Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу, страница 5

е. все точки г+ Ьг, отстоящие от г на одинаковом бесконечно малом расстоянии ~дг~, перейдут при отображении ш = Дг) в точки ш+ Лш, отстоящие от ш на одном и том же бесконечно малом расстоянии (Лш~ = А !Лз~. Если из точки г как из центра провести окружность малого радиуса 'узг~, то ей на плоскости и будет соответствовать окружность малого радиуса узш~ с центром в точке ш.

Значит, отображение 34 при помощи аналитической функции обладает свойством постоянства растяжения бесконечно малых окрестностей отображаемых точек и <Ли< = А <Лг<. В частности, все кривые, проходящие через точку г, растянутся вблизи этой точки в одно и то же число раз, равное А. Поэтому модуль производной в некоторой точке можно назвать коэффициентом линейного растяжения- сжатия в точке при отображении и = Д(г) (бесконечно малой окрестности этой точки).

Таким образом выявляются: 1) геометрический смысл модуля производной: у (г)~ есть коэффициент искажения масштаба в данной точке г отображения и = )(г), если ('(г) и О в этой точке; 2) геометрический смысл аргумента производной: Агя )'(г) есть угол, на который поворачиваются все "направления" выходящие из данной точки з при отображении и> = )(г), если в этой точке ~'(з) к О.

Отображение с помощью аналитической функции Д(г) в точке, в которой 1'(з) ~О, обладает двумя свойствами: 1. Все бесконечно малые дуги, выходящие из этой точки, получают одно и то же растяжение (сжатие), равное модулю производной в этой точке. 2. Каждая из этих дуг поворачивается на один и тот же угол, равный по величине и ориентации аргументу производной.

Рассмотрим отображение м = ((г), которое можно также записать формулами < и = и(х, у); и = и(х, у), где и(х, у) = Ве йх + (у), о(х, у) = 1гп Дх э (у). Дифференцируемое в точке (х, у) отображение называется А В невырождающимся, если в этой точке С )) и О, где ди ди ди ди А.= —, В= —, С= —, 1)= —. ах ' ау ' ах ' ау ' Дифференцируемое и невырождающееся в данной точке отображение называется конформным в данной точке, если обладает 35 в этой точке свойством постоянства коэффициента искажения масштаба и сохраняет углы между "направлениями*' по величине и ориентации, Отображение называется конформным в области В, если оно конформно в каждой его точке. Замечание.

Если рассматривать отображение ю = Г(г) области полной плоскости комплексного переменного в полную плоскость комплексного переменного, переводящее точку гс в точку шс, то определение конформности отображения в точке гс теряет смысл, если хотя бы одна из точек го, во есть . Если зс конечно, и =, то ю = Г(з) называют конформным в точке гс, если г =, то отображение в = )'(г) называют конформным в /11 точке гс, когда отображение и = à — конформно в точке О. Конформное преобразование, сохраняющее углы по величине и ориентации, есть преобразование подобия в бесконечно малом. Оно сохраняет форму отображаемой бесконечно малой фигуры.

Бесконечно малый круг переходит в бесконечно малый круг, а бесконечно малый треугольник АВС переходит в бесконечно малый (криволинейный) треугольник А'В'С', у которого соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. При практическом использовании конформных отображений наиболее часто возникает задача отыскания функции, реализующей конформное отображение заданной области О на заданную область Л. При этом возникают вопросы, связанные с существованием отображения, с его единственностью. Для построения конформных отображений полезно знать, что если )(з) аналитична в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и если ((з) унивалентна на С (разным точкам этого множества отвечают разные значения функции), то м = ~(з) будет конформным отображением области, ограниченной контуром С, на область, ограниченную простым замкнутым контуром Г, который описывает точка ~(г), когда точка з описывает С.

Ч. Дробно-линейные преобразования ь вида аг+Ь а Ь являются единственными конформными отображениями полной плоскости на полную плоскость. Преобразование, обратное дробно-линейному, также дробно-линейно, произведение дробно-линейных преобразований также является дробно-линейным преобразованием, Если преобразование Л определяется матрицей комплексных (а Ь1 чисел ~ ~ с отличным от нуля определителем, то обратное — 1 „(-с а) преобразование 1, определяется матрицей . Преобразование 1, называется целым, если с = О; дробным, если с е О.

а Ьс — аа Заметим, что ш = — + где се О, а а О. Поэтому с сг (г+ с(~ с)' всякое дробно-линейное преобразование можно разложить в произведение трех линейных преобразований вида: ш=г~-а; ш=аг(аеО); ш=— 1 г и рассматривать как суперпозицию преобразований, каждое из которых относится к одному из пяти видов: 1) ш=г+а; 2) ш=ецг; 3) ш=Яг; 4) ш = —; 5) ш = г, где а = ц + (у = я е т, 1 — !т г ' гг=х +у. Эти преобразования могут быть записаны так: и=х+а 1) 1 (параллельный перенос); о=у+() и = х соа у — у з!и у (поворот); о = х з1п у+ у соз у 37 3) (подобие); и = Вх ~ .=яр х и= .2+ 2 4) (инверсия); х +у ( и=х 5) (симметрия).

