Angem_ch_2 (Все лекции по АнГему), страница 4

В этом случае эксцентриситетсe = , большая полуось расположена на оси Оу (Рис. 2.19).bРис. 2.192.7.5. Гипербола.2.7.5.1. Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, длякоторых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами, является постоянной величиной.2.7.5.2.

Каноническое уравнение гиперболы.Вывод канонического уравнения гиперболы аналогичен соответствующему выводу дляэллипса.Введем на плоскости прямоугольную систему координат. Направим ось Ох вдоль линии,соединяющей фокусы F1 и F2, с серединой отрезка F1F2, а ось Оу – перпендикулярно черезсередину отрезка F1F2.Пусть расстояние между фокусами равно 2с, а модуль разности расстояний от фокусов допроизвольной точки равен 2а (a < c).Тогда фокусы имеют координаты F1(-c, 0) и F2(c, 0), и, если M ( x, y ) – текущая точка эллипса,то расстояния от этой точки до фокусов равны длинам фокальных радиусов F1M и F2M:uuuurF1M = (x + c )2 + y 2 ,uuuuurF2 M = (x - c )2 + y 2 .Тогда из определения гиперболыuuuur uuuuurF1 M - F2 M = 2a , то есть(x + c ) 2 + y 2 - (x - c ) 2 + y 2 = 2 а .Избавимся от иррациональности в полученном уравнении(x + c ) 2 + y 2 + (x - c ) 2 + y 2 - 2( (x + c )(x22( (x + c )2+ y 2 )( (x - c ) 2 + y 2 ) = 4a 2 ;+ y 2 )( (x - c ) 2 + y 2 ) = x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 ;+ y 2 + с 2 ) - 4с 2 x 2 = 4а 4 - 4а 2 ( x 2 + y 2 + с 2 ) + ( x 2 + y 2 + с 2 ) ;22x2у2= 1.а2 с2 - а2Обозначая b = c 2 - a 2 , получим уравнениеx2 y 2=1,a 2 b2которое и будет каноническим уравнением гиперболы.(2.26)2.7.4.3.

Свойства гиперболы.1. Из уравнение (2.26) следует, что x ³ a ; следовательно, гипербола имеет две ветви.2. Поскольку в уравнение входят только четные степени х, у, оси Oх и Оу являются осямисимметрии гиперболы, а точка О(0, 0) является центром симметрии.22bæ xöæаö3. В первом квадранте y = b ç ÷ - 1 = х 1 - ç ÷ . Если x = а, то у = 0; у возрастает вместе сaèaøè хø2æаöх. При больших х функция ç ÷ - бесконечно малая, и ей можно пренебречь, т.е. прямаяè хøby = х является наклонной асимптотой при х ® +¥ (строго это можно показать методамиabматематического анализа).

Вследствие симметрии прямая y = х является асимптотойabгиперболы ипри х ® -¥ , по той же причине прямая y = - х также являетсяaдвусторонней асимптотой.Кривая, имеющая эти свойства, изображенана Рис. 2.20.Параметр а называют действительнойполуосью гиперболы, параметр b –мнимойполуосью. Ось, имеющая с гиперболой двеобщие точки (на Рис.

2.20 ось Ох) называетсядействительной осью гиперболы. Ось, неимеющая общих точек с гиперболой,называется мнимой осью гиперболы.сЧислоe=называетсяаэксцентриситетом гиперболы. Так какa < c, то e > 1 .Рис. 2.20Замечание.Если расположить фокусы гиперболы наоси Оу: F1(0, -c), F2(0, c) (Рис. 2.21),Рис. 2.21произвольная точка M ( x, y ) гиперболы будет удовлетворять уравнениюuuuur uuuuurF1 M - F2 M = 2b , b < c,с,bдействительная полуось гиперболы будет равна b, мнимая – а, каноническое уравнениепримет видпараметр а вводится соотношением а =-x2+с 2 - b 2 , эксцентриситет гиперболы e =y2= 1.a2 b2В этом случае действительной осью гиперболы будет ось Оу, а мнимой – ось Ох.2.7.6.

