Angem_ch_2 (Все лекции по АнГему), страница 5

Поверхности второго порядка.2.8.1. Определение. Поверхностью второго порядка называется множество точекпространства, которое в декартовой системе координат определяется уравнениемa11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = 0.(2.32)2.8.2. Цилиндрические поверхности.2.8.2.1. Определение.

Пусть в пространстве задана прямая l и кривая L, не являющаясяпрямой, параллельной l. Цилиндрической поверхностью называется поверхность,образованная множеством прямых, параллельных l иlпроходящих через точки L (Рис. 2.25) Кривая Lназываетсянаправляющейцилиндрическойобразующиеповерхности; прямые, параллельные l, из которыхсостоит поверхность, называются образующимицилиндрической поверхности.L (направляющая)2.8.2.2.Теорема.поверхности)(УравнениецилиндрическойРис. 2.25Всякое уравнение вида F ( x , y ) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность собразующими, параллельными оси Oz .zM(x,y,z)Доказательство:Введем в пространстве декартову системуlLкоординат так, чтобы ось Oz была параллельнапрямой l, и, как следствие, образующимyповерхности (Рис.

2.26). Будем считать, что M0(x, y, 0)пересечение поверхности с плоскостью OxyL: F(x, y) = 0определяет кривую L, имеющую уравнениеxF ( x , y ) = 0 . Если этому уравнению удовлетворяетРис. 2.26точка M 0 ( x, y , 0) , принадлежащая кривой L, то емуудовлетворяет и любая точка M ( x, y , z ) при любом z(так как координата z в уравнении в явном виде отсутствует), т.е. любая точка образующей.Таким образом, уравнение F ( x , y ) = 0 определяет всю цилиндрическую поверхность.Замечание.Аналогично изложенному можно доказать, что цилиндрическая поверхность собразующими, параллельными оси Oу, определяется уравнением F ( x, z ) = 0 , а поверхность собразующими, параллельными оси Oх, определяется уравнением F ( y , z ) = 0 .2.8.2.3.

Цилиндрические поверхности второго порядка.Каноническим уравнениям кривых второго порядка в пространстве можно поставить всоответствие следующие цилиндрические поверхности:а) Эллиптический цилиндр. В случае образующих, параллельных оси Oz (Рис. 2.27а),получим уравнение:x2a2+y2b2= 1.б) Гиперболический цилиндр. Приведем уравнение этой поверхности в случае, когдаобразующие параллельны оси Oу, а направляющей является гипербола с действительнойосью Оz (Рис. 2.27б):-x2a2+z2b2=1.в) Параболический цилиндр.

Рассмотрим случай, когда направляющей цилиндрическойповерхности является парабола в плоскости Oyz, а образующие параллельны оси Ox (Рис.2.27в). Уравнение поверхности имеет видy 2 = 2 pz .zyxzzyyxxб)в)а)Рис. 2.272.8.3. Поверхности вращения.2.8.3.1. Определение. Пусть в плоскости задана прямая l и кривая L. Поверхность,составленная окружностями, которые образуются при вращении всех точек кривой L вокругl, называется поверхностью вращения, полученной вращением кривой L вокруг прямой l.2.8.3.2.

Теорема. (Уравнение цилиндрической поверхности)Уравнение поверхности вращения кривой L, заданной в плоскости Оxz своим уравнениемF ( x, z ) = 0 , вокруг оси Oz имеет видF (± x 2 + y 2 , z ) = 0 .Доказательство:z (l)Пусть кривая L , заданная в плоскости Оxz,определяется некоторым уравнением F ( x, z ) = 0 .Рассмотрим точку M 0 ( x0 ,0, z ) , принадлежащуюM(x, y, z)кривой L (Рис. 2.28).

Радиус r окружности, покоторой движется точка M 0 , равен расстоянию отэтой точки до оси Oz, т.е. r = x 2 + y 2 = x0 .Следовательно, так как x0 удовлетворяетуравнению F(x0, z) = 0, то любая точка окружностиудовлетворяет уравнению F ( ± r, z ) = 0 , где знаквыбирается в соответствии со знаком x.Таким образом, уравнение поверхности вращенияL: F(x, z) = 0M0(x0, 0, z)ryх0-х0xРис. 2.28будет F (± x 2 + y 2 , z ) = 0 , где знак «+» берется, если поверхность порождается точками сположительной абсциссой; если поверхность порождается точками с отрицательнойабсциссой, берется знак «-».

