Angem_ch_2 (Все лекции по АнГему), страница 3

Следовательно, направляющий вектор прямойr r rij krr rrrs = éë N1 , N 2 ùû = 1 1 1 = 2i - 2k .1 -1 1rИтак, s ( 2,0, -2 ) . Найдем теперь какое-либо решение исходной системы уравнений.Складываем и вычитаем уравнения, получим:ì x + y + z - 2 = 0,ì y = 1,Ûííî x - y + z = 0,î x = 1 - z.Полагая z = 0 , получим одну из точек, принадлежащих прямой M (1,1,0 ) .rТаким образом, имеем направляющий вектор s ( 2,0, -2 ) и точку M (1,1,0 ) , следовательно,параметрические уравнения прямой имеют видì x = 1 + 2t,ïí y = 1,ï z = - 2t .îЗамечание.Заметим, что уравнение одной и той же прямой можно записать разными способами.

Этоопределяется произвольностью выбора точки, принадлежащей прямой, а такжепроизвольностью выбора направляющего вектора. Так, например, в предыдущем примеремы могли положить z = 1 и получить точку N ( 0,1,1) , а в качестве направляющего взятьrrвектор s1 (1,0, -1) , коллинеарный с найденным вектором s ( 2,0, -2 ) . Тогда параметрическиеуравнения той же прямой, очевидно, принимают видì x = t,ïí y = 1,ïî z = 1 - t.2.5.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.Пусть заданы две точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) и требуется найти уравнение прямой,uuuuuuurпроходящей через эти две точки. Очевидно, можно взять вектор M 1M 2 ( x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 )в качестве направляющего вектора прямой, а в качестве точки, принадлежащей прямой,можно взять любую из точек М1 или М2.

Следовательно, канонические уравнения прямойимеют вид:x - x1y - y1z - z1==(2.16)x2 - x1 y2 - y1 z 2 - z12.5.6. Угол между прямыми.Рассмотрим две прямые, заданные своими каноническими уравнениямиx - x1 y - y1 z - z1x - x2 y - y2 z - z2==и l2 :==.a1b1c1a2b2c2Очевидно, угол между прямыми будет равен углу между их направляющими векторамиrrs1 ( a1 ,b1 ,c1 ) и s2 ( a2 ,b2 ,c2 ) :l1 :Ùr Ùrcos(l1, l2 ) = cos( s1, s2 ) =a1a2 + b1b2 + c1c2a + b12 + c12 a22 + b22 + c2221.(2.17)В частности,если прямые параллельны, то координаты их направляющих векторов пропорциональныa1 b1 c1= = ;a2 b2 c2если прямые перпендикулярны, то их направляющие векторы ортогональныa1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 .§2.6. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.2.6.1.

Взаимное расположение прямой, заданной общими уравнениями, и плоскости.В пространстве прямая можета) пересекать плоскость;б) быть параллельной плоскости;в) лежать в плоскости.Пусть плоскость P задана общим уравнениемP : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ,а прямая l задана общими уравнениямиì A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,l:íî A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0.Тогда взаимное расположение прямой и плоскостью определяется системой трех линейныхуравнений относительно трех неизвестных:ì A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,ï(2.18)í A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,ï A x + B y + C z + D = 0.î 3333Если система уравнений (2.18) имеет единственное решение, то прямая и плоскостьпересекаются; если у системы нет решений, то прямая параллельная плоскости; и, наконец,если у системы бесконечное множество решений, то прямая лежит в плоскости.2.6.2. Взаимное расположение прямой, заданной параметрическими уравнениями, иплоскости.Пусть плоскость P задана общим уравнениемP : Ax + By + Cz + D = 0 ,а прямая l задана параметрическими уравнениямиì x = x0 + m × t,ïl : í y = y0 + n × t ,ï z = z + p × t.0îПодставим параметрические уравнения в уравнение плоскости.

Получим линейноеуравнение относительно параметра t(2.19)( Am + Bn + Cp ) t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .Если выполняется условие Am + Bn + Cp ¹ 0 , то уравнение (2.19) разрешимо относительнопараметра tAx + By0 + Cz0 + Dt0 = - 0,(2.20)Am + Bn + Cpи координаты точки пересечения прямой и плоскости имеют видì x = x0 + m × t0 ,ïí y = y0 + n × t0 ,ïz = z + p × t ,00îгде t0 определяется из (2.20).Если Am + Bn + Cp = 0 , при этом Ax0 + By0 + Cz0 + D ¹ 0 , то уравнение (2.19) не разрешимоотносительно параметра t, то есть прямая не пересекает плоскость.