Парабола.2.7.6.1. Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости,равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом параболы и заданной прямойэтой плоскости, называемой директрисой.2.7.6.2. Каноническое уравнение параболы.Пусть на плоскости задана точка F (фокус параболы) и прямая (директриса параболы).Расстояние между фокусом и директрисой равно р (параметр параболы). Проведем ось Охчерез фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу, а ось Оу –параллельно директрисе через середину отрезка, соединяющего фокус с точкойпересечения директрисы и оси абсцисс (Рис 2.22).Пусть произвольная точка M ( x, y ) принадлежит параболе.yM(x, y)Тогда из определения параболы в координатной формеполучим:2pöpæ2çx - ÷ + y = x + .2ø2èПосле возведения в квадрат и очевидных преобразований -p/2имеему 2 = 2 рх .(2.27)Это уравнение называется каноническим уравнениемпараболы.F(p/2,0)xРис.

2.222.7.4.3. Свойства параболы.1. Из уравнение (2.27) видно, что y ³ 0 ; следовательно, график параболы расположен вправой полуплоскости.2. Поскольку в уравнение входит только четная степень у, ось Oх является осью симметриипараболы.Замечание.Если направить ось абсцисс через фокус перпендикулярно директрисе в направлении отфокуса к директрисе, то уравнение параболы будет иметь виду 2 = -2 рх ( p > 0 ) .Если же расположить ось ординат параллельно директрисе, то мы получим соответственноx 2 = 2 рy и x 2 = -2 рyв зависимости от направления оси ординат (от директрисы к фокусу или от фокуса кдиректрисе, соответственно).

Вышеописанные случаи расположения параболы наплоскости и их соответствующие канонические уравнения приведены на Рис. 2.23.yM(x,y)M(x,y)х2= -2руyyF(0, p/2)F(-p/2,0)x-у2= -2рхxF(0, -p/2)xM(x,y)х2= 2руРис. 2.232.7.7.кривые второго порядка.СмещенныеРассмотрим, как преобразуются уравнения эллипса, гиперболы, параболы, если их центрыне совпадают с началом системы координат, но оси остаются параллельнымикоординатным осям. Рассмотрим, например, эллипс с центром в точке с координатами (х0,у0), изображенный на Рис. 2.24. В координатахy¢yì x ¢ = x - x0 ,y’y0+bí¢yyy,=0îF1F2полученных в результате параллельного переноса, уравнениеy0x¢эллипса имеет канонический видy0+bx’x¢ 2 y ¢ 2+= 1.a2b2О x0-ax0+a xx0Таким образом, в исходных координатах уравнение смещенногоэллипса будетРис. 2.24( x - х0 ) 2a2+( y - у0 ) 2b2(2.28)= 1.Аналогично для смещенных гипербол уравнения будут иметь видили-( x - х0 ) 22+( y - у0 ) 22abдля смещенных парабол:( у - у 0 ) 2 = 2 р( х - х0 ) ,( х - х0 ) 2 = 2 р ( у - у 0 )= 1;( x - х0 ) 2a2-( y - у0 ) 2b2(2.29)( у - у 0 ) 2 = -2 р ( х - х0 ) ,или ( х - х0 ) 2 = -2 р ( у - у 0 ) .(2.30)2.7.8.

Общее уравнение кривой второго порядка.2.7.8.1. Определение. Уравнение видаAx 2 + Cу 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0, ( A2 + C 2 ¹ 0 )(2.31)=1называется общим уравнением кривой второго порядка.Рассмотрим возможные знаки коэффициентов A и C .2.7.8.2. Определение. Уравнение вида (2.31) называется уравнением эллиптического типа,если коэффициенты при старших степенях имеют один знак, т.е. AC > 0 .2.7.8.3. Исследование уравнения эллиптического типа.Выделим в уравнении (2.31) полные квадраты. Предположим, что A > 0, C > 0 (в противномслучае уравнение можно умножить на -1).Получим:22æ 2æ 2DED2 E 2æDö öæEö öAç x + 2 x + ç ÷ ÷ + C ç y + 2 x + ç ÷ ÷ = -F ++;ççACABè A ø ÷øè C ø ÷øèè,22DöEöææA ç x + ÷ + C ç y + ÷ = F1 ,AøCøèè22DEгде F1 = - F ++.ACВыполним параллельный перенос системы координат:Dìïï x1 = x + A ,íï y1 = y + E ,ïîCтогда уравнение примет видAx12 + Cy12 = F1 .Возможны три случая:1.

