Учебное пособие по курсу лекций (Власов А.В. - Учебное пособие по курсу лекций - Теория обработки металлов давлением), страница 7

Подставляя n1 = 0 ,получим уравнение для 1-й главной окружностью Мора. Аналогичныевыражения могут быть получены и для других кругов.2 свойствоУгол между прямой, соединяющей точку на главной окружности иполюс, принадлежащий этой окружности, с вертикалью, проведенной изполюса, равен углу наклона площадки к главной оси, индекс которойсоответствует индексу полюса.(C1Q2)τ=(σ1-σ3) sinαcosα /2τnQ2Q3T12ααC1P1P3(σ2+σ3)/2C2(C1Q2)σσn(σ1-σ3)sin2ασ1Рис. 1.11.

К выводу свойств главных окружностей МораПроведем из точки P1 прямую P1Q2 под углом α к линии P1T1параллельной оси τ n до пересечения с окружностью 2 в точке Q2 (Рис. 1.11).33Точку пересечения линии P1Q2 с окружностью 3 обозначим Q3 . Докажем,что точки Q2 и Q3 лежат на одной окружности с центром в точке C1 иопределим радиус этой окружности.Очевидно:(C1Q2 )2 = (C1Q2 )σ2 + (C1Q2 )τ2Поскольку точка Q2 лежит на окружности, то угол ∠P1Q2 P3 - прямой,тогда:()(C1Q2 )τ = (σ 1 − σ 3 )sin α cosα = σ 1 − σ 3 cos 2α = (C2Q2 )cos 2α2Попутно можно считать доказанным, что угол ∠P1C2Q2 = 2α(C1Q2 )σ = σ 1 − σ 2 + σ 3 − (σ 1 − σ 3 )sin 2 α = (σ 1 − σ 3 )cos 2 α − σ 2 − σ 322(C1Q2 )2 = (C1Q2 )σ2 + (C1Q2 )τ2 == (σ 1 − σ 3 )22σ −σ3 ⎤⎡sin α cos α + ⎢(σ 1 − σ 3 )cos 2 α − 2⎥ =2⎣⎦22= (σ 1 − σ 3 )2 sin 2 α cos 2 α + (σ 1 − σ 3 )2 cos 4 α −2⎛σ −σ3 ⎞− (σ 2 − σ 3 )(σ 1 − σ 3 )cos α + ⎜ 2⎟ =2⎠⎝2= (σ 1 − σ 3 )22⎛σ −σ3 ⎞cos α − (σ 2 − σ 3 )(σ 1 − σ 3 )cos α + ⎜ 2⎟ =2⎠⎝222⎛σ −σ3 ⎞= (σ 1 − σ 3 )(σ 1 − σ 2 )cos α + ⎜ 2⎟2⎠⎝Сравнивая полученное выражение с выражением для радиусасемейства окружностей r1 можно сделать вывод, что n1 = cosα .

Поэтомуугол α = α1 - угол между нормалью к площадке и осью 1 .Проведя аналогичные преобразования можно показать, чтоC1Q2 = C1Q3 . Таким образом утверждение, что точки Q2 и Q3 лежат наодной окружности можно считать доказанным.Аналогично можно доказать свойства прямых, проведенных подуглами α 2 ,α 3 из полюсов P2 , P3 ( α 2 ,α 3 - углы между нормалями к площадкеи осями 2,3 ). Из полученных свойств диаграммы Мора следует графическоепостроение, дающее возможность определить нормальные и касательныенапряжения в наклонной площадке по значениям направляющих косинусов(Рис.

1.12).234ττ для Dσα2=90οMα3=90οα1=90οα3α2Oσ3P3C1α2P22α12α2O' C2C3α1P1σσ2σ1Рис. 1.12. Определение напряжений в произвольной наклонной площадке спомощью диаграммы Мора3 свойствоПри наложении на тело дополнительного всестороннего напряженияили сжатия радиусы окружностей Мора не меняются. Изменяется толькоположение вдоль горизонтальной оси.Форма диаграммы Мора может быть охарактеризована однимпараметром, составленным как отношение разности диаметров малыхокружностей (σ 2 − σ 3 ) − (σ 1 − σ 2 ) к диаметру большой окружности(σ 1 − σ 3 ) . Этот параметр называют параметром Лоде-Надаи.(σ − σ 3 ) − (σ 1 − σ 2 ) 2σ 2 − σ 1 − σ 3 σ 2 − σ 3=2µσ = 2=−1(1.32)(σ 1 − σ 3 )σ1 − σ 3σ1 − σ 3Геометрически этот коэффициент есть отношение расстояния междуцентром окружности 2 (точка С2) и точкой с координатами σ n = σ 2 ,τ n = 0(точка P2) к радиусу окружности 2: (σ 1 − σ 3 ) 2 .Параметр Лодэ - Надаи изменяется в пределах -1≤µσ≤1.Для одноосного растяженияσ1>0;σ2=σ3=0; µσ=-1;для одноосного сжатияσ1=σ2=0; σ3<0;µσ=1;35для чистого сдвигаσ1=-σ3;σ2=0;µσ=0.Не изменяется и значение параметра Лоде-Надаи, что следует изполученной формулы.

