Учебное пособие по курсу лекций (Власов А.В. - Учебное пособие по курсу лекций - Теория обработки металлов давлением), страница 5

Площадки, параллельныекоординатным плоскостям такой системы называются главными площадками,а нормальные напряжения, действующие в главных площадках – главныминормальными напряжениями.Попробуем получить уравнения, выражающие напряжения в главныхплощадках через напряжения в координатных площадках произвольнойсистемы координат.Обратимся к Рис. 1.3. Предположим, что наклонная грань АВСпредставляет собой одну из главных площадок. Тогда на этой площадкедействует только нормальное напряжение σ. Иными словами pn = σ .Проекции этого напряжения на координатные оси равны произведениюдлины вектора на направляющие косинусы площадки:pi = σ ⋅ niПодставив эти выражения в соотношения для проекции полногонапряжения (1.6) σ n = pi ni , получим:σ x n x + τ yx n y + τ zx n z = σn x ; ⎫⎪⎪τ xy n x + σ y n y + τ zy n z = σn y ;⎬⎪τ xz n x + τ yz n y + σ z n z = σn z .

⎪⎭(σ x − σ )n x + τ yx n y + τ zx n z = 0; ⎫⎪⎪τ xy n x + (σ y − σ )n y + τ zy n z = 0;⎬(1.11)⎪τ xz n x + τ yz n y + (σ z − σ )n z = 0. ⎪⎭Полученная система уравнений является линейной однороднойотносительно направляющих косинусов ni (свободные члены равны нулю).Все направляющие косинусы не могут быть одновременно равны нулю( n x2 + n 2y + n z2 = 1 ).Для того чтобы система линейных однородных уравнений имелаотличные от 0 решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель,составленный из коэффициентов уравнений, равнялся 0:17σ x −στ yxτ zx∆ = τ xyσ y −στ zy = 0 ,τ xzτ yzσ z −σ(1.12)Развертывая определитель, получим:(σ x − σ ) σ y − σ (σ z − σ ) + τ yxτ zyτ xz + τ xyτ yzτ zx −(())− σ y − σ τ xzτ zx − (σ x − σ )τ zyτ yz − (σ z − σ )τ xyτ yx = 0произведя преобразования, придем к уравнениюσ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0 ,(1.13)где⎫⎪I1 (Tσ ) = σ x + σ y + σ z ;⎪⎪σ x τ yx σ x τ zx σ y τ zy⎪++=I 2 (Tσ ) =⎪τ xy σ y τ xz σ z τ yz σ z⎪⎪222= σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy − τ yz − τ xz ;⎬⎪σ x τ yx τ zx⎪⎪I 3 (Tσ ) = τ xy σ y τ zy =⎪τ xz τ yz σ z⎪⎪222 ⎪= σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ yτ xz − σ xτ yz − σ zτ xy .⎭(1.14)Это уравнение имеет три корня.

Доказано, что исходя из соотношенийкоэффициентов I1, I2, I3 они всегда будут действительными. Эти корни иявляются величинами главных напряжений, которые принято обозначать:σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , причем σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Оси координат, определяющие площадкиглавных напряжений обозначают 1,2,3. Иногда для главных напряженийиспользуется запись σ 11 ,σ 22 ,σ 33 показывающая, что напряжение действует вплощадке, нормаль к которой направлена вдоль оси 1 и само напряжениетакже направлено вдоль этой оси. При сравнении напряжений их следуетбрать с учетом знака, т.е.

если корни уравнения имеют значения 0, -40, -10, тоσ 1 = 0,σ 2 = −10,σ 3 = −40 .В тензорном анализе доказывается, что значения коэффициентовхарактеристического уравнения тензора 2-го ранга не изменяются приповороте системы координат (инвариантны к преобразованию координат).Для тензора напряжений это физически означает, что главные напряженияпри данном напряженном состоянии имеют единственное значение.Коэффициенты I1, I2, I3 поэтому называют инвариантами тензоранапряжений.