если F1 = 0 , то уравнениеAx12 + Cy12 = 0 ( A > 0, C > 0)имеет единственное решение, то есть эллипс вырождается в точку (0,0);2. если F1 > 0 , получимx12 y12+= 1,a 2 b2FFгде a 2 = 1 , b2 = 1 , то есть уравнение эллипса;AC3. если F1 < 0 , то уравнение может быть преобразовано к видуx12 y12+= -1 ,a 2 b2FFгде a 2 = - 1 , b2 = - 1 . Очевидно, полученное уравнение не имеет действительных решений.ACВ этой связи обычно говорят, что уравнение характеризует мнимый эллипс.2.7.8.4. Определение. Уравнение вида (2.31) называется уравнением гиперболическоготипа, если коэффициенты при старших степенях имеют разные знаки, т.е. AC < 0 .2.7.8.5. Исследование уравнения гиперболического типа.Предположим без ограничения общности, что A > 0, C < 0 .

Как и при исследованииуравнения эллиптического типа, выделим полные квадраты. Получим уравнение22DöEöD2 E 2ææA ç x + ÷ + C ç y + ÷ = F1 ,F1 = - F ++,AøCøACèèпричем снова имеем три возможных случая:1. если F1 > 0 , получаем каноническое уравнение гиперболыx12 y12= 1,a 2 b2F1F1, мнимой полуосью b =.A-C2. Если F1 = 0 , получаем уравнение Ax12 + Cy12 = 0 ( A > 0, C < 0 ) . Раскладывая левую частьс действительной полуосью a =уравнения на множители(Ax1 - -C y1пересекающихся прямых y = ±)()Ax1 + -C y1 = 0 , получим уравнение парыA× x . Можно считать, что в этом случае гипербола-Cвырождается в асимптоты.3. Если F1 < 0 , то уравнение преобразуется к виду полуосью a =- F1, действительной полуосью b =Ax12 y12+= 1 гиперболы с мнимойa 2 b2F1.C2.7.8.6.

Определение. Уравнение вида (2.31) называется уравнением параболическоготипа, если один из коэффициентов при старших степенях равен нулю, т.е. AC = 0 .2.7.8.7. Исследование уравнения параболического типа.Будем считать для определенности, что A > 0, C = 0 . Уравнение Ax 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0,представим в виде2DöD2æA ç x + ÷ + 2 Ey + F1 = 0, F1 = F .AøAèВозможны следующие случаи:2Döæ1. Е = 0. Тогда A ç x + ÷ = - F1 .AøèЕслиправаячастьэтогоуравненияположительнато( F1 < 0 ) ,2DöF1æçx+ ÷ = - ;AøAèDF± - 1 , т.е.

уравнение определяет пару параллельных прямых.AADЕсли F1 = 0 , получаем пару совпавших прямых x = - . Если правая часть отрицательнаA( F1 > 0) , имеем пара мнимых прямых.x=-2. E ¹ 0 . Приведем уравнение к виду2DöE æçFD 2 ö÷æx2.y+=++ç÷2 E 2 AE ÷øAøA çèèEЕсли обозначить p =, и произвести параллельный перенос осей координатADìïï x1 = x + A ,í2ïy = y + F + D ,ïî 12 E 2 AEполучим каноническое уравнениекоэффициента E .параболыx12 = ±2 py1в зависимости от знакаЛекция 8.§2.8.