Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (государственный технический университет) ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания к выволнениго расчетной работы по математическому анапизу Утвер:квемо на заседании редсовета 15 мая 2000 г. Москва Издательство МАИ 2006 Автор-составитель Р.Н. Мололоиннкова Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчислеыие: Методические указания к выполнению расчетной работы по математическому анализу / Авт.-сост. Р.Н. Молодожникова. — М.: Изд-во МАИ, 200б.

— 80 с.: ил. Рекомендации составлены в соответствии с ныне действуюшей программой по курсу "Математический анализ"' и включают указаиия к решению вариантов расчетной работы по разделу "Элементы ТФКП и операционное исчисление". Предназначены для студентов 1 факультета групп 01-201-21б. Могут быть полезны преподавателям математики МАИ, а также студентам вечерних факультетов.

Рецензенты: А.А Грешилов, А.А. Басистов ПЕрсцИфрОВКа: . т-~ото~~огко 06.08.12 ЕЗ Московский авиационный институт (государственный технический университет), 2006 ПРЕДИСЛОВИЕ Методические рекомендации входят в серию работ по созданию методического обеспечения цикла лекций, практических занятий и видов контроля по математике для студентов младших курсов МАИ. Одной из форм активизации учебного процесса по математике служит система расчетных работ (РР). Применение системы РР рекомендовано действующей программой по высшей математике для всех инженерно-технических специальностей факультета № 1.

Основой системы РР является индивидуализация заданий. Задачи — расчетные задания, входящие в предложенные варианты, различны. Каждый студент учебной группы получает индивидуальное задание. Расчетные задания выполняются частями по мере продвижения в изучении курса. Решение каждой задачи приводится на отдельных листах, неверно решенные примеры возвращаются на доработку с указанием характера ошибки. Защита РР осуществляется в форме собеседования, срок защиты устанавливается учебным графиком. Повторная защита проводится вне сетки расписания в письменной форме или путем собеседования (в каждом случае по усмотрению преподавателя).

Промежуток времени до повторной защиты не должен превышать одной недели. РР обеспечивает семестровый курс. Если соответствующий раздел излагается в меньшем объеме, РР подлежит сокращению. Настоящие методические рекомендации обеспечивают учебным пособием самостоятельное выполнение заданий РР студентами второго курса первого факультета под контролем преподавателя. Это первая попытка в создании методического обеспечения специальных разделов курса высшей математики в соответствии с новыми учебными планами. Пособие содержит варианты РР по теории функций комплексного переменного (ТФКП) и операционному исчислению. Задачи представлены 20 вариантами (см.

приложение), отражают не все разделы курса в равной мере. Поэтому важно, чтобы РР и текущие домашние задания дополняли друг друга. Пособие содержит также теоретические вопросы, упражнения и справочный материал в соответствии с содержанием РР. Теоретические вопросы прорабатываются по лекционному материалу и обсуждаются на аудиторных занятиях. РЕШЕНИЕ ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ ВАРИАНТОВ РР 1. Комплексные числа. Действия над комплексными числами Множеством С = (г) комплексных чисел называется множество упорядоченных пар действительных чисел, на котором определены понятия равенства, операции сложения и умножения следующим обрааом: 1) (а, Ь) =(с, с~) <=>а=с и Ь =д; 2) (а, Ь)е(с, З)=(а+с, Ь+д); 3) (а, Ь) . (с, З) = (ас — Ьс(, ас( + Ьс), где а,Ь,с,оеВ. В частности (а, 0)+ (Ь, 0) = (а еЬ, 0) и (а, 0) - (Ь, 0) = (аЬ, 0), поэтому комплексное число вида (а, 0) обычно отождествляют с действительным числом о.

Действительное число (а, 0) принадлежит множеству С и поэтому В ~ С. Нулем множества С служит пара (0,0), а роль действительной единицы играет пара (1, 0). Комплексное число (О, 1) называют мнимой единицей и обозначают ( = (О, 1). Мнимая единица удовлетворяет соотношению ( = — 1. Для любого комплексного числа (а, Ь) справедливо .3 равенство (а, Ь) = (а, 0) + (О, Ь) = (а, 0) + (Ь, 0) (О, 1), поэтому комплексное число г обычно записывают как з = а+ Ь( (алгебраическая форма записи).

Число а е Л называется действительной частью комплексного числа з = а + Ь( и обозначается а = Ве г. Число Ь е Л называется мнимой частью комплексного числа и обозначается Ь = 1т г. Если а = О, Ь а О, то числа з = Ь( называют мнимыми. 2) !г ш! = !г! )ш); 3) (г+ ш! < (г! + (ш(, причем )г + ш! = !г! + !ш! <=> !г=О '! ш = Ьг, где Ь > О. Аргументом ненулевого комплексного числа г = а+ Ь) называется определенный с точностью до слагаемого, кратного 2х, угол, обозначаемый у = ага г и удовлетворяющий соотношениям а .