Теорема доказана.Пример.Рассмотрим поверхность, полученную в результатевращения вокруг оси Oz кривой z = - х , определенной приx £ 0 (Рис. 2.29). В соответствии с доказанной теоремой вуравнении кривой мы должны заменить х на - x 2 + y 2 , врезультатеполучимz=- æç - x 2 + y 2 ö÷ ,èøтоестьz= 4 x 2 + y 2 . Естественно, это поверхность уже не будетповерхностью второго порядка.zyxz= -хz = 4 x2 + y2Рис. 2.29Замечание.Аналогично можно рассмотреть случаи вращения кривых, заданных в других координатныхплоскостей вокруг иных осей вращения.

Например, уравнение поверхности вращениякривой L, заданной в плоскости Оxy своим уравнением F ( x , y ) = 0 , вокруг оси Oy имеет видF ( ± x2 + z2 , y ) = 0 .2.8.4. Канонические уравнения и изображения поверхностей второго порядка.При изучении нижеследующих поверхностей второго порядка мы будем пользоватьсяприемом, который называется методом сечений.

Он заключается в том, что дляизображения поверхности мы рисуем кривые, которые получаются при пересеченииповерхности с координатными плоскостями, а также с плоскостями, параллельнымикоординатным и представляем, как расположена поверхность между этими сечениями.2.8.4.1. Эллипсоид.x2 z2+ = 1 . Будем вращать эллипс вокругa2 c2x2 y 2 z2оси Oz, получим поверхность вращения с уравнением 2 + 2 + 2 = 1 . Растягивая вдоль осиaac222xyzОу , получим 2 + 2 2 + 2 = 1 . Обозначая b = ka , окончательно получимak ac222xyz(2.33)++= 1.22abc2Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.33), называетсяэллипсоидом.zРассмотрим эллипс в плоскости Охz с уравнениемИсследуемэтуповерхностьметодом сечений.В координатной плоскости z = 0(т.е.

Оху) след этой поверхностиx2x2a2+z2c2эллипс+y2= 1;a2 b2в плоскости у = 0 получаем эллипсесть эллипс= 1 ; в плоскости х = 0 y2+z2= 1.yxРис. 2.28b2 c2При сечении плоскостями z = ± z0 (т.е. плоскостью, параллельной координатной плоскостиx2 y 2z02+=1. При z0 < c получим эллипс, с ростом абсолютной величиныa 2 b2c2z0 при z0 = ± c эллипс вырождается в точку, а при дальнейшем росте абсолютной величиныОху), получимz0 при z0 > c получим мнимый эллипс.Аналогичная ситуация будет при сечении плоскостями, параллельными координатнымплоскостям Охz и Оуz.Поверхность изображена на Рис.2.28. Отметим, что координатные оси являются осямисимметрии эллипсоида.2.8.4.2.

Конус второго порядка.Рассмотрим в плоскости Охz две пересекающие прямые (случай вырожденной гиперболы),x2 z2заданные уравнением- = 0 . Вращая кривую вокруг оси Oz,и растягиваяa 2 c2x2y2z2получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получим 2 + 2 2 - 2 = 0 . Обозначая b = ka ,ak acокончательно получимx2 y 2 z2+- =0.a 2 b2 c 2(2.34)Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.34), называется конусомвторого порядка.Изучим поверхность методом сечений.x2y= 0;ab2единственная точка, удовлетворяющаяэтому уравнению – точка О(0, 0).В плоскости z = 0 получаемВ плоскости y = 0 получаем2x2a2xzуравнение пары прямых = ± .acВ плоскости x = 0 уравнениеyz=± .bcплоскостяхz= ± z0+z2=z2c2y2b2, это=yz2xc2даст пару прямыхВполучаемz2= 0 - это уравнение эллипса сa2 b2 c2полуосями (az0/c) и (bz0/c), линейнорасширяющимися с ростом z0.В плоскостях y = ± y0 и x = ± x0 получимx2+y22220222Рис.