Вспомним, что при наложении на тело всестороннегорастяжения или сжатия не изменяется также девиатор напряжений. Поэтомупринято считать, что параметр Лоде-Надаи характеризует девиаторнапряжений.Увеличение или уменьшение главных напряжений на одну и тужевеличину сдвигает диаграмму вдоль оси σ . Если ось τ сдвинуть в сторонуфигуры на величину среднего нормального напряжения σср, то получимотображение девиатора напряжений.

Ось τ при этом всегда пересекаетфигуру. Шаровой тензор отобразится на диаграмме Мора окружностьюнулевого радиуса, расположенной на расстоянии σср от начала координат.Из круговой диаграммы Мора следуют свойства напряженногосостояния в точке тела:1. Экстремальность крайних главных напряжений σ1 и σ3. Наибольшееглавное напряжение σ1 является наибольшим не только из трех главныхнапряжений, но и из всех нормальных напряжений, существующих врассматриваемой точке.

Наименьшее главное напряжение σ3 являетсянаименьшим из всех нормальных напряжений в рассматриваемой точке.2. Экстремальные значения касательных напряжений и площадки ихдействия. Касательные напряжения изображаются ординатами точеккруговой диаграммы. Для семейства окружностей 1, 2, 3 экстремальныеординаты соответственно равны:111τ 23 = (σ 2 − σ 3 ) ; τ13 = (σ 1 − σ 3 ) ; τ12 = (σ 1 − σ 2 ) .2221Касательное напряжение τ13 = (σ 1 − σ 3 ) является максимальным для2всех площадок, проходящих через рассматриваемую точку.

Положениеплощадок экстремальных касательных напряжений определяется поформулам направляющих косинусов:2⎫2 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )n1 =⎪(σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) ⎪2⎪2 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 3 ) ⎪(1.33)n2 =(σ 2 − σ 1 )(σ 2 − σ 3 ) ⎬⎪22 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) ⎪n3 =⎪(σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) ⎪⎭Например, для точки B (рис. I-7)111σ n = (σ 1 + σ 3 ); τ n = (σ 1 − σ 3 ) ⇒n1 = n3 = ±; n2 = 0 ;222Естественно, что эти результаты совпадают с полученными нами ранеенаправлениями площадок главных касательных напряжений. Очевидно, что36эти же результаты могут быть получены графически из анализа диаграммы.Действительно, для точки В: α1 = α 3 = 45 ;α 2 = 90 , т.е. площадкинаибольших касательных напряжений перпендикулярны площадкепромежуточного главного напряжения σ2 и делят пополам прямые углы,образованные площадками двух других главных напряжений (σ1 и σ3).1.14.

Дифференциальные уравнения равновесия (движения)В общем случае напряженное состояние неоднородно, иными словамив двух, даже расположенных близко друг от друга, точках оно различно.Следствием этого являются градиенты напряжений, создающие причинытечения металла. Рассмотрим напряженное состояние в двух точках М и М',расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга.Проведем через эти точки плоскости, параллельные координатнымплоскостям. Пересечение этих плоскостей образует параллелепипед состоронами dx, dy, dz.`∂σzσ z + z dz∂z∂τ zxτ zx +dz∂τ zy∂zτ zy +dzz∂yx∂τ yxτ+dyyxM’∂yσxτ yx dz∂σ yτ xyσyσy +dy∂yτ yzτ xzτ xy +∂τ xy∂xdx∂σσ x + x dx∂xdxdyMτ zyτ zxτ yz +∂τ yz∂ydyσzτ xz +∂τ xzdx∂xНапряженное состояние в точке М определяется тензором:⎛ σ x τ yx τ zx ⎞⎜⎟Tσ M = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟⎜⎟⎝τ xz τ yz σ z ⎠Предположим, что компоненты тензора σ ij - гладкие функции,следовательно, их можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки М.Ограничимся при разложении только первыми производными, поскольку37окрестность считаем бесконечно малой.

