Учебное пособие по курсу лекций (Власов А.В. - Учебное пособие по курсу лекций - Теория обработки металлов давлением), страница 4

Для равновесия тетраэдра сумма проекций сил нанаправления координатных осей должны быть равны нулю.∑ X = 0; ∑ Y = 0; ∑ Z = 0.Рассмотрим первое уравнение:− σ x ∆Fx − τ yx ∆Fy − τ zx ∆Fz + p x ∆F = 0.Уже получено:∆Fx = ∆F ⋅ nx ;∆Fy = ∆F ⋅ n y ;∆Fz = ∆F ⋅ nz ;Тогда, сокращая на ∆F , получаемp x = σ x n x + τ yx n y + τ zx n z .Рассматривая проекции сил на остальные координатные оси,окончательно получим систему уравнений:p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫⎪⎪p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬(1.4)⎪p z = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎪⎭Выражения (1.4) можно упростить, используя знак суммирования:pi = ∑ σ ji n j ,i , j = x, y , zjВыражения такого вида удобно представлять в сокращенной записи.Правило сокращенной записи введено Альбертом Эйнштейном изаключаются в следующем:Знак суммы опускается, а по каждому повторяющемуся в одночленеиндексу ведется суммирование.

Повторяющийся индекс называют немым, анеповторяющийся – свободным. В выражении для напряжения в свободной11площадке повторяющийся (немой) индекс – j, а неповторяющийся(свободный) – i.В сокращенной записи система уравнений примет вид:pi = σ ji n j , i, j = x, y, z .(1.5)Полученные нами выражения показывают, если известны девятькомпонентов напряженного состояния в трех взаимно перпендикулярныхплоскостях, проходящих через точку, то можно определить полноенапряжение на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку.Таким образом, напряженное состояние в точке полностью определенодевятью компонентами напряжений в трех взаимно перпендикулярныхплощадках, проходящих через эту точку.Нормальное напряжение в наклонной площадке определяется каксумма проекций компонент p x , p y , p z на нормаль к площадке n()σ n = p x n x + p y n y + p z n z = ∑ pi ni = pi ni = σ ji n j ni = ∑∑σ ji n j ni ,ii(1.6)jКасательная составляющая напряжения согласно выражению (1.3)определится по формулеτ = pn2 − σ n2 .(1.7)1.5.

Закон парности касательных напряженийСоставим еще три уравнения равновесия элементарной пирамиды:сумма моментов всех сил относительно осей координат равна нулю.CτyxZ`τxzτyz X` O`ττzy zxτxyY`BAРис. 1.4. К выводу закона парности касательных напряженийС целью упрощения преобразований поместим начало новой системыкоординат в центре тяжести грани ABC пирамиды (Рис. 1.4). Координатамицентра тяжести, очевидно, будут12111x0' = ∆x; y0' = ∆y; z0' = ∆z.333Центры тяжестей граней AMB, BMC, CMA совпадают с проекциями насоответствующие координатные плоскости точки O'. На рисунке отобразимтолько касательные напряжения, поскольку только они дают крутящиймомент относительно точки O'Рассмотрим уравнение ∑ M x ′ = 0 .

При составлении суммы моментоввсех сил относительно оси x' учтем, что силы τ xy ∆Fn x , τ xz ∆Fn x , σ y ∆Fn y ,σ z ∆Fn z пересекают ось. Поэтому в условие равновесия войдут моментытолько двух поверхностных сил (τ yz ∆Fn y и τ zy ∆Fn z ):131111Так как∆Fn y ∆y = ∆Fy ∆y = ∆Fn z ∆z = ∆Fz ∆z = V3333пирамиды), то τ yz = τ zy .13τ yz ∆Fn y ∆y − τ zy ∆Fn z ∆z = 0 .(V - объемτ xz = τ zx и τ yx = τ xy , т.е.составляющие касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярныхплощадках, нормальные к линии пересечения этих плоскостей, равны междусобой (закон парности касательных напряжений).Таким образом, напряженное состояние в точке определяется девятьюкомпонентами напряженного состояния, из которых шесть касательныхпопарно равны.Используя закон парности касательных напряжений, развернемвыражение (1.6)σ n = σ ij ni n j = σ xj n xσ j + σ yj n y n j + σ zj n z n j =Аналогичнорассуждая,получаем= σ xx n x n x + σ xy n x n y + σ xz n x n z ++ σ yx n y n x + σ yy n y n y + σ yz n y n z +.(1.8)+ σ zx n z n x + σ zy n z n y + σ zz n z n z == σ x n x2 + σ y n 2y + σ z n z2 + 2τ xy n x n y + 2τ yz n y n z + 2τ zx n z n x1.6.

Тензор напряжений.Итак, напряженное состояние в точке определяется 9-ю величинаминормальных и касательных напряжений в 3-х взаимно перпендикулярныхплощадках, проходящих через эту точку.Эти девять величин σ ji , которые связывают между собой проекцииполного напряжения в некоторой площадке pn и направляющие косинусыэтой площадки n составляют симметричный тензор 2-го ранга, называемыйтензором напряжений:13⎛ σ x τ yx τ zx ⎞⎜⎟Tσ = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟⎜⎟⎝ τ xz τ yz σ z ⎠Попытаемся разобраться в понятии тензора.Допустим, что компоненты напряжений заданы в произвольнойсистеме координат Oxyz (для простоты воспользуемся второй формойзаписи):⎛ σ xx σ yx σ zx ⎞⎜⎟⎜ σ xy σ yy σ zy ⎟ или σ ji⎜⎟⎝ σ xz σ yz σ zz ⎠Введем новую систему координат Ox'y'z' , повернутую относительнопервой вокруг начала координат O.

