого переменного может быть записана в виде ш = и(х, у) + Ы(х, у), где и(х, у) и и(х, у) — действительные фуыкции действительных переменных х и у. Например, ш=г =(х+)у) =х — у +2хуй 2 2 2 2 и(х, у) = х — у, э(х, у) = 2ху. 2 2 П. Отыскание образа линии. В плоскости г задаыа линия г(х„у) = О.

Найти образ этой линии на плоскости ш при отображении с помощью функции ш = 1(г) = и(х, у) + )э(х, у). Для рещения этой задачи ыужно из системы уравнений < и = и(х, у) и = и(х, у) выразить х и у через и и ш Подставив полученные выражения х и у в уравнение линии, получим образ этой линии в плоскости ш: Ф(и, о) = О. П1. Линейыая функция ш = аг + Ь производит отображение по следующему правилу: прямая переходит в прямую, окружность — в окружность. 1 Функция ю = — отображает окружность в окружность в рас- г ширенном понимании (см.

с. 37). 1 Функция и = — отображает прямые и окружности, проходя- г щие через начало координат в прямые, так как точка з = 0 отображается в бесконечноудаленную точку ю = . Прямые и окружности, не проходящие через начало координат, функция 1 ш = — отображает в окружности. Аналогично производит отобрав аг+ 6 жение функция более общего вида и = — (см. с. 36). сг+д Задача 1. Дана линейная функция и = 2г — 3(. Найти." а) образ точки з = 1 — й 0 б) образ прямой х — у = 2; 1 в) образ окружности (г + 1 — 6 = —; 2' г) образ треугольника АВО, если А(2,0), В(1,1), О(0,0).

Получим: а) и с = 2го — 3'; ю = 2 (1 — () — 3( = 2 — 5(. Тогда точка г = 1 — ( отображается в точку ю = 2 — 5( (рис. 1); б) для нахождения образа линии выделим в данной функции действительную и мнимую части ю = 2 (х + (у) — 3! = 2х + ( (2у — 3). Рвс. 1 27 Получим и = 2х; о = 2у — 3. Решим эту систему уравнений относительно х н у.

Получим и о+3 х = —, у = . Подставив их в уравнение х — у = 2, будем 2 и о+3 иметь — — = 2 и — о = 7 (рис. 2.)' 2 2 Рис. 2 в) так как в уравнение заданной линии входит г, найдем и+ 3) г= из данной функции и = 2г — 3) и подставим в уравне- 2 и+3( .~ 1 ние окружности — + 1 — (~ = — . Получим ~и + 2 + (~ = 1. 2' 1 Следовательно, окружность ~г + 1 — (~ = — переходит в окруж- 2 ность (и + 2 + (~ = 1 с помощью функции и = 2г — 3( (рис. 3); г) при отыскании образа треугольника АВО нужно найти образы всех его сторон.

Зная, что прямая переходит в прямую с помощью линейной функции, достаточно найти образы вершин треугольника АВО: О(0, 0), г = О, и = — 3(, О'(О; — 3); А(2, 0), г = 2, и(2) = 4 — 31, А'(4; — 3); 28 Рис. 3 В(1, 1), г = 1 4- (, ш(1 е () = 2 (1 + () — 3( = 2 — 1, В'(2; — 1). Треугольник АВО переходит в треугольник АВ'О' на плоскости ю, треугольник А'В'О' подобен треугольнику АВО (рис. 4). Рис. 4 1 Задача 2.

Дана функция ю = —. Найти образы следующих г линий: а) у= — х; б) х — у=— 1 1 3 ' 2 в)х+у = — 4у; г г) (х + 1) + (у — 1) = 4. 1 а) так как Функция ы = — осуществляет взаимно-однозначное г соответствие между точками г и и, то можно разрешить ее от. носительно г и выделить действительную и мнимую части г: 1 1 и — 1о и . о г = — 4 ю к+)о 2+ 2 2+ 2 2 2 Тогда и х= 2+ 2' о и2+ о2 Подставив полученные выражения для х н у в уравнение 1 прямой р= — х, образ которой нужно найти, получим и 1 и 1 о = — — и. и2+о2 Зи2+о2' 3 ' 1 Прямая у= — х, проходящая через начало координат, отобра- 1 жается в прямую о = — — и, проходящую через начало координат 3 (рис.

