Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика, страница 9

При уменьшениинаправление вектора противоположно .Линейное ускорение точки А (рис.2.1) получаем, используявыражение для скорости (2.2):   dv       2aa n a [ , v] [ , R ] [ [ , R ]] [ , R ]R [ , R ], (2.4)dtгде a n - нормальное; a - тангенциальное ускорение.56Введем понятия момента силы и импульса относительнонеподвижной точки О.Моментом силы относительно неподвижной точки О называетсявекторное произведение радиуса-вектораr , проведенного из точки О кточке приложения силы, на силу F (см.

рис.2.2): (2.5)M [ r , F] .FМrОМодуль этой величиныM rFsinFL,Lгде L r sin - плечо силы, т.е. кратчайшеерасстояние от точки О до линии действияРис. 2.2силы, - угол между векторами r и F.Вектор М перпендикулярен плоскости, в которой находятсявектора, и направлен по обычному правилу векторного произведения.Аналогично моментом импульса материальной точки mотносительно неподвижной точки О называется векторноепроизведение:  L [ r , mv] ,(2.6)модуль которогоL rmv sin .Получим связь моментов силы М и импульса L .

Производная повремени от момента импульса частицы равна d (mv)dL d  dr [ r , mv], mvr,.(2.7)dt dtdtdtdr Так какv , то первое слагаемое в (2.7)dtdr  , mv [ v, mv] 0 .dtСогласно (1.3) второе слагаемое можно представить в виде d(mv) r,[ r , F] M .dtПодставляя (2.8) вматериальной точки.(2.7),dLdtполучаемM.уравнение(2.8)моментов(2.9)для57Распространим (2.9) на систему материальных точек. Запишем (2.9)для каждой точки, учитывая, что на нее действуют как внутренние, таки внешние силы. При сложении этих уравнений сумма моментоввнутренних сил обратится в нуль и получим уравнение моментов длясистемы материальных точекdL n M внеш ,(2.10)dt i 1т.е. производная по времени от момента импульса системыматериальных точек относительно неподвижной точки О равнавекторной сумме моментов всех внешних сил относительно той жеточки О.n Mвнеш 0 и получаем закон сохраненияДля замкнутой системыi 1момента импульса для системы материальных точек n LLi const .(2.11)i 1Для получения уравнения движенияZтела,вращающегосявокругFнеподвижной оси, следует применитьFzуравнение (2.9), взяв проекцию этогоFуравнения для точек тела на осьвращения Z.RЕсли к телу, вращающемуся вокругFRнеподвижной оси, приложена сила F ,то момент силы относительно оси ZZ(рис.2.3) будет:Рис.

2.3 (2.12)Mz [R, F]z .Так как F можно представить в виде (рис.2.3):   (2.13)F Fz F FR ,то     [R, F]z [R, Fz ]z [R,F ]z [R, FR ]z 0 [R, F ]z 0;следовательноMz [R, F ]z ,(2.14)то есть величина момента силы относительнооси Z определяетсятангенциальной составляющей силы F и “плечом” ее R .Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z58dLz (2.15)Mz .dtЗдесь Lz - момент импульса вращающегося тела относительно оси вращения.В соответствии с рис.2.1 для системы материальных точек,составляющих вращающееся тело:Lznn[ ri , m i v i ] zi 1nВекторn[ rzi , m i v i ] zi 1[R i , m i v i ] z ;i 1[ rzi , m i v i ] перпендикулярен оси Z и поэтому первоеi 1слагаемое равно нулю.Тогдаn Lz[R i , m i v i ] z [R i , m i [ , R i ]]ni 1i 1ni 1m i R i2nm i R i2 .i 1(2.16)Сумма произведений масс mi всех материальных точек,составляющих тело (систему тел) на квадраты их расстояний Ri отнекоторой оси (вращения), называется моментом инерции системыотносительно этой оси.nJmi R i2 ,(2.17),i 1где J - скалярная величина, в системе СИ измеряется в кг м2.Тогда из (2.16) и (2.17) получаемLz J .(2.18)Продифференцировав по времени выражение (2.18) имеемd d (L z ) M z(J ).dtdtZaOmCZOРис.