о = — р Окружностями (в широком смысле) на полной плоскости называют окружности и прямые. Через каждые три различные точки расширенной плоскости проходит единственная окружность (в широком смысле). Всякое линейное преобразование переводит каждую окружность в некоторую окружность, так как преобразование параллельного переноса, поворота, подобия, инверсии (преобразование, обратное инверсии, тоже инверсия) и симметрия переводят окружности (в широком смысле) в окружности (в широком смысле).

Всякое нетождественное дробно-линейное преобразование имеет либо одну, либо две неподвижные точки (т. е. точки, переходящие в себя). Существует единственное линейное преобразование, переводящее три различные точки г, г, г полной плоскости г соответственно в какие-нибудь различные точки ю, ю2, и~з полной плоскости ю.

Задача 3. Нахождение давления потока жидкости на пластинку (рис. 9) сводится к следующей задаче: найти конформное отображение области изменения ( (рис. 11) ва область изменения ш (рис. 10). 1+~ Прн дробно-линейном преобразовании т = область изме1 — ~ пения ( отображается в нижний правый квадрант плоскости т 2 2 (~'~'Ц (рис. 13). Областью изменения т = — т = — будет верхняя полуплоскость (рис.

13). 38 Гю С другой стороны, при помощи преобразования г = т — плос- сР1 кость с разрезом ю сворачивается в верхнюю полуплоскость (рис. 14) (через о обозначена координата точек А и В в плос- Рис. 14 кости и). Теперь остается отобразить верхнюю полуплоскость 1 так, чтобы точки .Р (1 = ), А (1= 1), С (1= 0), В(1= — 1) перешли в точки Р (т = 1), А (т = О), С (т = — 1), А (т = — ) плос- кости т1, для чего достаточно положить 1 — 1 т 2 1+1' 1+)= 40 Разрешая это уравнение относительно ю, находим 4~р ~ (1+~ ) 5.

Интегрирование функций комплексного переменного (ФКП) 1. Сведение интеграла от ФКП к криволинейным интегралам (П рода): ~ )(г) Иг = )( и(х, у) дх — о(х, у) ду + ю ~ о(х, у) сХх е и(х, у) йу, с с с Для вычисления криволинейных интегралов следует перейти к параметрическим уравнениям кривой. 1. ) (г + 2 г ) ог с С: а) отрезок прямой от точки г = О до точки х = 1 — й б) дуга окружности Ц=1, — — <агяз< —. я и 2 2' а) уравнение прямой (О, г ): у = — х, О < х < 1, х — параметр, г+ 2 г = (х+ (у) + 2 (х — (у) = Зх — (у, ) (г + 2г) йх = ) Зх йх + у йу + ) ) — у Ну + Зх пу = С С С 1 1 =) Зхдх+( — х)( — ох)+( ~хох+Зх(-ох)= о О 1 1 2 1 = ) 4х с(х + ( ) ( — 2х) дх = (4 — 2)) — = 2 — й х О О 2 О 41 г б) ( (г + 2г) = ) 3 . 2 соа у (- 2 а1п у) ду + 2 а1п д 2 соз д дд + с х ) х=2совф, х«Ч д=2а1пу, 2 2 г + 1) — 2 а1п д (- 2 в1п д) дд + 3 - 2 соз д 2 соа д йр = х 2 2 2 = — 8 ) соз д з(п д с(д + 1 ) (4 а1п ф + 12 соз у) дд = 8х1.

л 2 х 2 1' 1(г) с(г = Р(г) (;~ = Р(г ) — Р(г ), 20 где Р(г) — одна из первообразных для подынтегральной функ- ции 1(г). 1+1 2. а) ) гз с(г = — = — (1 + 1) = — (21) = — 1; 4 о 4 4 О П, Вычисление интегралов от ФКП по формуле Ньютона— Лейбница. В односвязных областях интеграл от аналитической функции не зависит от пути С интегрирования, а зависит только от начальной точки го и конечной точки г кривой С; вычисляется по формуле Ньютона †Лейбни: ( З 4) 2-4. б) ) (2з — бз ) дг =~з — — =150 — 5941; 1+г в) ) г соз г дг = г з)п г — ) з1п з с(г = 1 з1п 1+ соз ( — 1 (по О О частям); г) интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции равен нулю. Формулы интегрирования элементарных ФКП почти не отличаются от известных формул для функций действительного переменного; 1П.

Вычисление интеграла от ФКП с помощью определенного интеграла от комплексной функции действительного переменного: ~ )(г) <Хг = )( )'(г(1)) г'(1) сй, АВ-кусочно-гладкая кривая, з = г(г) — комплексно-параметрическое уравнение кривой, т. А — ( = а, т.  — 1 = )), Дг) — непрерывная на дуге АВ функция 3, 1))Вегдг С С: а] прямолинейный отреаок, соединяющий точку 0 с точкой 1+ Зй б) ломаная, состоящая из прямолинейного отрезка, соединяющего точку 0 с точкой 1, и прямолинейного отрезка, соединяющего точку 1 с точкой 1 т ЗЙ 43 1 Иг = (1 + 3)) ~й, ~ Ве г дг = ~ (1 + 31) 1 ой = (1 + 31) 2 с О б) 1 Ве г с~г = ) Ве г Зг + 1 Ве г дг, С = С1 ~.~ С2 с с, с, С: г = е, Ыг = <й, 1 е 10> Ц, С2 , 'г = 1 + й, дг = йй, 1 е 10; 3); 2~1 з Ве г ~1г = 1 1 сй = — ~ =- —; 1 Ве г дг = ) 1 .