Учебное пособие по курсу лекций (Власов А.В. - Учебное пособие по курсу лекций - Теория обработки металлов давлением), страница 8

1.13) напряженное состояние вточке характеризуется тензором:⎛ σ ρ τθρ τ zρ ⎞⎜⎟Tσ = ⎜τ ρθ σ θ τ zθ ⎟(1.39)⎜⎟⎝ τ ρz τθz σ z ⎠dθdzσzτzρτzθZMσθτθρzρθτρzτθ z MσρτρθdρРис. 1.13. Напряженное состояние в точке в цилиндрической системекоординатОграничимся выводом уравнений равновесия для осесимметричногонапряженного состояния. Осесимметричное напряженное состояние имееттело вращения, к которому приложены внешние силы, действующие вмеридиональных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось симметрии)и одинаковые для любой меридиональной плоскости. Примером могутслужить осадка цилиндрической заготовки, вытяжка цилиндрическогостакана из плоской цилиндрической заготовки и др.Осесимметричноенапряженноесостояниехарактеризуетсяследующими свойствами:1.

В силу симметрии все касательные напряжения в меридиональныхсечениях (плоскостях, проходящих через ось z, иными словами плоскостях синдексом θ) будут равны нулю, поскольку если бы они существовали, товызывали бы сдвиги в меридиональных сечениях, что приводило бы кнарушению осевой симметрии. Тогда в силу парности касательныхнапряжений: τ θρ = τ ρθ = 0;τ θ z = τ zθ = 0 .2. Компоненты напряжений σρ, σθ, σz, τρz отличные от нуля, в силу∂той же симметрии не зависят от координаты θ:σ ij = 0∂θСледствием этих свойств является то, что осесимметричноенапряженное состояние сохраняется на всем протяжении деформированиязаготовки, а материальные точки тела, находящегося в таком состоянии,движутся строго в меридиональных плоскостях.40τ zρ +∂τ zρ∂zdzdθCdzBM`σρ +τρzσθAdρ∂σ zdz∂zA`σθσρρσz +Mσz∂ρdρB`τzρC`∂σ ρρτ ρz +∂τ ρz∂ρdρРис. 1.14.

К выводу уравнений равновесия для осесимметричногонапряженного состояния в цилиндрической системе координат.Тензор напряжений для осесимметричного напряженного состоянияимеет вид:⎛σ ρ0 τρ z⎞⎜⎟Tσ = ⎜ 0 σ θ0 ⎟(1.40)⎜⎟0 σz ⎠⎝ τ zρПользуясь тем же методом, как и для объемного напряженногосостояния, выведем дифференциальные уравнения равновесия вцилиндрических координатах для осесимметричного напряженногосостояния.Площади элементарных площадок:Fρ = FABCM = ρdθdzFρ + dρ = FA`B`C `M ` = ( ρ + dρ )dθdzFθ = FABC `M ` = FA`B`CM = dρdzFz = FAB`C `M = FA`BCM ` = ρdθdρПроектируя все силы на оси ρ и z и принимая sinусловия равновесия:dθ dθ, запишем=2241∂σ ρdθ ⎫−⎪∂ρ2 ⎪⎪∂τ zρτ zρ ρdθdρ + (τ zρ +dz ) ρdθdρ = 0;⎪⎪∂z⎬∂σ z⎪− σ z ρdθdρ + (σ z +dz ) ρdθdρ − τ ρz ρdθdz +⎪∂z⎪∂τ ρz⎪+ (τ ρz +dρ )( ρ + dρ )dθdz = 0.⎪⎭∂ρраскрывая скобки и приводя подобные члены, получим∂σ ρ∂σ ρσ ρ dρdθdz +ρdρdθdz +dρ 2 dθdz − σ θ dρdzdθ +∂ρ∂ρ− σ ρ ρdθdz + (σ ρ +dρ )( ρ + dρ )dθdz − 2σ θ dρdz⎫⎪⎪⎪≈0⎪∂τ zρ⎪+dzρdθdρ = 0;⎬∂z⎪∂∂ττ⎪∂σ zρzρzdzρdθdρ + τ ρz dρdθdz +ρdρdθdz +dρ 2 dθdz = 0.⎪∂z∂ρ∂ρ⎪⎪⎭≈0пренебрегая бесконечно малыми высших порядков и сокращая наdV = ρdθdρdz получим дифференциальные уравнения равновесия дляосесимметричного напряженного состояния∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ θ⎫++= 0;⎪ρ∂ρ∂z⎪(1.41)⎬∂τ ρz ∂σ z τ ρz⎪++= 0.⎪⎭ρ∂ρ∂z1.16.