Положение каждой из осей новойсистемы координат зададим направляющими косинусами углов γ i' j междуновой осью и старыми осями (Рис. 1.5).zx' γx'zγx'yz'yγx'xOxy'Рис. 1.5. Положение новой системы координат при повороте координатныхосейНапример, для оси x' :n x ′x = cos(γ x ′x ); n x ′y = cos(γ x ′y );n x ′z = cos(γ x ′z )Таким образом, положение новой системы координат относительносистемы x, y, z задано девятью направляющими косинусами типа:xyzx ′ n x ′x n x ′y n x ′z,y ′ n y ′x n y ′y n y ′zz ′ n z ′x n z ′y n z ′zкоторые могут быть объединены в матрицу направляющих косинусов14⎛ nx ' x nx ' y nx ' z ⎞⎜⎟ni ' j = ⎜ n y ' x n y ' y n y ' z ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ nz ' x nz ' y nz ' z ⎠Следует заметить, что только три направляющих косинуса в этойматрице независимы, остальные являются зависимыми.Напряженное состояние в рассматриваемой точке тела в новойкоординатной системе определяется напряжениями σ j ′i ′ .⎛σ x'x' σ x' y' σ x'z' ⎞⎜⎟σ j ' i '= ⎜ σ y ' y ' σ y ' x ' σ y ' z ' ⎟⎜⎜⎟⎟.σσσ''''''yzzzxz⎝⎠Поскольку напряженное состояние в точке не может зависеть отвыбора координатных осей, то между компонентами напряжений вкоординатах xyz и x'y'z' должна существовать взаимосвязь.Можно показать, что в сокращенной записи эта зависимость имеетследующий вид:σ j ' i ' = n j ' i ⋅ ni ' j ⋅ σ ji ,(1.9)где i, j = x, y, zПроверим эту запись для компонента σ x ' x ' .

Напряжение σ x ' x ' нормальное напряжение в направлении оси x' . Следовательно, для егоопределения можно воспользоваться полученной нами ранее формулой,определяющей нормальное напряжение в произвольной направлении черезнапряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках и направляющиекосинусы:σ n = σ ij ni n jВданномслучаеσn = σ x'x' ,nx = nx' x ,n y = nx' y ,n z = n x' z ,следовательноσ x ' x ' = σ ij nx ' i nx ' jТакое же выражение получаем и при непосредственной подстановкеj ' = x , i ' = x в общую формулу преобразования компонент напряжений.В развернутом виде компоненты σ j ' i ' , например для σ x ' y ' , выглядятследующим образом:15σ x ' y ' = nx ' i ⋅ n y ' j ⋅ σ ji = ∑∑ nx ' i ⋅ n y ' j ⋅ σ ji =ij= ∑ (nx ' i n y ' xσ xi + nx ' i n y ' yσ yi + nx ' i n y ' zσ zi ) =i= nx ' x n y ' xσ xx + nx ' y n y ' xσ xy + nx ' z n y ' xσ xz ++ nx ' x n y ' yσ yx + nx ' y n y ' yσ yy + nx ' z n y ' yσ yz ++ nx ' x n y ' zσ zx + nx ' y n y ' zσ xy + nx ' z n y ' zσ zzТаким образом, зная компоненты напряжений в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через точку, мы можем всегдаопределить компоненты напряжений в любой другой совокупности трехвзаимно перпендикулярных площадок, проходящих через ту же точку.Теперь дадим определение тензора второго ранга (или второйвалентности):Физическая величина, определяемая набором девяти компонентов aij ,которая при изменении системы координат преобразуется в наборкомпонентов ai ' j ' согласно формуле: ai ' j ' = α i ' j ⋅ α j ' i ⋅ aij , где α i ' j ,α j 'i направляющие косинусы новой системы координат в данной системекоординат называется тензором 2-го ранга.Сравниваяопределениетензораиполученнуюформулупреобразования компонент напряженного состояния при повороте осейкоординат можно сделать вывод, что напряженное состояние в точкеявляется тензорной величиной.Вследствие парности касательных напряжений σ ij = σ ji тензорнапряженийявляетсясимметричным,посколькукомпоненты,расположенные симметрично относительно его главной диагонали, равнымежду собой.Понятие тензора является обобщением понятий вектора и скаляра.Вектор определяется тремя скалярными величинами (проекциями вектора накоординатные оси) и является тензором первого ранга.

Скаляры являютсятензорами нулевого ранга.Еще раз запишем различные формы записи тензора напряжений⎛ σ x τ yx τ zx ⎞ ⎛ σ xx σ yx σ zx ⎞⎜⎟ ⎜⎟(1.10)Tσ = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟ = ⎜ σ xy σ yy σ zy ⎟ = σ ij⎜⎜⎟⎟ ⎜⎜⎟⎟⎝ τ xz τ yz σ z ⎠ ⎝ σ xz σ yz σ zz ⎠1.7. Главные нормальные напряжения. Инварианты тензоранапряженийМы выяснили, что напряженное состояние в точке определяетсявеличиной напряжений, действующих на трех координатных площадках,проходящих через эту точку, и является тензорной величиной.16При произвольном выборе положения координатных осей на каждой изкоординатных площадок имеется нормальное и касательное напряжения.В курсе тензорного анализа доказывается, что при определенномповороте осей тензор второго ранга всегда может быть приведен кдиагональному виду.

Иными словами все компоненты тензора, находящиесявне главной диагонали будут равны нулю. Следовательно, и тензорнапряжений можно привести к диагональному виду. На главной диагоналитензора напряжений находятся нормальные напряжения, а вне ее –касательные. Это означает, что для любого напряженного состояниясуществует такая прямоугольная система координат, в координатныхплощадках которой действуют только нормальные напряжения, а всекасательные напряжения в этих площадках равны нулю. Координатные оситакой системы координат называются главными.