Таким образом, условиепараллельности прямой и плоскости имеет видì Am + Bn + Cp = 0,íî Ax0 + By0 + Cz0 + D ¹ 0.Если же оба коэффициента уравнения (2.19) равны нулю, то оно справедливо для любогозначения параметра, то есть имеет бесконечное множество решений. Следовательно,прямая лежит в плоскости при условииì Am + Bn + Cp = 0,íî Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.2.6.3.

Угол между прямой и плоскостью.Угол j между прямой и плоскостью (т.е. угол междупрямой и ее проекцией на плоскость) связан с угломy между прямой и нормалью к плоскостиpсоотношением j = ± y , поэтому2lrNπM0AjРис. 2.14rsarra, N )(sinj =r =Am + Bn + Cp.A2 + B 2 + C 2 × m 2 + n 2 + p 2rrВ частности, если векторы s и N коллинеарны, то естьA B C= = ,m n pто прямая перпендикулярна плоскости.ra×N2.6.4.

Взаимное расположение двух прямых.Две прямые в пространстве могута) быть компланарными, в том числе пересекаться, быть параллельными или совпадать;б) не быть компланарными, то есть скрещиваться.Пустьдвепрямыезаданыканоническими уравнениямиx - x1 y - y1 z - z1l1 :==,m1n1p1x - x2 y - y2 z - z2l2 :==.m2n2p2своимиl1М2 sr2М1rs1l2Рис. 2.15Прямые компланарны тогда, и только тогда,uuuuuuurr rкогда компланарны векторы s1 , s2 и M 1 M 2 .Таким образом, условие компланарности прямых l1 и l2 имеет видx 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1m1n1p1m2n2p2= 0.(2.21)r rmnpЕсли при этом векторы s1 , s2 коллинеарны, т.е.

1 = 1 = 1 , то прямые параллельны.m2 n2p2uuuuuuurЕсли, дополнительно, вектор M 1 M 2 коллинеарен направляющим векторам, то прямыесовпадают.Если условие компланарности выполняется, но направляющие векторы неколлинеарны, топрямые пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, надо решить систему уравненийì x - x1 y - y1 z - z1=,ï m = np1ï 11íï x - x2 = y - y 2 = z - z 2 .ïî m2n2p2В этой системе три неизвестных (координаты точки пересечения х, у, z) и четыре уравнения,однако, если выполняются условия компланарности прямых и неколлинеарностинаправляющих векторов, она имеет единственное решение.2.6.5.

Расстояние от точки до прямой в пространстве.Найдем расстояние от некоторой точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) до прямой l, имеющей направляющийrвектор s ( m, n, p ) и проходящей через точкуlM 0 ( x0 , y0 , z0 ) . Очевидно, искомое расстояние будетявляться высотой параллелограмма, построенного наuuuuuuurrвекторах s и M 0 M 1 .

Используя геометрический М1смысл векторного произведения, окончательноrполучаем:r uuuuuuurés , M 0 M1 ùr= ë r û .(2.22)srsМ0Рис. 2.16Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, нужно найти расстояние отпроизвольной точки первой прямой до второй прямой.2.6.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми.Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными своими каноническимиуравнениямиx - x1 y - y1 z - z1x - x2 y - y2 z - z2l2==,==.m1n1p1m2n2p2rrr rs2М2Так как прямые l1 и l2 скрещиваются, то векторы s1 , s2uuuuuuurи M 1 M 2 некомпланарны.

Очевидно, что еслиruuuuuuurs1r rпостроить параллелепипед на векторах s1 , s2 и M 1 M 2М1(Рис. 2.17), то искомое расстояние r будет равноl1высоте параллелепипеда. С учетом свойствсмешанного и векторного произведений получимРис. 2.17r r uuuuuuurs1 , s2 , M 1M 2r=.(2.23)r r[ s1 , s2 ]Лекция 7.§2.7. Кривые второго порядка на плоскости.2.7.1. Определение. Кривой второго порядка на плоскости называется множество точекплоскости, которое описывается уравнением второго порядка, то естьa11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2b1 x + 2b2 y + c = 0,(2.24)222где a11 + a12 + a22 ¹ 0.2.7.2. Определение.

