Учебное пособие по курсу лекций (Власов А.В. - Учебное пособие по курсу лекций - Теория обработки металлов давлением), страница 3

Кроме того, как вы знаете из курсаматериаловедения механизм пластической деформации это процессдислокационный. Он определяется возникновением и движениемнесовершенств кристаллической решетки материала – т.н. дислокаций.Математическое описание движения и возникновения дислокаций донастоящего момента не получило строгого экспериментальногоподтверждения.С другой стороны с практической точки зрения важно не поведениеотдельных атомов, а всего тела в целом. Это позволяет строить теорию не наатомном, а на макроскопическом уровне.

Для этого вводится гипотезасплошности: объем, занимаемый телом, непрерывно заполнен материей.Бесконечно малый объем материала называют материальной частицей6Экспериментальная проверка гипотезы сплошности показывает еедостаточную точность для практических расчетов. Еще одним несомненнымдостоинством этой гипотезы является то, что для сплошной средыприменима классическая механика, а также аппарат дифференциального иинтегрального исчисления.В процессе нагружения внешними силами материальные частицымогут менять свое положение. Материальная среда считаетсядеформируемой, если в процессе движения материальных частиц изменяютсярасстояния между ними. В теории сплошных сред полагают, что движениематериальных частиц под действием внешних сил непрерывно. Сматематической точки зрения это означает, что все величины, определяющиедеформируемую среду, являются непрерывными функциями координат.Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии предполагаетотсутствие напряжений в теле до приложения нагрузок.

В действительноститакие напряжения существуют. Это могут быть остаточные напряжения,связанные с неоднородностью пластической деформации на предыдущихэтапах технологического процесса, литейные напряжения, возникающие впроцессе неравномерной кристаллизации материала и др. Использованиеэтой гипотезы, во-первых, связано с неопределенностью в общем случаетаких напряжений, а во-вторых, с необходимостью определения напряжений,вызванными конкретной внешней нагрузкой.В механике сплошных сред обычно считают, что тело однородно иизотропно.

Первое означает, что механические характеристики материаланеизменны в рассматриваемой области, а второе – равенство свойствматериала в любом направлении. Неоднородность материала физическиможет быть связана, например, с различными посторонними включениями.Примером не изотропного материала является металлический лист,полученный прокаткой. В направлении прокатки его характеристикисущественно отличаются от свойств в направлении перпендикулярномпрокатке. Физически это связано с появлением текстуры деформации.1.2. Внешние силы и напряженияНапряженное состояние – это состояние тела, вызванное действиемвнешних сил. Внешние силы бывают двух основных видов: поверхностные иобъемные.Поверхностные силы приложены к поверхности тела. К объемным(массовым) силам относятся силы, действующие на все материальные точкитела и пропорциональные их массам.Изкурса«Сопротивлениематериалов»известнопонятие«напряжение».

Для определения вектора полного напряжения в некоторойплощадке, проходящей через материальную точку М тела, последнеемысленно разделяется сечением, проходящим через точку М на две части (7Рис. 1.1). Одна из частей мысленно отбрасывается, а ее действие наоставшуюся часть заменяем системой внутренних сил. Пусть на бесконечномалую площадку этого сечения ∆F действует сила ∆P . В общем случаенаправление действия силы ∆P не совпадает с направлением нормали кплощадке n .∆PnαM∆FРис.

1.1. К определению напряженияВектором напряжения (полного напряжения), действующего вплощадке, проходящей через точку М, называют предел:∆P(1.1)p = lim∆F →0 ∆FЧерез точку можно провести бесконечное число площадок, каждая изкоторых будет иметь свое направление нормали.

Величина полногонапряжения p будет зависеть от направления нормали к элементарнойплощадке. Таким образом:pn = p(n )Направление вектора полного напряжения pn в общем случае несовпадает с направлением нормали n . В этом случае его можно разложить нанормальное и касательное напряжения:σ n = p cos α ; τ n = p sin α(1.2)очевидноpn2 = σ n2 + τ n2(1.3)1.3. Напряжения в координатных площадках. Индексация.Правило знаковНемного позже мы докажем, что полное напряжение в произвольнойплощадке однозначно определяется векторами напряжений в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через точку и направлениемнормали.В качестве таких трех площадок удобно рассматривать площадки,расположенные параллельно координатным плоскостям.

