Primenenie_sistemy_Mathcad_v_kursovom_pr oektirovanii_Astashov (Набор метод (в т.ч. с условиями)), страница 3

Решение системы уравнений в системе Mathcad для определенияразмеров механизма l2 , l1 , φ1Записав ОДУ, определите, какая функция является его решением, каковы начальные условия, в каких пределах должен изменяться аргумент. Начальное значение искомой функции присвойте переменной y0 (для ОДУ первого порядка) или вектору (для системыуравнений).В курсовом проекте возможно формирование и решение ОДУM (ϕ )ω2−dJ (ϕ ). Здесь φ′′(ϕ, ω ) = ε (ϕ, ω ) . Тогдавида ε (ϕ, ω ) :=J ( ϕ ) 2 J (ω )система ОДУ имеет видφ′(ϕ) = ω(ϕ);ω′(ϕ) = ε(ϕ).Начальные значения φ = 0, φ(0) = 0 , ω(0) = 0. Решение ОДУпоказано на рис. 1.9, где y = ( y0 = φ, y1 = ω) ;18y 0 = ( y 00 = φ(0);y 01 = ω (0)); t0 = φ = 0 – начальное значение φ; tk – конечное значение φ.Рис.

1.9. Решение ОДУ для углового ускорения ε1.9. Дифференцирование функцийОперация дифференцирования используется при вычислениианалогов скоростей и ускорений.Можно построить графики перемещения, скорости и ускорениявсех точек механизма. Для этого необходимо задать координатыэтих точек как функции движения (угла или перемещения) звенаприведения.

Продифференцировав один раз по данному аргументу,получим аналоги скоростей. Продифференцировав повторно, получим аналоги ускорений. Аналоги должны являться функциями выбранного аргумента. Задав границы изменения аргумента, можнографически построить полученные зависимости. Например:x A ( γ ) = l1 cos ϕ1 ( γ ); y A ( γ ) = l1 sin ϕ1 ( γ );ϕ2 ( γ ) = ϕ2 (ϕ1 ( γ )); ϕ3 ( γ ) = ϕ3 (ϕ1 ( γ ));xB ( γ ) = x A ( γ ) + l2 cos ϕ2 ( γ ); ωg 2 ( γ ) =d ϕ (γ)d ϕ2 ( γ ); ωg 3 ( γ ) = 3 ;dγdγ19y B ( γ ) = y A ( γ ) + l2 sin ϕ 2 ( γ ); VgAx ( γ ) =dx A ( γ );dγxS2 ( γ ) = x A ( γ ) + K 2l2 cos ϕ 2 ( γ ); VgAy ( γ ) =y S2 ( γ ) = y A ( γ ) + K 2l2 sin ϕ 2 ( γ ); VgS2 x ( γ ) =a gAx ( γ ) =dVgAx ( γ )dγ; ξ g 2 (γ ) =d ω g 2 (γ )dγdy A ( γ )dx ( γ ); VgBx ( γ ) = B;dγdγdxS2 ( γ )dγ;.Пример построения передаточной функции (аналога угловой скорости) механизма качающегося цилиндра представлен на рис.

1.10,а пример определения линейной скорости центра масс – на рис. 1.11.Рис. 1.10. Пример построения передаточной функции (аналога угловойскорости) механизма качающегося цилиндра20Рис. 1.11. Пример определения скорости центра масс звена механизмакачающегося цилиндра1.10. Интегрирование функцийОперация интегрирования может быть использована для определения работы действующих сил (рис. 1.12) и для перехода от углаповорота звена к времени его движения в результате интегрированияобратной функции закона движения 1 / ω1 механизма (рис.

1.13).1.11. Вычисление погрешности, коэффициента корреляциии другие статистические расчеты в системе MathcadДля правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи на основе математическоймодели с применением ЭВМ, важно понимать, что получить точноезначение решения практически невозможно, т. е. решение всегдаявляется приближенным и содержит погрешность.

Объясняется этотем, что сама математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса, поэтому все характеристики,вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются отистинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.Полная погрешность решения задачи на ЭВМ складывается изтрех составляющих: неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности.2122Рис. 1.12.

Операция интегрирования для определения работы действующих сил(сил сопротивления Ac и движущих сил Ad)Рис. 1.13. Интегрирование обратной функции закона движения 1 / ω1( φ )механизма при переходе от угла поворота звена к времени движенияПоявление неустранимой погрешности обусловлено тем, чтопринятие математической модели и задание исходных данных вносит в решение погрешность, которая не может быть устранена впоследствии. Единственный способ уменьшить эту погрешность –перейти к более точной математической модели и задать более точные исходные данные.Достоверная информация о порядке величины погрешностиметода позволяет осознанно задать точность решения на ЭВМ.

