Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу, страница 7

— у(" ~)(О). Величина 4 (О), й = О, 1, ..., и — 1 понимается как да) 11ш )( 1(г). г-~во 4. Дифференцирование изображения: Р'(р) л- г((г). б. Интегрирование оригинала: ) ~(т) бт,=' —. , р(р) р 6. Интегрирование оригинала: если — является функцией- 1(г) г оригиналом, то ) Р(р) бр.=' —, .Ф) о 7. Формула смещения: для любого комплексного Х 1(г) е ~ ='Г(р + Х).

8. Формула запаздывания: ((г — т),='е "р(р). т > О. 9. Формула умножения изображений: рддр)рМ 4 Х,(гтг - т) б о (4) Отыскание оригинала по изображению Для нахождения оригинала Дг) по изображению г(р) наиболее широко применяют следующие приемы: 55 Интеграл в (4) называется сверткой функций ~ (г) и 12(г) и обозначается символом 1 *Ге.

1 2' 1) если Р(р) есть правильная рациональная дробь, то ее разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби, используя свойства 1 — 9 преобразования Лапласа; 2) используют формулу разложения, согласно которой при некоторых достаточно общих условиях оригиналом для Р(р) будет функция Д(г) = ~~ гее [Р(р)е"'1 где сумма вычетов берется по всем особым точкам рь функции р(р). Формулы соответствия. Широко применяются следующие табличные соотношения (табл. 3). 1,= —; е Ф; е(псине 2 2; совал ы ы . 1 . ю Р р — а р +Оэ р'+ О)' сз в „, и! еп ан .=' с)1 ОМ = г 2 2 2' ' а+1' Р Левые части операциоыных соотношений предполагаются до- 1, М > О, мыоженными на функцию г)(Г) = ' ' которая для сокращения записи, как правило, опускается. Изображение кусочно-линейной функции.

Введем следующие обозыачеыия: т — точки разрыва функций Я() или 1'(1); па — — аь — Ьа — скачки функций в узлах "стыка"; ~)а = (б уь — (х бе — скачки производной; Изображение полигональной функции имеет вид ~~р г~. Задача Коши для обыкновенных лиыейных дифференциальных уравнений. 56 Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом предполагает три этапа: 1) переход от исходных функций к их изображению по Лапласу, при этом дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое относительно изображения искомой функции; 2) решение полученного алгебраического уравнения; 3) получение искомого решения по его изображению.

В качестве примера рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения х' — х = 1 (б) при начальном условии х(0) = 1. Операционный метод решения такой задачи состоит в том,что искомую функцию и правую часть дифференциального уравнения следует рассматривать в качестве оригиналов и переходить от уравнения относительно оригиналов к уравнению, связывающему их изображения. Воспользуемся формулой дифференцирования оригинала: На основании свойства линейности перейдем в уравнении (б) от оригиналов к изображениям (рХ(р) — Ц вЂ” Х(р) = — .

1 р Решим полученное алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения Х(р): Х(р) = 2 1 р — 1 р Остается по известному изображению Х(р) найти соответствующий ему оригинал х(1). Используя свойство линейности преобразования Лапласа и табличные операционные отношения, с получаем х(1) = 2е — 1. Это н есть искомое решение задачи Коши. Формула Дюамеля. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами: 5В 1[х(Г)3 = аох(")(О + а х(" )(О + ...

+ аэх(О = Д(О (6) при нулевых начальных условиях х(0) = х'(О) = ... = х " (О) = О. (7) (Заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями всегда можно свести к задаче с нулевыми условиями) Допустим, что известно решение уравнения Ь[х(О) = 1 (с той же левой частью и правой частью равной единице) при условиях (7).

Обозначим это решение х (О. Тогда решение х(() задачи (6) — (7) можно выразить через х (О и )'(О с помощью одной из формул с с х(О = 1 х'д(т)~(с — т) <(т, х(Г) = 1 х'г(Х вЂ” тЩт) от, о О с Ф х(г) = г(0)х (г) + ) Г(т)х (г — т) Жт, х(г) = 7(0)хф) + ) ['И вЂ” т)хд(т) йт. О о Каждое из этих выражений называют формулой (или интегралом) Дюамеля.

Метод решения дифференциальных уравнений, основанный на формуле Дюамеля, применяют„как правило, в тех случаях, когда возникают трудности при нахождении изображения г(р) правой части 1(г) уравнения (6), а также при необходимости многократного решения задачи (6) — (7) для различных )(г).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Комплексные числа, действия над ними. 2. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного. Формулы Эйлера, 3. Степенная функция. Тригонометрические и гиперболичес- кие функции, 4. Производная функция комплексного переменного. Усло- вия Коши — Римана, Понятие аналитической функции. 5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции.

Понятие о конформном отображении. 6. Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства. 7. Теорема Коши для одно- и многосвязных областей. Фор- мула Ньютона — Лейбница. 8. Интегральная формула Коши. 9. Существование производных всех порядков у аналитичес- кой функции. 10. Ряд Тейлора. Теорема о разложении аналитической функ- ции в ряд Тейлора.

11. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Теорема Лорана. 12. Классификация изолированных особых точек. 13. Вычеты. Вычисление вычетов, 14. Основная теорема Коши о вычетах. Вычисление контур- ных интегралов. 15. Вычисление несобсгвенных интегралов с помощью выче- тов. Лемма Жорданз. 16. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существо- вание и аналитичность преобразования Лапласа.