2.29202xzyyzx- 2 =и 2 - 2 =- ,2acbbcaс мнимой осью Oz. Поверхность изображена на Рис. 2.29.гиперболы2. 8.4.3. Однополостный гиперболоид.x2 z2- = 1 . Вращаяa 2 c2кривую вокруг оси Oz, и растягивая получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получимx2y2z2+- = 1 .

Обозначая b = ka , имеемa 2 k 2 a 2 c2x2 y 2 z2+- = 1.(2.35)a2 b2 c2Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.35), называетсяоднополостным гиперболоидом.Рассмотрим в плоскости Охz гиперболу с действительной осью ОхzИсследуемоднополостныйгиперболоидметодом сечений. Уравнение пересеченияповерхности с плоскостью z = 0 - эллипсx2a2+y2b2= 1 с полуосями a и b. В плоскостях х= 0 и у = 0 получаем гиперболыx2-y2b2-z2c2=1 иz2= 1 с мнимой осью Oz, в сеченияхa2 c2поверхности плоскостями z = ± z0 получаемyz2= 1 + 0 , вершины которыхa2 b2c2находятся как раз на гиперболах в плоскостяхх = 0 и у = 0. В плоскостях y = ± y0 получимэллипсыx2гиперболыy0 < b+y2xx2 z2y02=1.

При условииa2 c 2b2гиперболыбудутиметьдействительную ось Oх; если y0 > b , то мыРис. 2.30получим гиперболы с действительной осьюOz; если y0 = b , то в сечении получим парыпересекающихся прямых.2Аналогично рассматривается сечение2плоскостями x = ± x0 .202yzx- 2 = 1 - , то есть гиперболы с действительной осью Oz при2bcax0 > a , с мнимой осью Oz при x0 < a , и пары пересекающихся прямых при x0 = a .Получим уравнениеПоверхность изображена на Рис. 2.30.2. 8.4.4. Двуполостный гиперболоид.x2 z2- = -1 . Как и вa2 c 2случае предыдущих поверхностей, вращаем кривую вокруг оси Oz и растягиваемполучившуюся поверхность вдоль оси Оу , получимx2 y 2 z2+- = -1 ,(2.36)a 2 b2 c 2где b = ka .Рассмотрим в плоскости Охz гиперболу с действительной осью ОzПоверхность, определяемая каноническимдвуполостным гиперболоидом.уравнениемвида(2.36),называетсяРассмотримсечениядвуполостногогиперболоидакоординатнымиплоскостями, а также параллельными имплоскостями.zПри сечении плоскостями z = ± z0 получимx 2 y 2 z02+=- 1 , откуда при z0 < c (включаяa2 b2 c 2плоскость z = 0 ) получим мнимый эллипс;приz0 = cполучим две точки ссyкоординатами (0;0; c ) и (0;0; -c) ; при z0 > cполучим уравнение эллипса.

В плоскостяхx = 0 и x = ± x0 получаем гиперболы с22yzx- 2 =- - 1 .2bcaАналогично при сечении плоскостями y = 0и параллельных им плоскостях y = ± y0получаем гиперболы с действительнойx2 z2y02осью Оz- =- 2 - 1 . Иллюстрацияa 2 c2bдвуполостного гиперболоида приведена наРис. 2.31.действительной осью Оzx-с202Рис. 2.312.8.4.5.

Эллиптический параболоид.Рассмотрим в плоскости Охz параболу с уравнениемрастягивая получившуюся поверхность вдольоси Оу , получимx2 y 2+= 2 pz ,(2.37)a 2 b2где b = ka .x2= 2 pz . Вращая ее вокруг оси Oz иa2zПоверхность,имеющаяканоническоеуравнениевида(2.37),называетсяэллиптическим параболоидом.Сечения плоскостями x = x0 и y = y0 даютy2x02x2y02параболы= 2 pz - 2 и= 2 pz - 2 . Вb2aa2bсечении z = z0 ( z0 > 0) получим эллипсx2y2приz0= 0эллипс= 2 pz 0 ,a2 b2вырождается в точку, а при z0 < 0 имеем+yРис. 2.32xмнимый эллипс.