5); 1 б) подставим х и у в уравнение прямой х — у = —, получим 2' И о 1 2 2 2+ 2 2 —- 2, и +о — 2и — 2о=О; и +о и +о (и — 1) -ь (о — 1) = 2. 1 Прямая х — у = —, не проходящая через начало координат, 2' переходит в окружность (и — 1) + (о — 1) = 2, проходящую 2 2 через начало координат (рис. 6); Ряс. 6 в) в уравнение окружности х + у = — 4у подставим х и у, 2 2 выраженные через и и о: и о 2 4о 1 4о + (и +о) (и +о) (и +о) и +о и +о 22 2 2 ' 2 1 Получим 4о = 1, о = — . 4 ' 2 2 Окружность х + у = — 4у, проходящая через начало коорди- 1 наг, переходит в прямую о = —, не проходящую через начало 4' координат (рис.

7). г) аналогично окружность (х+ 1) + (у — 1) = 4 переходит в 2 2 31 Ряс. 7 2 2 и / с окружност: 2+1 +~- г 2-1 =4; ~и +с~ ~ ~ и +о~ и +с — и-о — — =О; 2 г 1 2 2 2 Окружность, не проходящая через начало координат, перехо дит в окружность и — — ' + о — — = 1, не проходящую через начало координат (рис.

8), Рис. 3 32 Контрольное задание 1. Дана функция ш = — 2(г + 1. Найти образ треугольника ОАВ, если О(0,0), А(0,1), В(-1,0). 1 2. Дана функция ш = —. Найти образ прямоугольника ОАВС, г если О(0,0), А(4,0), В(4,2), С(0,2). З.Дана функция ш=г . Найти образ квадрата АВС.0, если 2 А(1,0), В(2.0), С(2,1), В(1,1). Построить области, определяемые следующими неравенствами: ~ !г — 2! — !г + 2~ > 2; (,, 1;~ < 2. 4 1гпг> — —; 1 5.

к 3 2' — < ага (г — () < — к. !г! < 2. 2 4 Ве г > 2; ~ !г — 3(+ )г е 3( < 5. 7. Дана функция ш = Зг + 2(. Найти образ треугольника ОАВ, если О(0,0), А(1,1), В( — 1,1). 8. Дана функция ш = (з+ 3. Найти образ треугольника ОАВ, если 0(0,0), А(2,0), В(0,2). 1 9. Дана функция ш = —. Найти образ треугольника АВС, если А(1,0), В(0, — 1), С(1, — 1). 1 10. Дана функция ш = —. Найти образ квадрата ОАВС, если О(0,0), А(1,0), В(1,1), С(0,1). 11. Дана Функция ш = з .

Найти образ треугольника ОАВ. г если О(0,0), А(1,0), В(1,1), 12. Дана Функция ш = ')з. Найти образ прямоугольника АВСХ>, если А(1„- 2), В(2,— 2), С(2,2), В(1,2). 1Ч. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Пусть ш = )(з) — функция, аналити- 33 ческая на области 1) комплексной плоскости г и Д(г) е О.

Запишем производную в виде ~'(г) =Ае', где А = у'(г)), а = Ага'l (з). 11усть г = з(г), 8 е (а; Д) дифференцируемая функция и Иг ар — =ге ~0. Она задает некоторую гладкую кривую С. Тогда 1г = по правилу дифференцирования сложной функции где — зО, — еО, ош дз оз (Й найдем — = р еьз я О, откуда р е'т =Агп г еар и а= ~у — ф.

ош ~Й Значит, аргумент производной аналитической функции равен углу, на который поворачивается кривая С при ее отображении с помощью ш = Дг). Но угол а не зависит от вида кривой С, поэтому все кривые, проходящие через точку г, поворачиваются на один и тот же угол а. В силу этого угол между любыми двумя кривыми, проходящими через точку з, сохраняется. Отображение с помощью аналитической функции обладает свойством сохранения углов по величине н направлению в точках, где производная отлична от нуля. Ьи> Из определения производной 1'(г) = 3 !пп — имеем ьз -~ О ~ ~з А = 1!тп — <=> (Ьш( =А (Лз(+ у(Ьг(, Ьш~ Лз — > О где у-е 0 при Лг — > О, т.