Ь соз д = —; зш р = —, где г = !г!, Агя г = агя г + 2хп, и = О, 1, 2, .... Значение угла ш е (- х, х), определенное однозначно, называется главным значением аргумента и обозначается агя г. Комплексное число г = а — Ь1 называется сопряженным комплексному числу г = а + Ьй Для любого числа г е С справедливы равенства: (г) = г Нег=Нег, 1шг= — 1шг, Число ге Н<=>г=г и г=Ь)<=>г=— г е С, ш е С справедливы равенства: г. Для любых чисел Гг! = !г~, г+ ш = г+ ш, Действия над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и действия над действительными числами: коммутативному и ассоциативному — для сложения и умножения, дистрибутивному — для умножения относительно сложения.

Комплексные числа можно изображать точками на плоскости, принимая действительную часть за абсциссу, а мнимую — за ординату. Модулем комплексного числа г = а + Ь1 называется число )г! = ~Га2+ Ь~. Если Ь = О, то г = а е В и !г~ = ~Го~ =(а', т. е. для действительного числа понятия модуля и абсолютной величины совпадают. Позтому в множестве С для модуля числа принято то же обозначение, что и для абсолютной величины числа в множестве В. На множестве С комплексных чисел модуль числа обладает всеми признаками абсолютной величины действительного числа. Для любых чисел г, ш е С справедливы соотношения: 1) )г! > О, причем )г! = О <=> г = О; — 2 г ' г = ~4, гв = г ш. Вычитание и деление комплексных чисел определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению.

Если г а О, 18 е С, то уравнение гх = ю имеет на шг множестве С единственное решение х = —, называемое част- Ц' ным чисел 18 и г. Если г = а+ Ь1 и ш = с+ И, то ас + Ьс( ас( — Ьс х = + 1. а +Ь а +Ь Любое ненулевое число г а С можно представить в тригонометрической форме г = г (соз 1р+ 181п 1р), где г = ф, 1р = агя г. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, производится по следующим формулам: (1'1 (СОЗ ф1 + 181П 1Р1)) (Г2 (Сов Ц)2 Е 181П 1~>2)) = = Г1 Г2 (СОЗ (1Р1 + 122) + 1 81П (121 + 122)) т.

е. при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются; Г (сов <р1+ 181П 1р ) Г (СОЗ (121 122) + 1 81П (021 Ц)2))' Гг (СОЗ 122 ~ 181П Я)2) Гг т. е. при делении двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, модуль делимого делится на модуль делителя, а аргументы вычитаются. Возведение комплексного числа в и-ю степень (и я Ф) производится в соответствии с соотношением: (сову+ 181П 12)" = сов и1р+181П и1Р, и = О, 1, + 2, (формула Муавра).

Для любого ненулевого числа г а С и любого значения П и е Ф уравнение х = г на множестве комплексных чисел имеет ровно и различных решений, называемых корнями и-й степени из числа г. г 4 О числа являются ни числа из л ( 1р4 2кй, 1р+ 2кй1 х =чг сов + 1 81П и и г=)г~, 1р=агаг. й=0,1,...,(и — 1), где д+ 2кй, . 1р+ 2к)4 сов +18!и - =1, поэтому все п и п Заметим, что л,— значений Мг имеют один и тот же модуль: и,— Ц = Ц = Ц = ... = )8„1( = ')г (корень арифметический).

Аргу- мент го равен —, аргументы чисел г, и е (О, 1...,„п — 1) полу- Ю и' Зки Я чают по формуле агд гв = агк го + —, где агк го = — . л Формула для нахождения значений га корня '(г имеет проСтОй ГЕОМЕтРИЧЕСКИй СМЫСЛ: ЧИСЛа г, г, ..., гл 1 ИЗОбРажаЮт- ся векторами, концы которых находятся в вершинах правильл ного и-угольника, вписанного в окружность радиуса (г, 2+1 1 — 1 плоскости числа: — , 3 — 1 1+1 1. Показать на комплексной .131 .4л .4л 1 1 .4л .4л 4 3 ,1 ,1 ,1 Решение. 2+1 = х + 1у <=> 2 + 1 = (х + 1у) (3 — 1) «=> 3 — 1 2+1= Зх+у+1(Зу — х) <=> (2 = Зх + у 1 <=> х = у = —.

~1= — х+Зу 2 1 — 4 (1 — () 1 — 21+ ) 2 2 1 4 1 (1 + 1) 2 Корнями и-й степени из единицы являются числа ЗкУ Зк)4 х = сов — +! 81п —, )8 = О, 1,, (и — 1). Корнями и-й степе- и и .4л ( 2)2л ( 1)2л 1. 4л л 1 .131 ( 4)33 .3 ...4л .4л 4 3 2. Извлечь корень чЗ вЂ” 41. Понятие арифметического корня вводится только на В ~ С, поэтому находим значения алгебраического корня по определе- нию: 3 — 41 =(х+ 1у), ГдЕ г = Х+ (у = 42 — 41. 3 ( .3 3 3 ~ х = — 2, ~ х =2, ' <=>1 или 2ху = — 4 ~ у1 = + 1 у2 т.