Первый инвариант – линейный, второй – квадратичный итретий – кубический. В главных осях они будут иметь вид18I1 (Tσ ) = σ 1 + σ 2 + σ 3 ;I 2 (Tσ ) = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1;I 3 (Tσ ) = σ 1σ 2σ 3 .В главных осях тензор напряжений приводится к виду:0 ⎞⎛σ 1 0⎜⎟Tσ = ⎜ 0 σ 2 0 ⎟⎜00 σ 3 ⎟⎠⎝Инварианты тензора напряжений имеют важное значение. Так,например, если записаны два тензора, то, пользуясь инвариантами, можноопределить, выражают они одно напряженное состояние, или разные.Приведем тензорную запись первых двух инвариантов:I1 (Tσ ) = σ ii = ∑σ ii = σ xx + σ yy + σ zz = σ x + σ y + σ z[(i = x, y , z) ()]1(σ ii )2 − σ ijσ ij22(σ ii ) = ∑ (σ ii )2 = σ xx + σ yy + σ zz 2 =I 2 (Tσ ) =i = x, y , z()()∑ (σ ijσ ij ) = ∑ (σ ixσ ix + σ iyσ iy + σ izσ iz ) =22= σ xx+ σ 2yy + σ zz+ 2 σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zzσ xxσ ijσ ij =∑i = x, y , z j = x, y , zi = x, y , z= σ xxσ xx + σ yxσ yx + σ zxσ zx ++σ xyσ xy + σ yyσ yy + σ zyσ zy ++σ xzσ xz + σ yzσ yz + σ zzσ zz =(222222= σ xx+ σ yy+ σ zz+ 2 σ xy+ σ yz+ σ zx)Следовательно:122(σ ii )2 − σ ijσ ij = σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zzσ xx − σ xy− σ 2yz − σ zx=2[]22= σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy− τ 2yz − τ zxЧто и требовалось доказать.1.8.

Элипсоид напряженийВернемся к рассмотрению напряжений в наклонной площадке. Однакорасположим эту площадку не в произвольной, а в главной системекоординат.Тогда проекции полного напряжения (компоненты) в наклоннойплощадке в проекции на главные оси будет иметь вид ( pi = σ ji n j ):19p1 = σ 1n1; p2 = σ 2 n2 ; p3 = σ 3n3Выразив направляющие косинусы из уравнений для компонентполного напряжения по осям координат, и учтя, что сумма квадратовнаправляющих косинусов равна единице, получим:p12σ 12+p22σ 22+p32σ 32=1(1.15)3σ3p3p1p1σ2σ1p22Рис.

1.6. Эллипсоид напряженийЗначения главных напряжений для каждого напряженного состоянияявляются постоянными. В этом случае полученное уравнение являетсяуравнением трехосного эллипсоида, полуоси которого представляют собойглавные напряжения в данной точке.Поверхность эллипсоида – геометрическое мест точек, котороеописывает конец вектора полного напряжения pn при произвольномположении наклонной площадки, если начало вектора находится в началекоординат.

Иными словами длина радиус-вектора любой точки поверхностипредставляет собой значение полного напряжения в наклонной площадке.Этот эллипсоид носит название эллипсоида напряжений или эллипсоидаЛаме и дает геометрическую интерпретацию тензора напряжений.Из анализа эллипсоида напряжений следует важный вывод:абсолютное значение вектора полного напряжения в любой площадке неможет быть больше максимального и меньше минимального главногонапряжения.Если все три главных напряжения равны между собой и одинаковы познаку, то эллипсоид превращается в шар, и любые три взаимноперпендикулярные оси становятся главными. В этом случае во всехплощадках действуют одинаковые равные между собой нормальныенапряжения σ, а касательные напряжения отсутствуют.

Иначе говоря, точканаходится в состоянии всестороннего растяжения, или всестороннего сжатия.20Тензор напряжений для такого напряженного состояния носит названиешарового тензора и имеет следующий вид:⎛σ 0 0 ⎞⎟⎜Tσ0 = ⎜ 0 σ 0 ⎟⎜0 0 σ⎟⎠⎝Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоидпревращается в эллипс и объемное напряженное состояние становитсяплоским.Если два главных напряжения равны нулю, то эллипсоид превращаетсяв отрезок прямой линии, что соответствует одноосному напряженномусостоянию.1.9. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор идевиаторЛюбой тензор может быть представлен в виде суммы двух тензоров.Воспользуемся этим свойством и представим тензор напряжений в видесуммы двух тензоров, один из которых является шаровым тензором, авторой – девиатором напряжений:Tσ = Tσ0 + Dσ ,Шаровой тензор:00 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛⎜ σ ср⎟⎟⎜0 ⎟,Tσ0 = σ ср E = σ ср ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 σ ср(1.16)⎟⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 00 σ ср ⎠⎠ ⎝⎝Здесь Е – единичный тензорВеличина, равная 1/3 первого (главного, линейного) инвариантатензора напряжений1:σ x + σ y + σ z σ1 + σ 2 + σ 3 1I (T )σ ср === σ ii ≡ 1 σ(1.17)3333носит название среднего нормального напряжения, а величинаp = −σ ср - гидростатическим давлением.Второй тензор носит название девиатора и имеет вид:⎛ σ x − σ срτ yxτ zx ⎞ ⎛ s xx s yx s zx ⎞⎟⎟ ⎜⎜Dσ = ⎜ τ xyσ y − σ срτ zy ⎟ = ⎜ s xy s yy s zy ⎟ ,⎜τ yzσ z − σ ср ⎟⎠ ⎜⎝ s xz s yz s zz ⎟⎠⎝ τ xz(1.18)В сокращенном виде компоненты девиатора могут быть представленыв следующем виде:sij = σ ij − δ ijσ ср ,(1.19)1В зарубежной литературе среднее напряжение часто обозначают σ m21где⎧1, если i = jсимвол Кронекера⎩0, если i ≠ jКак уже было показано, шаровой тензор представляет собойнапряженное состояние всестороннего растяжения или сжатия (взависимости от знака σ cp ).

