Angem_ch_2 (Все лекции по АнГему)

Лекция 4.Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.В этой главе мы изучим фигурах первого и второго порядкапространстве.на плоскости и в§2.1. Декартова прямоугольная система координат.2.1.1. Определение. Аффинной (декартовой) системой координат в трехмерномпространстве называется совокупность некоторой точки и произвольного базиса. При этомточка называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат внаправлении базисных векторов – осями координат: первая – осью абсцисс (ОХ), вторая –осью ординат (ОY), третья – осью аппликат (OZ).Замечание.Аналогично определяются аффинные системы координат на плоскости и прямой.2.1.2. Определение. Вектор, соединяющий начало координат с некоторой точкой,называется радиусом-вектором этой точки.2.1.3.

Определение. Координатами точки в аффинной системе координат называютсякоординаты ее радиуса-вектора.2.1.4. Определение. Аффинная система координат, базис которой являетсяортонормированным, называется прямоугольной декартовой системой координат.z¢2.1.5.

Параллельный перенос осей.Пусть новая система координат (O¢, x¢, y ¢, z ¢) получена изzстарой (O, x , y , z ) сдвигом на вектор OO¢( x0 , y0 , z 0 ) . ТогдаO ¢A = OA - OO ¢ =rrr r rrrrr= (xi + yj + zk ) - (x0i + y0 j + z0k ) = (x - x0 )i + (y - y0 )j + (z - z0 )k .Базисные орты в обеих системах одинаковы, поэтомукоординаты вектора O ¢A есть координаты точки О’ вì x ¢ = x - x0 ,ïновой системе координат: í y ¢ = y - y 0 ,ïz ¢ = z - z .0îra¢O¢y’МraOx¢yxРис.

2.12.1.6. Кривые и поверхности.Одним из основных вопросов аналитической геометрии является исследование линий наплоскости и поверхностей в пространстве.2.1.6.1. Определение. Уравнение f(x, y) = 0 называется уравнением линии l на плоскости,если этому уравнению удовлетворяют координаты х, у всех точек М(х, у), лежащих на линии,и не удовлетворяют координаты ни одной точки P(х, у), не лежащей на кривой:f(x, y) = 0 Û М(х, у) Î l,f(x, y) ¹ 0 Û М(х, у)Ï l.2.1.6.2.

Определение. Уравнение F(x, y, z) = 0 называется уравнением поверхности s впространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты х, y, z всех точек М(х, у, z),лежащих на поверхности, и не удовлетворяют координаты ни одной точки P(х, у, z), нележащей на поверхности:F(x, y, z) = 0 Û М(х, у, z) Î s ,F(x, y, z) ¹ 0 Û М(х, у, z)Ï s .2.1.7.

Две основные задачи аналитической геометрии.I. Дано некоторое множество точек плоскости (пространства), обладающее некоторымнабором свойств. Требуется составить уравнение (или систему уравнений), которое внекоторой системе координат задает это множество точек.II (обратная). В заданной системе координат некоторое множество точек плоскости(пространства) описывается заданным уравнением (или системой уравнений). Требуетсяопределить вид и основные свойства этого множества и построить его эскиз.§2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии.2.2.1. Нахождение длины отрезка.zM1Пусть в заданной декартовой прямоугольной системекоординат имеется две точкиM 1 ( x1 , y1 , z1 )иM2OM 2 ( x2 , y2 , z2 ) .

(Рис. 2.2).uuuuuuur uuuuur uuuuurВектор M 1 M 2 = OM 2 - OM 1 .yСледовательно, длина отрезкаuuuuuuurM 1 M 2 = M 1M 2 = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 ) 2 + ( z2 - z1 ) 2 .xРис. 2.22.2.2. Деление отрезка в данном отношении.Говорят, что точка М делит отрезок М1М2 в отношении a ,uuuuuurM 1Mесли uuuuur = a .

Найдем координаты точки М. На Рис. 2.3MM 2M2Мизображен отрезок и его проекция на ось Ох.Запишем векторное равенствопроекции на оси координат.uuuuuuruuuuurM 1 M = a MM 2иегоM1х1хРис. 2.3х2ì x - x1 = a ( x2 - x )ïí y - y1 = a ( y2 - y )ï z - z = a ( z - z)12îÞ x=x1 + a x2y + a y2z + a z2, y= 1, z= 1.1+a1+a1+aВ частном случае l = 1 , т.е.

когда точка М – середина отрезка, получаем, что координатысередины отрезка равны средним арифметическим координат концов:x + x2y + y2z +zxс = 1, yc = 1, zc = 1 2 .222§2.3. Прямая на плоскости.2.3.1. Общее уравнение прямой.r2.3.1.1. Определение. Ненулевой вектор N называется нормальным вектором прямой,если он перпендикулярен всякому вектору, лежащему на прямой.2.3.1.2.