Плоское деформированное и плоское напряженноесостоянияПри обработке давлением часто возникают случаи, когда деформации водном направлении пренебрежимо малы, по сравнению с деформациями вдругих направлениях. Такое явление обычно возникает при штамповкезаготовок с вытянутой осью, когда основное течение металла происходит внаправлениях перпендикулярных этой оси, т.е. в поперечных направлениях.В качестве примера служат объемная штамповка шатуна, осадкадлинной призматической заготовки, гибка, когда линия гиба параллельнадлинной стороне детали. В этих случаях считают, что имеет место плоскаядеформация металла в поперечных сечениях заготовки.

А само напряженноесостояние называют плоским деформированным состоянием.При решении многих других практических задач можно считать, что водном из главных направлений отсутствуют напряжения. Примером служит42листовая штамповка. В большинстве процессов листовой штамповкинапряжения, нормальные к поверхности листовых заготовок, составляютдоли процентов от напряжений, возникающих в поперечных сеченияхзаготовок. В этих случаях имеет место плоское напряженное состояние.Выберем систему координат xyzтак, чтобы ось z совпала снаправлением отсутствующей деформации или с направлениемотсутствующего нормального напряжения.Как плоское деформированное, так и плоское напряженное состояниехарактеризуютсяследующимидополнительнымиособенностями,вытекающими из физической сущности:• Все компоненты напряженного состояния не зависят от координаты z иостаются постоянными при ее изменении. Иными словами напряженноесостояние в любом сечении, перпендикулярном оси z одинаково по всейдлине заготовки.• В площадках, перпендикулярных оси z отсутствуют касательныенапряжения (в противном случае происходило бы искривление оси).Таким образом, площадки, перпендикулярные оси z являются главными,главными являются и напряжения σ z .Нормальное напряжение в направлении оси z равно:Для плоского деформированного состояния (ПДС)при упругих деформациях:σ z = µ σ x + σ y , µ - коэффициент Пуассона()при пластических деформациях:σx +σ yσz =; (в дальнейшем это свойство будет доказано)2Важная особенность ПДС при пластической деформации σ z = σ cp .Действительно:σx +σ yσ+σ+xyσx +σ yσx +σ y +σz2===σ zσ cp =332Для плоского напряженного состояния (ПНС)σ z = 0;Еще раз подчеркнем разницу между ПНС и ПДС.

Для ПНС внаправлении оси z отсутствуют напряжения, но существует деформация. ДляПДС наоборот – отсутствует деформация, но существуют напряжения.Графически напряженное состояние для этих случаев изображено на Рис.1.15, Рис. 1.16:43σz =0σxτxyτ yxσz =σyРис. 1.15. Плоское напряженноесостояниеσxτxyτ yxσx +σ y2σyРис. 1.16.

Напряженное состояниепри плоском деформированномсостоянииНапряженное состояние для ПНС и ПДС можно представить в видеследующих тензоров:Для ПНС⎛ σ x τ yx ⎞⎟Tσ = ⎜⎜(1.42)⎟τσxyy⎝⎠Для ПДС⎛ σ x τ yx 0 ⎞σx +σ y⎜⎟(1.43)Tσ = ⎜τ xy σ y 0 ⎟; σ z =2⎜ 0⎟0 σz⎠⎝Уравнения равновесия для плоской задачи могут быть получены изосновной системы уравнений равновесия и имеют вид:⎫∂σ x ∂τ xy+= 0;⎪∂x∂y⎪(1.44)⎬∂τ xy ∂σ y+= 0.⎪⎪⎭∂x∂yОпределим для плоских задач формулы для вычисления главныхнапряжений, полученные нами ранее для общего случая.Ранее мы показали, что для любого напряженного состояниясуществуют три взаимно перпендикулярные площадки главных напряжений.Поскольку одна из них нам известна (площадка перпендикулярная оси z , т.е.плоскость xOy ), то две другие будут перпендикулярны плоскости xOy илипараллельны оси z .