Поведение изо- бражения на бесконечности. 17. Свойства преобразования Лапласа: однородность, линей- ность, подобие, затухание (смещение), запаздывание. 18.Дифференцирование оригинала и изображения. 19. Интегрирование оригинала и изображения. 20. Свертка функций и оригиналов.

21. Оригиналы с рациональными изображениями. 22. Методы отыскания оригинала по заданному изображению (когда оно рационально). 23. Приложение к решению линейных дифференциальных уравнений и систем. бб ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ (РР) Каждый вариант РР (1 — 20) содержат семь заданий. 1. Записать комплексное число в алгебраической форме. 2. Решить уравнение на множестве С. 3. Найти образ множества при отображении и2 = Д(г).

4. Восстановить аналитическую в окрестности точки г, функцию ((г) по известной действительной части и = и(х, у) или мнимой части е = и(х, у) и значению )(г ). 5. Найти все разложения данной функции ((г) в ряд Лорана по степеням разности (г — г ). о. б. Вычислить интеграл с помощью вычетов: а) контурный интеграл; б) несобственный интеграл. 7, а) операционным методом решить задачу Коши; б) по данному граФику оригинала найти изображение. Вариант 1 1. 2 2. еЬ г = 1. 3. ю = — г+ —; полярная сетка внутри ~г~ с 1. 1( 11 2 ~ г)' 4. и=х — у тху, )(0)=0. б Пг) = г, по степеням (г + 3).

г +г — 2 7. а) у" — 2у' — Зу = 2~, у(0) = 1, у'(О) = 1. б) Вариант 2 1. (1 е ю)', Тп (чЗ( — 1). 2. г +1 — )=О. ф 3. и> = — ~ г + -; полярная сетка вне ф = 1. 1/ 1~ 2( г!' 4, и = †а , )(2) = О. х +у 5. ((г) =, по степеням (г — 3). г 2+а †(г — 1) (г — 4) " (хг + 1)' 7. а) у"' + у' = сое й, у(0) = 1, у'(0) = у"(0) = 1. 62 Вариант 3 1. зш — е 2), (- 1) ~4 2.г =1 — 0 5 3, ш = е; ортогональная сетка. 4. и = х — у~ + х, 1(0) = О, ге = О 3 2 2г +г — г ~ 2+1) , (гг ~4)а)нг (х е25)(9х +1) Т. а) у" — 2у' — Зу = 2й, у(0) = у'(0) = 1. б) Вариант 4 ан 1.аЬ 2е — ~, 4)' 2. г" = '~~3 — ~.

3. ш = соа г; ортогональная сетка, 4. и = х — Зху .~- 1, ЙО) = 1. 63 б. Ю= г+ 1 , го — -1+ 2). г(г 1)' О 2 а) ~ (г + з1н г + 2) ог (, ~ ~ 2 б) ~ их г +ах х+х+1 С 7. а) 2у" + Зу'+у = Зе', у(0) = О, у'(О) = 1; б) Вариант б 1. соз~ — +2(, 1'. (б 2. г4 = — 8 + (8 чЗ. 3. ш =!и г; полярная сетка: (г~ =Я, агя г = О. 2х+ 1 4.

и = сов у, ~(0) = 2. 2-4 б. Йг)= 4 з 2' г +г' — 2г го=О. б4 24(г б ~ (х — х+2)их 6, а) —, С: )г — 1 — е= —; б)( г (г — 1) 4 х4+ 10х2+0 С 7. а) у" — у = сов 32, у(0) = у'(0) = 1; Вариант 6 1. '(2 + — ), 2. г +2=0. 3, и = в(п г; полуполоса: — к < х < л, у ) О.

4. и= . г. Д1)=1+(. хг+ у г+1 б. Д(г) =, го = 2 — 3(. г (г — 1) г г (в1п г + 2) е(г ( 3( г (х — 1) с~х 6. а) ) в(п г ' ' 2~ ' (хг,. 4)г С 7. а) у" ~- у' + у =- 7е, у(О) = 1, у'(0) = 4; 6) б5 Вариант 7 1. 1п (ГЗ+ 1), Агсв1п 4. 2. г + 16 = О. 3. ю = г; 1гп г > О, полярная сетка. 2, 4. и = е" (у сов у + х в1п у), 1(0) = О. 2г — 16 5. ~(г)= 4 в г, го-— О. г +2г — Зг (в1 — 3) с(г г +2яг (х +1) 7, а) у" — у'= й, у(0) = О, у'(0) =1; б) Вариант 8 1, ?п(1+ ГЗО, (-1) '. 2.

в)п г = 2. 3. и = сов г; прямоугольная сетка: х = с, у = с. 4. и = х — у — 2у, ~(0) = О. г+3 б. йг) = г, го = 2 + (. г — 1 (г + г + 3) с(г С ~ ( л 6) ~ с(х 2 а1п г (л е г) 2 (х — 10х + 29) с 7. а) у" + у' = уз+ 2т, у(0) = О, у'(О) = — 2; 6) Вариант 9 1. сЬ(1 — л(), (-1 — () '. 2. г — — + — 1= О. )з 2 2 3. и = Зг+ 9 линия х + у — 2х = 0 (обход против чаеовой 2 2 стрелки ). 4. о = е " е(п х + у, ~(0) = 1. Зг — 18 5.