Теорема. (Общее уравнение прямой)Всякая прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат задаетсяуравнением первой степени.уДоказательство:Пусть на плоскости задана точка M 0 ( x0 , y0 ) и ненулевойrвектор N ( A, B ) . В аналитической геометрии прямая задаетсякак геометрическое место точек M ( x, y ) таких, что векторuuuuuurrM 0 M ортогонален вектору N . Таким образом, в векторномвиде уравнение прямой записывается так:r uuuuuurN , M0M = 0 .(rNNМ0(x0, у0)ОM(x, y)хРис.

2.4)(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю).uuuuuurrЗапишем последнее равенство в координатной форме: N ( A, B ) , M 0 M = ( x - x0 , y - y0 ) ,следовательно, А(х – х0) + В(у – у0) = 0. Преобразуем это уравнение:Ах + Ву + (–Ах0 – Ву0) = 0. Обозначим С = –Ах0 – Ву0, тогда Ax + By + C = 0 , это уравнениеназывается общим уравнением прямой.Ax + By + C = 0 .2.1.3.3.

Определение. Уравнение видаAx + By + C = 0называется общим уравнением прямой.2.1.3.4. Определение. Уравнение видаA ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) = 0,(2.1)(A2+ B2 ¹ 0)называется уравнением прямой, проходящей через точкуrвектором N ( A, B ) .(2.2)M 0 ( x0 , y0 ) с нормальным2.1.3.5. Определение. Линии, которые в декартовой прямоугольной системе координатзадаются уравнениями первой степени, называются линиями первого порядка.2.3.1.6. Теорема. (О линиях первого порядка на плоскости)Линиями первого порядка на плоскости являются прямые, и только они.Доказательство:То, что прямая на плоскости задается уравнением вида Ax + By + C = 0 , то есть уравнениемпервой степени, доказано в теореме 2.1.3.2.

Осталось доказать, что всякое уравнение видаAx + By + C = 0 при условии A2 + B 2 ¹ 0 задает прямую на плоскости.Пусть ( x0 , y0 ) - некоторое решение уравнения (2.1). Тогда при подстановке его в уравнениемы получим тождество:Ax0 + By0 + C = 0 .Вычтем полученное равенство из уравнения (2.1), получимA ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) = 0,то есть уравнение прямой, проходящей через точкуrN ( A, B ) ( A2 + B 2 ¹ 0 ) .M 0 ( x0 , y0 ) с нормальным векторомТаким образом, доказано, что всякое уравнение вида (2.1) при условии A2 + B 2 ¹ 0 задаетпрямую и что всякая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида (2.1).2.3.1.6. Теорема. (О перпендикулярности прямой и вектора на плоскости)Для того, чтобы прямая, заданная общим уравнением, была перпендикулярна вектору наплоскости, необходимо и достаточно, чтобы координаты вектора были пропорциональныкоэффициентам при переменных общего уравнения прямой, т.е.rrA Bl : Ax + By + C = 0, m(a; b); l ^ m Û= .a bДоказательство:Очевидно, перпендикулярность прямой и вектора эквивалентно коллинеарности вектора инормального вектора прямой, следовательно, по критерию коллинеарности (Следствие изтеоремы 1.5.6) получаем требуемое.2.3.1.7.

Частные случаи общего уравнения прямой на плоскости.1.2.3.4.5.A = 0 Þ By + C = 0 - прямая, параллельная оси абсцисс;B = 0 Þ Ax + C = 0 - прямая, параллельная оси ординат;C = 0 Þ Ax + By = 0 - прямая, проходящая через начало координат;A = C = 0 Þ y = 0 - ось абсцисс;B = C = 0 Þ x = 0 - ось ординат.2.3.2.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.2.3.2.1. Определение. Углом наклона прямой называется любой направленный угол, накоторый надо повернуть ось Ох, чтобы получить одно из направлений прямой.Замечание.Очевидно, все углы наклона прямой отличаются друг от друга на величину p n, n Î ,поэтому их тангенсы равны.2.3.2.2. Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом.Рассмотрим точку M 1 ( x1 , y1 )принадлежащую прямой ипроизвольную точку M ( x, y ) . Очевидно, что если точкаM ( x, y ) лежит на прямой, то tga =y - y1(Рис.