Такие площадкиносят название координатных.8Наиболее распространенной является декартова система координат ипрежде, чем перейти к определению полного напряжения рассмотримобозначения нормальных и касательных напряжений в координатныхплощадках декартовой системы координат.Проведем через напряженную точку М три плоскости, параллельныеплоскостям координат. Построим параллелепипед, ребра которого примембесконечно малыми. Тогда на гранях такого элементарного параллелепипеда,проходящих через точку М, можно изобразить векторы напряжений,действующих в каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок (Рис.1.2). Напряжения в каждой площадке разложим на три (любой вектор м.б.разложен на три взаимно перпендикулярных): нормальное σ – направленноеперпендикулярно площадке и два касательных τ – расположенных вплоскости площадки и направленных вдоль координатных осей.Введем следующее правило индексации напряжений:Первый индекс указывает направление нормали площадки, второй направление оси, на которую проектируется вектор напряжения.

Например,обозначая напряжение τxy , имеем в виду, что это касательное напряжениедействует в площадке, перпендикулярной к оси x в направлении оси y.ZYXσzτzx τzyτyzMτxzσyτxy τyxσxРис. 1.2. Индексация напряжений в координатных площадках.Очевидно, что для нормальных напряжений направление нормали кплощадке и направление действия совпадает, поэтому для краткости вместоσxx используют запись σx, аналогично и для других осей.Используют также другую запись, когда все составляющие напряженийв площадках, параллельных декартовым плоскостям (и нормальные икасательные) обозначают через σ. В этом случае, если подстрочные индексысовпадают, например σyy, то это нормальное напряжение, если нет, напримерσyz, то это – касательное.

Правила индексирования аналогичны принятымвыше (первый индекс – направление нормали, второй, направлениедействия). В этом случае всю совокупность напряжений в координатныхплощадках можно обозначить как σij, где i,j принимают значения x,y,z.Для напряжений в координатных площадках принято следующееправило знаков: если внешняя нормаль к площадке совпадает с9положительным направлением координатной оси, то за положительноенаправление напряжений, действующих на этой площадке, принимаютположительное направление соответствующих осей. Если внешняя нормаль кплощадке совпадает с отрицательным направлением координатной оси, то заположительное направление напряжений принимают отрицательноенаправление координатных осей.Руководствуясь этим правилом, следует признать, что все напряжения,показанные на рисунке – имеют положительное направление.Положительные нормальные напряжения называют растягивающими, аотрицательные нормальные напряжения – сжимающими.1.4.

Напряженное состояние в точкеНапряженное состояние в точке будем считать известным, еслиизвестен вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей черезданную точку.Если мы знаем напряженное состояние в каждой точке тела,следовательно, мы знаем напряженное состояние всего тела.Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через заданную точку, то еенапряженное состояние полностью определено. Иными словами, если мызнаем напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, то мызнаем и напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку.Для этого рассмотрим в окрестности точки М бесконечно малыйтетраэдр МАСВ, так, чтобы три его грани были параллельны координатнымплоскостям, а четвертая была бы наклонена к координатным плоскостям (Рис.1.3).ZCαzpzσyτyzτyx τM pαxpnxτzyσxτxyτxzσn αypyτzxNnYBσzX A10Рис.

1.3. К определению напряжений в наклонной площадке.Положение этой четвертой, наклонной грани определитсянаправляющими косинусами нормали n наклонной площадки относительноединичных векторов координатных направлений e x , e y , e z :n x = cos(n , e x ) = cosα x ; n y = cos(n , e y ) = cosα y ; n z = cos(n , e z ) = cosα z ;Пусть площадь наклонной грани ∆F, тогда площади остальных граней:∆Fx = ∆F × n x ;∆Fy = ∆F × n y ;∆Fz = ∆F × n z ;Пусть также в наклонной грани действует какое-то полное напряжениеpn .Разложим вектор полного напряжения(pn = p x , p y , p zpn на три составляющие:)TОчевидноp x2 + p y2 + p z2 .pn =Напомним, что напряжения в координатных площадках x,y,z мысчитаем известными.