Тогда компоненты тензоранапряженного состояния в точке М', находящейся на бесконечно маломудалении от точки М можно представить как:∂σ ij∂σ ij∂σ ij= σ ij+σ ijdx +dy +dz(1.34)M'M∂x M∂y M∂z MВ этом выражении членами, в которых индекс площадки не совпадает с∂σ yxdx ) можно пренебречь. Иными словамиприращением (например∂x Mсчитаем, что приращение каждого напряжения выражается частнымдифференциалом по той координате, в направлении которой переместиласьплощадка действия данного напряжения. Тогда напряженное состояние вточке М' будет представлено следующим тензором:∂τ yx⎞⎛∂σ x∂τ⎜σx +dx τ yx +dy τ zx + zx dz ⎟∂x∂y∂z⎟⎜⎜∂τ xy∂σ y∂τ zy ⎟(1.35)Tσ M ' = ⎜τ xy +dx σ y +dy τ zy +dz ⎟∂x∂y∂z⎟⎜∂τ yz⎜∂τ xz∂σ z ⎟dx τ yz +dy σ z +dz ⎟⎜ τ xz +∂∂x∂yz⎠⎝Если пренебречь массовыми силами, то тело должно находиться вравновесии.

Тогда сумма проекций сил, действующих на параллелепипед накаждую из координатных осей должна равняться нулю:ΣХ=0; ΣY=0; ΣZ=0;Рассмотрим первое уравнение равновесия.Приравнивая к нулю сумму проекций сил на ось x , находим (сила,действующая в площадке равна произведению напряжения на площадьплощадки):∂τ yx∂σ xdx)dydz − σ x dydz + (τ yx +dy )dxdz − τ yx dxdz +(σ x +∂y∂x.∂τ zx+ (τ zx +dz )dxdy − τ zx dxdy = 0∂zРаскрыв скобки, приведя подобные члены, и поделив на dV=dxdydz,найдем∂σ x ∂τ yx ∂τ zx++=0.∂x∂y∂zАналогично получим два других уравнения.

Окончательно системадифференциальных уравнений равновесия в декартовой системе координатпримет вид:38⎫∂σ x ∂τ yx ∂τ zx++= 0⎪∂x∂y∂z⎪⎪⎪∂τ xy ∂σ y ∂τ zy++= 0⎬∂x∂y∂z⎪⎪∂τ xz ∂τ yz ∂σ z++= 0⎪∂x∂y∂z⎪⎭В сокращенных обозначениях эти уравнения запишутся5σ ij ,i = 0(1.36)(1.37)Используя уравнения равенства моментовΣMx=0;ΣMy=0;ΣMz=0,можно получить уже полученный ранее закон парности касательныхнапряженийτzy=τyz;τxz=τzx;τxy=τyx,Рассмотренные выше уравнения являются уравнениями равновесия. Вреальности частицы металла движутся с определенным ускорением, крометого, на металл действуют массовые силы (например, силы тяжести). Вобщем случае уравнения равновесия превращаются в уравнения движения ибудут иметь следующий вид:σ ij ,i + ρg i = ρwi(1.38)где g i , wi - компоненты векторов удельных массовых сил (например,силы тяжести) и вектора ускорений.В большинстве реальных задач ускорениями и, особенно, массовымисилами можно пренебречь и уравнения движения превращаются в уравненияравновесия.Уравнениядвиженияобычнорассматриваютдлявысокоскоростных процессов, например процессов магнитно-импульснойштамповки.Заметим, что для определения шести компонент напряжений (с учетомпарности касательных напряжений) имеем только три известных уравненияравновесия (движения).

Остальные уравнения, необходимые для решениязадачи, можно получить, используя физические свойства деформируемыхметаллов и геометрические соотношения.1.15. Дифференциальные уравнения равновесия дляосесимметричного напряженного состоянияВ технологии обработки давлением часто встречаются детали,являющиеся телами вращения. Для анализа таких технологических задачпользуются цилиндрическими координатами ρ, θ, z.5Запятая в сокращенной записи обозначает частную производную поиндексу, стоящему после запятой.39В цилиндрических координатах (Рис.