2.4Если момент инерции вращающегосятела постоянен, тоd(2.19)Mz JJ .dtЭто основное уравнение динамикивращательногодвижениятела,вращающегося вокруг неподвижной оси.Теорема Штейнера (рис.2.4): моментинерции тела относительно произвольнойоси “О” равен сумме момента инерции59тела относительно оси “Z”, проходящей через центр масс “С” ипараллельной данной, и произведения массы тела на квадратрасстояния а между осями.(2.20)J 0 J z ma 2 .Кинетическая энергия вращающегося относительно неподвижной оситела также зависит от его момента инерции:2JК.2Элементарная работа при вращении твердого телаА=Мd ,(2.21)(2.22)где М - вращающий момент, d - угол поворота тела под действиеммомента М.Из уравнения (2.15) вытекает закон сохранения момента импульсадля тела или системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси. Всамом деле, если для замкнутой системы Mz 0 , тоLznJiiconst(2.23)i 1где n - число тел системы.То есть, если суммарный момент сил, действующий на тело илисистему тел относительно оси вращения, равен нулю, то моментимпульса этого тела или системы тел относительно оси вращенияостается неизменным.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7(ф)Определение момента инерции диска сотверстием и расчет погрешностейЦель работы: Измеряя геометрические размеры и массу диска,рассчитать его момент инерции.Методика измеренийВ работе момент инерции определяется для круглой тонкойметаллической пластины (диска) радиусом R1 с круглым отверстиемрадиусом R2 (рис.2.5).

Пластины изготовлены из разных материалов(сталь, латунь, сплав алюминия). Расчет момента инерциипроизводится относительно оси ОО, перпендикулярной плоскостидиска и проходящей через его геометрический центр.60OR1ZZrROOadrR2OРис. 2.5Рис. 2.6Момент инерции (2.17) материальной точки массой m относительнооси, от которой она удалена на расстояние r, равенJ mr 2 .(2.24)Получим выражение для момента инерции J0 тонкого сплошногодиска массой mи радиусом R относительно оси ОО,перпендикулярной его плоскости и проходящей через егогеометрический центр (рис.2.6).Введем понятие поверхностной плотности массы диска:m.R2(2.25)Представим, что система материальных точек сосредоточенавнутри кольца радиусом r бесконечно малой ширины dr.

Тогдаплощадь кольца ds 2 rdr , а масса2mrdr.R2Момент инерции кольца относительно оси ОО:dmds(2.26)2mr 3dr.(2.27)dJ 0 r dmR2Для нахождения момента инерции диска относительно оси ООпроинтегрируем выражение (2.27)2RJ0dJ 002m R 3r drR2 0mR 2.2(2.28)Момент инерции диска с круглым отверстием (рис.2.5) можноопределить как разность моментов инерции сплошного большого дискаJ 0 и малого диска J 0 , который занимал бы отверстие в большом дискеи был сделан из того же материала и имел такую же толщину61J0J0 J0 .(2.29)Момент инерции большого сплошного диска массой m1 согласноформуле (2.28) равенm1R12,(2.30)J02а малого диска массой m2 определяется по теореме Штейнера (2.20)m2R 22m 2a 2 .2Следовательно, из формул (2.29) – (2.31) имеем(2.31)J0J0m1R 122m 2 R 2221[m1R 122m 2a 2m 2 (R 222a 2 )] .