2.5).x - x1уyaОбозначим k = tga Þ y = y1 + k ( x - x1 ) .Полагая b = y1 - kx1 , перепишем уравнение в видеy = kx + b(2.3)ay1y-y1x-x1bОхx1xРис. 2.5Геометрический смысл коэффициента b состоит в том, что bявляется ординатой точки пересечения прямой с осью Оу. Параметр k, который называютугловым коэффициентом прямой, равен тангенсу угла наклона прямой: k = tg a .2.3.2.3.

Определение. Уравнение вида (2.3) называется уравнением прямой с угловымкоэффициентом.Замечание.Так как k = tg a , уравнение с угловым коэффициентом невозможно записать для прямых сa = p / 2 , т.е. для прямых, параллельных оси Оу. Такие прямые имеют уравнение x = x0 , гдеx0 – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.2.3.3. Связь между общим уравнением прямой и уравнением прямой с угловымкоэффициентом.Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом kx - y + b = 0 . Обозначая A = k ,B = -1 , получим общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 .Обратный переход: если в уравнении Ax + By + C = 0 положить B = 0 , то прямая не имеетACACуглового коэффициента; если же B ¹ 0 , то y = - x - . Обозначая k = - , b = - ,BBBBполучим уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b .2.3.4.

Уравнение прямой в отрезках.Рассмотрим прямую, не проходящую через начало координат и заданную своим общимуравнением Ax + By + C = 0 (C ¹ 0 ) . Представим данное уравнение в видехy+=1.- С/A - С/BCCОбозначая a = - , b = - , получим уравнениеABx y+ = 1,a bкоторое называется уравнением прямой в отрезках.уb(2.4)хаОРис. 2.6Положив в этом уравнении х = 0, получим y = b; положив у = 0, получаемх = а. Таким образом, параметры а и b равны, соответственно, абсциссе иординате концов отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Отметим, что в отрезкахможет быть записана любая прямая, не проходящая через начало координат.2.3.5.

Угол между прямыми.Пусть прямая l1 задана уравнением у = k1х + b1,прямая l2 задана уравнением у = k2х + b2; тогда k1 = tg a1 , k 2 = tg a 2 .Обозначим j - угол между этими прямыми (Рис. 2.7).Так как j = a1 - a 2 , тоk - k2tg a1 - tg a 2= 1tg j = tg(a1 - a 2 ) =.1 + tg a1 × tg a 2 1 + k1 × k 2æ k - k2 ö÷÷ .Таким образом, j = arctgçç 1+×1kk12 øèЕсли прямые заданы своими общими уравнениямитоl1уa2ja1 хОРис. 2.7l1 : A1x + B1y + C1 = 0, l2 : A2x + B2y + C2 = 0,k1 = -A1A, k2 = - 2 ,B1B2иæ A B - A2 B1 ö÷÷ .j = arctgçç 1 2è A1 A2 + B1 B2 ø2.3.5.1. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.Из выражений для тангенса угла между прямыми следуют условия параллельности иперпендикулярности прямых:В случае параллельности прямых l1|| l2 тангенс угла между нимиk -kA B - A2 B1tg j = 1 2 = 1 2= 0,1 + k1 × k 2 A1 A2 + B1 B2ABследовательно, k1 = k2, или А1В2 = А2В1, или 1 = 1 .A2 B2pВ случае параллельности прямых l1 ^ l 2 Û j = Û k1 × k 2 = -1 , или А1А2 + В1В2 = 0.22.3.6.

Расстояние от точки до прямой на плоскости.l2Пусть прямая l задана общим уравнением Ax + By + C = 0 ,M 0 ( x0 , y0 ) – произвольная точка плоскости. Очевидно, дляM0 (x0, y0)улюбой точки М1(x1, y1), лежащей на прямой, расстояние d от N(A, B)точки M0 до прямой l равно абсолютной величинеuuuuuuurrпроекции вектора M 1 M 0 на нормальный вектор N ( A, B ) .Пусть точка М1 имеет координаты ( x1 , y1 ) , тогдаuuuuuuur uuuuuuurM 1 M 0 = M 1 M 0 (х0 - х1 , у0 - у1 ) ,иr uuuuuuur× M 1M 0 А(х0 - х1 ) + В (у0 - у1 )Nrd = | Пр Nr M 1 M 0 |===|N |А2 + В 2=А(х0 - х1 ) + В (у0 - у1 )=ddхОM1(x1, y1)Рис. 2.8Ах0 + Ву0 + ( - Ах1 - Ву1 ).А +ВА2 + В 2Из принадлежности точки М1 прямой l следует, что Ax1 + By1 + C = 0 , т.е. - ( Ax1 + By1 ) = C .22Следовательно,Ах0 + Ву0 + С.(2.5)d=А2 + В 2Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, достаточно подставитькоординаты точки в общее уравнение прямой и полученное число разделить на длинунормального вектора.Лекция 5.§2.4.