Поскольку ось z главная, то направляющий косинус всехэтих площадок n z = 0 .Для площадок параллельных оси z элементарная пирамидапревращается в прямоугольную призму, основанием которой являетсяпрямоугольный треугольник. Вид на такую элементарную призму со стороныположительного направления оси z представлен на рисунке. Для таких44наклонных площадок справедливо, что вектор полного напряжения pn лежитв плоскости, перпендикулярной этой площадке (Рис. 1.17).yypnnnσxτnσxσnσn=pn=στxyτxyατyxαxσyτyxxσyРис.

1.17. К определению главных напряжений для плоской задачиДля определения главных напряжений, как и в общем случае, будемсчитать, что в некоторая наклонная площадка есть площадка главныхнапряжений, в которой pn = σ n = σ . Используя формулы (1.4),определяющие проекции полных напряжений в наклонной площадке черезнапряжения в координатных площадках и направляющие косинусынаклонной площадкиpi = σ ji n j ,а также то, что в главных площадках полное напряжение равнонормальному и, следовательно:pi = pn ni = σ niполучим систему однородных линейных алгебраических уравненийотносительно направляющих косинусов.

В плоском случае надо учесть, чтовсе касательные напряжения, имеющие в индексе z , равны нулю.p x = σn x = σ xx n x + τ xy n yp y = σn y = τ yx n x + σ yy n yНетривиальное решение этой системы возможно при равенстве нулюследующего определителя:σx −στ yx∆==0τ xyσ y −σРазвертывая определитель:(σ x − σ )(σ y − σ ) − τ xyτ yx = 0Преобразуя получим :452σ 2 − (σ x + σ y )σ + σ xσ y − τ xy=0Откуда для ПДС:σ 11 ⎫ σ x + σ y 1±⎬=σ 33 ⎭22(σ x − σ y )2 + 4τ xy2(1.45)σ + σ 33σ 22 = 11=σ z2Таким образом, для плоского деформированного состояниянапряжение, действующее в направлении отсутствующей деформации,является одновременно средним главным и средним нормальнымнапряжением.σ z = σ cp = σ 22Для плоского напряженного состояния заранее нельзя сказать, чтоглавное напряжение, направленное вдоль оси z и равное нулю, являетсясредним главным.

Оно может быть и максимальным и минимальным исредним. Поэтому, в приведенных ниже формулах для плоскогонапряженного состояния нижние индексы обозначают просто порядковыйномер главного напряжения:σ1 ⎫ σ x + σ y 12±σ x − σ y 2 + 4τ xy⎬=σ2⎭22()σ3 = 0 =σ zОпределим угол наклона площадки главных напряжений. Очевидно,что для плоских задач направление площадки достаточно задавать однимуглом α. Действительно, поскольку n z = 0 , то n x2 + n 2y = 1 .Обозначив через α угол между нормалью к площадке и осью x,получим:n x = cosα ; n 2y = 1 − cos 2 α ⇒ n y = sin αВернемся к рассмотрению первых двух уравнений системы, полагая вних σ ≠ 0 , тогдаn x σ x n x + τ xy n y=n y τ yx n x + σ y n yпреобразуя:τ xyσx −σ y=nx n yn x2 − n 2yс учетомn x = cosα ; n y = sin α ,cos 2 α − sin 2 α = cos 2α ; 2 sin α cosα = sin 2α получим46tan 2α =2τ xy(1.46)σx −σ y1.17. Приближенные уравнения равновесия в анализеформоизменяющих операций листовой штамповкиСуществует целая группа технологических операций обработкидавлением, в которых в качестве заготовки используется листовой материал.Эти операции называются операциями листовой штамповки.Операции листовой штамповки делятся на формоизменяющие иразделительные.