(2.32)Масса m диска с вырезом равна(2.33)m m1 m2и может быть определена с помощью технических весов.Выразим m1 и m2 через массу m диска с вырезом. Для этогозапишем m1, m2 и m через поверхностную плотностьматериала(2.25):m1S1 и m2S2 ,R12 и S2где S1СледовательноR 22 .R12 и m2m1R 22 .(2.34)Подставляя (2.34) в (2.33), получаем выражение для массы диска свырезомm(R12 R 22 ) .(2.35)Из (2.34) и (2.35) можно получить формулы для расчета масс m1 иm2 через массу m:m1mm1m2mR121R12R 22 1 (R 2 R1 ) 2m;1 (R 2 R 1 ) 2R 22R12R 22,1(R 1 R 2 ) 2 1(2.36),62m2m(R 1 R 2 ) 2 1.(2.37)Подставляя m1 и m2 в формулу (2.32), получаемmR 1212 1 (R 2 R 1 ) 2J0adDLРис. 2.7m(R 222a 2 )(R 1 R 2 ) 2 1.(2.38)Так как геометрический центр надиске не обозначен, то с помощьюштангенциркуля измеряют не радиусыдиска R1 и отверстия R2, а их диаметрыD 2R1 и d 2R 2 .

Расстояние междуосями а определяют по измерениям,показанным на рис.2.7d Da L.(2.39)2 2Тогдаокончательнорасчетнаяформула для момента инерции J0 диска с вырезом примет видJ0D2m8 1 ( d D) 2d22(2L d D) 2(D d) 2 1(2.40)Экспериментальная установкаВ состав экспериментальной установки входят:1) диск с круглым отверстием.2) штангенциркуль для измерения геометрических размеров диска,3) технические весы и разновески для определения массы диска.Порядок выполнения работы1. Измерить штангенциркулем (рис.2.7) диаметр диска D иотверстия d трижды с угловым смещением ~120 .

Результатыизмерений записать в табл.2.1.2. Измерить штангенциркулем размер L дважды с двух сторон диска.3. Определить массу диска с вырезом m двукратным взвешиваниемна весах, меняя местами диск и разновески.4. Рассчитать средние арифметические значения D, d, L и m .5. Используя средние значения D, d, L и m , по формуле (2.40)определить момент инерции диска с вырезом J0.63Таблица 2.1№ Dп.п м123ср.D D2 dм м2 мd d2 Lм м2 м–L L2 m2м м кг––J 0 rpm m 2 J022кг кг2 кг м кг м––––6.

Вычислить доверительную и относительнуюизмерения по формулам (0.17) и (0.18).погрешностьКонтрольные вопросы1. Вывести формулу для момента инерции сплошного дискаотносительно оси, проходящей через центр масс.2. Как в работе определяется масса диска с вырезом и вырезаннойчасти диска?3. Как в работе измеряется расстояние между центром диска и осьюотверстия?ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1Экспериментальное определение моментаинерции вращающейся системыЦель работы: измерение и теоретический расчет момента инерциисистемы тел и изучение вращательного движения твердого тела.Методика измеренийМаятник Максвелла (рис.2.8) представляет собой диск, жесткопосаженный на стержень и подвешенный на двух параллельных нитях(бифилярный подвес).Намотав нити на стержень, маятник можно поднять на некоторуювысоту h0, то есть сообщить ему потенциальную энергию относительнонижнего положения, которое определяется длиной нити подвеса. Вверхнем положении маятник освобождают.

Силы и моменты сил,действующих на маятник, сообщают ему одновременно поступательное ивращательное движение. Считая данную физическую систему (подвес маятник - Земля) замкнутой, запишем для нее закон сохранения энергии:J 2 mv 2(2.41)mgh mgh 0 ,2264где J - момент инерции маятникаотносительно оси стержня; m масса маятника, равная массе диска6 со стержнем 7 (см. рис.2.10) имассе сменного колеса 8;угловая скорость маятника; v скорость центра масс; h0 начальнаявысотаподъемамаятника.Начальное состояние системыпри t = 0:hvt=0ah00 v maxh = h0; v = 0; = 0; U = mgh0.Конечное состояние системы:h = 0; v = vmax;=max;U = 0.Легко показать, что привыполнении соотношения (2.41)ускорение маятника а является постоянным.