Канонической системой координат для данной кривой называетсядекартова система координат, в которой уравнение кривой имеет наиболее простой вид.2.7.3. Определение. Уравнение кривой в канонической системе координат называется ееканоническим уравнением.2.7.4. Эллипс.2.7.4.1. Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, длякоторых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, являетсяпостоянной величиной.2.7.4.2. Каноническое уравнение эллипса.Введем на плоскости прямоугольную систему координат.

Направим ось Ох вдоль линии,соединяющей фокусы F1 и F2, с серединой отрезка F1F2, а ось Оу – перпендикулярно черезсередину отрезка F1F2.Пусть расстояние между фокусами равно 2с, а сумма расстояний от фокусов допроизвольной точки равна 2а (a > c).Тогда фокусы имеют координаты F1 ( - c,0 ) и F2 ( c,0 ) , и, если M ( x, y ) – текущая точкаэллипса, то расстояния от этой точки до фокусов равны длинам фокальных радиусов F1M иuuuuruuuuurF2M: F1M = (x + c )2 + y 2 и F2 M = (x - c )2 + y 2 . Тогда из определения эллипса( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c) 2 + y 2 = 2а .Возведем обе части уравнения в квадрат:(x + c ) 2 + y 2 + (x - c ) 2 + y 2 + 2( (x + c )2+ y 2 )( (x - c ) 2 + y 2 ) = 4a 2 ;После преобразований получим:( (x + c )2+ y 2 )( (x - c) 2 + y 2 ) = 2a 2 - x 2 - y 2 - c 2 .Возводя обе части уравнения в квадрат, имеем:(x2+ y 2 + с 2 ) - 4с 2 x 2 = 4а 4 - 4а 2 ( x 2 + y 2 + с 2 ) + ( x 2 + y 2 + с 2 ) ,2- с2 ) x 2 + а 2 у 2 = а 2 ( а 2 - с 2 ) .откуда(а22Обозначая b = a 2 - c 2 , перепишем последнее уравнение в видеb 2 x 2 + а 2 у 2 = а 2b2 , и после деления на правую часть окончательно получимx2+y2= 1.a2 b2Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.(2.25)2.7.4.3.

Свойства эллипса.1. Из уравнения (2.25) следует, чтоx £ a, y £ b , это означает, что график эллипсаограничен прямоугольником x = ±a, y = ±b .2. Так как в уравнение входят только четныестепени х, у, то если точка (х, у) принадлежитэллипсу, (т.е. х, у удовлетворяют уравнению), тоточки (-х, у), (х, -у), (-х, -у) тоже принадлежатуравнению. Следовательно, оси Oх и Оу являютсяосями симметрии эллипса, точка О(0, 0) являетсяцентром симметрии.3. Рассмотрим часть эллипса, расположенную впервом квадранте ( x ³ 0 , y ³ 0 ). Решив уравнение2æ xöотносительно у, получим y = b 1 - ç ÷ .èaøРис.

2.18Если x = 0, то у = b; если x = а, то у = 0; у убывает при возрастании х;.На Рис. 2.18 изображен график эллипса.Замечание.1. Число а называют большой полуосью эллипса, b – малой полуосью.с2. Число e =называется эксцентриситетом эллипса. Этот параметр характеризуетастепень «сжатия» эллипса. Если e = 0 (т.е. с = 0, b = а) фокусы эллипса совпадают с егоцентром, полуоси равны и эллипс превращается в окружность.Если e ® 1 ( с ® а, b ® 0 ) эллипс вырождается в отрезок,соединяющий фокусы.3. Если провести через фокусы ось Оу и провести аналогичныерассуждения, то фокусами являются точки F1 ( - c,0 ) и F2 ( c,0 ) ,точка M ( x, y ) удовлетворяет уравнениюuuuur uuuuurF1M + F2 M = 2b ,откуда получим каноническое уравнение эллипсаx2a2+y2b2= 1,где малая полуось а = b 2 - c 2 .