Такое напряженное состояние не может вызватьδ ij = ⎨изменения формы тела – возможно лишь изменение его объема. Девиаторнапряжений обуславливает изменение формы тела без изменения объемаПо аналогии с инвариантами тензора напряжений можно записатьинварианты девиатора напряжений. Первый инвариант девиаторанапряжений равен нулю:I1 ( Dσ ) = s xx + s yy + s zz = sii = σ xx + σ yy + σ zz − 3σ cp = 0Большое значение в теории обработки металлов давлением имеетвеличина второго инварианта девиатора напряжений. Его мы будемиспользовать в дальнейшем, поэтому запишем его в различных формах:22I 2 ( Dσ ) = s xx s yy + s yy s zz + s zz s yy − s xy− s 2yz − s zx=⎤1⎡12= ⎢(sii ) − sij sij ⎥ = − sij sij =2⎢2⎥⎦⎣ =022 ⎤⎡+ s 2yy + s zzs xx222⎥== − ⎢ s xy + s yz + s zx +2⎢⎥⎣⎦((1.20)) () ()⎡σ x − σ cp 2 + σ y − σ cp 2 + σ z − σ cp 2 ⎤222⎥== − ⎢τ xy + τ yz + τ zx +2⎢⎥⎣⎦3σ cp⎡⎤⎢2222 ⎥σ x + σ y + σ z − 2σ cp σ x + σ y + σ z + 3σ cp ⎥22= − ⎢τ xy+ τ 2yz + τ zx+=⎢⎥2⎢⎥⎢⎣⎥⎦2⎡⎛σx +σ y +σz ⎞ ⎤222⎢σ x + σ y + σ z − 3⎜⎟ ⎥⎢ 23⎝⎠ ⎥=2= − ⎢τ xy+ τ 2yz + τ zx+⎥2⎢⎥⎢⎥⎣⎢⎦⎥()22() (())21⎡22 ⎤= − ⎢3 σ x2 + σ 2y + σ z2 − σ x + σ y + σ z + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx⎥⎦ =6⎣122 ⎤= − ⎡ 2σ x2 + 2σ 2y + 2σ z2 − 2σ xσ y − 2σ yσ z − 2σ zσ x + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx=⎢⎥⎦6⎣122= − σ x − σ y 2 + σ y − σ z 2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx=61= − [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ]6Выражение для третьего инварианта девиатора напряжений (внастоящее время он пока редко используется в теории пластичности)приведем только в сокращенной тензорной форме:1I 3 ( Dσ ) = sij s jk skl3Главные оси девиатора напряжений совпадают с главными осямитензора напряжений.[() (()())]1.10.

Максимальные касательные напряженияМаксимальными касательными (иногда их еще называют главнымикасательными) напряжениями называются наибольшие касательныенапряжения для данного напряженного состояния. Определим положениеплощадок, в которых действуют максимальные касательные напряжения. Дляэтого необходимо определить направляющие косинусы этих площадок.Касательные напряжения в наклонных площадках выражаются черезглавные напряжения следующим образом:(τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32)2(1.21)В формуле (1.21) использованы соотношенияpi = σ ji n j ; p 2 = p x2 + p 2y + p z2 ;σ n = pi ni = σ ji n j niПоскольку три направляющих косинуса связаны между собойсоотношением:n12 + n22 + n32 = 1 ,то один из них (например n3 ) можно исключить, в результате получим:()()τ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 1 − n12 − n22 − ⎡⎢σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 1 − n12 − n22 ⎤⎥⎣⎦2Для определения экстремума необходимо взять частные производныепо каждому из направляющих косинусов и приравнять полученноевыражение нулю.∂ (τ n2 )= 2σ12 n1 − 2σ 32 n1 − 2 ⎡⎢σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 1 − n12 − n22 ⎤⎥ 2σ1 n1 − 2σ 3 n1 = 0⎣⎦∂n12 (σ1 −σ 3 )(σ1 +σ 3 ) n1()()23()n1 σ 1 + σ 3 − 2σ 1 n12 − 2σ 2 n22 − 2σ 3 + 2σ 3 n12 + 2σ 3 n22 = 0 21⎡⎤n1 ⎢(σ 1 − σ 3 )n12 + (σ 2 − σ 3 )n22 − (σ 1 − σ 3 )⎥ = 0 32⎣⎦Аналогично, дифференцируя по n2 и приравняв производную нулю,получим1⎡⎤n2 ⎢(σ 1 − σ 3 )n12 + (σ 2 − σ 3 )n22 − (σ 2 − σ 3 )⎥ = 02⎣⎦Эти два уравнения образуют систему.