Желательно, чтобы погрешность метода была в 2–10 раз меньшенеустранимой погрешности. Большее значение ощутимо снижаетточность результата, меньшее – обычно требует увеличения затрат,практически уже не влияя на значение полной погрешности.Вычислительная погрешность (при фиксированных модели, исходных данных и методе решения) в основном определяется характеристиками используемой ЭВМ. Желательно, чтобы эта величина былахотя бы на порядок меньше величины погрешности метода и совсемнежелательна ситуация, когда она существенно ее превышает.1.11.1.

Абсолютная и относительная погрешностиПусть имеется некоторая числовая величина и числовое значение а, которое ей присвоено, считается точным. Тогда подпогрешностью приближенного значения числовой величины Δа23понимают разность точного и приближенного значений числовойвеличиныa∗ − a = Δ a.Погрешность может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Величина а*, называемая известным приближением к точному значению числовой величины, – любое число,которое используется вместо точного значения.

Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность.Абсолютной погрешностью приближенного значения а* называют величину Δ(а*), про которую известно, чтоa∗ − a ≤ Δ( a∗ ).Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чеговводится понятие относительной погрешности.Относительной погрешностью приближенного значения называют величину δ(а*), про которую известно, чтоa∗ − a Δ ( a∗ )== δ( a ∗ ).aa∗Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительной погрешности удобно, в частности, тем,что она не зависят от масштабов величин и единиц измерения.Так как точное значение обычно не известно, непосредственноевычисление величин абсолютной и относительной погрешностей попредложенным формулам невозможно. Более реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешностей видаa ∗ − a ≤ Δ ( a ∗ );a∗ − a≤ δ ( a∗ ),∗a(*)где Δ ( а ∗ ) и δ ( а ∗ ) – известные величины, которые называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.24Если величина Δ ( а ∗ ) известна, то неравенство (*) будет справедливо приδ ( a∗ ) =Δ ( a∗ ).aТочно так же, если величина δ ( а ∗ ) известна, следует положитьΔ( a∗ ) = a δ ( a∗ ).Но поскольку точное значение а не известно, то на практике используют приближенные равенства видаδ ( a∗ ) ≈Δ ( a∗ )a∗; Δ( a∗ ) ≈ a∗ δ ( a∗ ).1.11.2.

Практическое применениематематической статистикиЗадачи, решаемые средствами математической статистики,имеют огромную практическую значимость, связанную с контролем качества продукции на промышленных предприятиях или же соценкой экспериментальных данных, полученных на опытном производстве. Решение проблем такого рода влечет за собой применение весьма сложного математического аппарата с внушительнымобъемом вычислительных работ.

Поэтому с самых первых днейрождения вычислительной техники при решении задач по статистической обработке данных начали активно применять ЭВМ.В настоящее время широко ведутся работы по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведениястатистического анализа данных.Система Mathcad, например, имеет огромные возможности ипозволяет проводить наиболее распространенные статистическиерасчеты на основе данных, заданных в виде векторов, а также расчеты для скалярного аргумента. Обилие специальных статистических функций позволяет сократить до минимума время решениялюбой поставленной задачи из серии статистических.

Однако все25же отметим, что существуют более мощные специализированныепакеты для выполнения статистических расчетов, напримерStatistica или StatGraphics, которые заметно превосходят Mathcad помноговариантности статистических вычислений.1.11.3. Статистические расчеты в среде MathcadПод математической статистикой понимают раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а такжеиспользование этих методов для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираютсяна теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала.

По типу решаемых задач математическую статистику обычно подразделяют на три раздела: описание данных, оценивание и проверка гипотез.Система Mathcad позволяет проводить наиболее распространенные статистические расчеты над данными, заданными в видевекторов [3].Одним из основных понятий статистики является математическое ожидание.

Если случайная величина принимает значения с разной вероятностью, математическое ожидание вычисляют по формулеM(X) = ∑ xi pi.Если случайная величина принимает ряд значений с равной вероятностью, то математическое ожидание определяют как среднееарифметическое значение некоторого количественного признакавыборки. В системе Mathcad среднее значение выборки можно рассчитать с помощью встроенной функции mean(x).При обработке экспериментальных данных среднее значение выборки считается равным истинному значению параметра.

Однакотакое утверждение абсолютно верно лишь в том случае, если выборка является генеральной, т. е. содержит все возможные значения измеряемой величины. Естественно, что в реальности с генеральнымисовокупностями работать невозможно, всегда приходится делать изних некоторые небольшие выборки. В зависимости от условий отбора и объема выборки она может быть репрезентативной в большейили меньшей степени, т. е. передавать особенности генеральной со26вокупности с различной степенью точности.