Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин, страница 14

Рассматривая всевозможные функции вида (7) и задаваясь различными значениями параметра  , можно получить произвольное смещениеконтура вдоль трубки прямых путей системы.Теорема 6.1. Для гамильтоновых систем интегралы Пуанкаре(4) и Пуанкаре–Картана (5) сохраняют свои значения при произвольном смещении контура вдоль любой трубки прямых путейсистемы. Такое свойство контурных интегралов называется инвариантностью.Заметим, что применительно к интегралу Пуанкаре, которыйопределен только на изохронных контурах, под произвольнымсмещением контура подразумевается переход от изохронного контура C0* к любому другому изохронному контуру C * , согласованному с C0* . Кроме того, интеграл Пуанкаре является, очевидно, частным случаем интеграла Пуанкаре–Картана (на изохронных контурах интегралы (4) и (5) тождественно совпадают). Поэтому длядоказательства теоремы 6.1 достаточно установить инвариантностьинтеграла (5).Доказательство теоремы.

С помощью соотношений (2) интеграл (5) по контуру C выражается через интеграл по контуру C0 ввидеI ΠK   (pT  q  H  t )   (gT (q 0 , p 0 , t0 , t ) f (q 0 , p 0 , t0 , t )  H  t ). (8)CC0101Здесь функция Гамильтона H (q, p, t ) также выражена черезq 0 , p 0 , t0 , t с помощью соотношений (2), символ  обозначаетдифференциал функций по параметру  , а t – произвольнаяфункция вида (7).Вычислим производную от интеграла (8) по параметру  при  0 (ее обозначим штрихом). Учитывая перестановочность операций дифференцирования по  и  , уравнения Гамильтона (3), атакже формулыg T f    (g T f )  g T f  , Ht    ( Ht )  t H ,   0 ,(9)C0gf   t  f  t q , g  t   t p , H   t  H ,ttt(10)H  HT q  HT p  H t ,qptполучимI  0  (gT f  gT f   H t  Ht ) C0  (gT f  gT f   H t  t H ) C0  t (p T f  q T g  H t  H ) tC0HH t( qT q  pT p C0(11)H t  H )  0.tЗдесь учтено, что при   0 f  q , g  p .

Полученное выраже оказалось тождественно равным нулюние для производной I ΠKдля любой функции t   t  и для любого контура C0 . Это означает, что интеграл Пуанкаре–Картана сохраняет свое значение прилюбом смещении контура вдоль трубки прямых путей гамильтоновой системы. Теорема доказана.102В интегралах Пуанкаре и Пуанкаре–Картана интегрирование ведется по одномерному множеству (контуру) в фазовом или расширенном фазовом пространстве.

Поэтому они называются относительными интегральными инвариантами первого порядка. Приэтом интеграл Пуанкаре называется универсальным инвариантомвследствие того, что его выражение не зависит от H.Для интегралов Пуанкаре и Пуанкаре–Картана имеют место иобратные теоремы.Теорема 6.2. Если для системы дифференциальных уравненийq  Q(q, p, t ) ,p  P (q, p, t )(12)инвариантен интеграл вида Пуанкаре–Картана:I   (pT q  Ft ) ,Cто эта система гамильтонова, а ее гамильтониан определяетсявыражением H  F (q, p, t ) .Доказательство.

Как и при доказательстве «прямой» теоремы,рассмотрим произвольный контур C0 , параметризованный формулами (1), и согласованный с ним контур C, параметризованныйформулами (7). Тогда интеграл (12) по контуру C выразится черезинтеграл по контуру C0 соотношением вида (8), где вместо H будет стоять функция F, а для производной I  получим аналогичное(11) выражение:I   0   t (p T f  q T g  F t  F ) tC0  t (P q  Q p  F t  F ).tC0T(13)TПо условию теоремы эта производная равна нулю для любойфункции t   t  и для любого контура C0 , что возможно тольков случае, если103P T q  QT p  F t  F  0 .tПоскольку это соотношение должно выполняться в любой точкелюбого контура C0 , а значит, в любой точке расширенного фазового пространства, то из него в силу уравнений (12) и формулы дляполного дифференциалаF  FT q  FT p  F ttpqвытекают равенстваq  Q  F , p  P   F .qpИз них следует гамильтоновость системы (12) и формула H  F.Теорема доказана.Теорема 6.3.

Если для системы дифференциальных уравнений(12) инвариантен интеграл Пуанкаре, то эта система гамильтонова.Доказательство. Так как интеграл Пуанкаре определен толькона изохронных контурах, то условие теоремы сводится к равенству0  IΠt t0  (g T f  g T f )   (g T f  f T g)   (P T q  QT p) ,C0*C0*C0*которое выполняется для любого изохронного контура C0* . Отсюдаследует, что выражение P T q  QT p должно быть изохроннымдифференциалом некоторой функции H (q , p , t ) , т.е.P T q  QT p  HT q  HT p .pqИз этого соотношения вытекают равенстваQ   H , P  H ,qp104свидетельствующие о том, что система (12) является гамильтоновой. Теорема доказана.Из прямой и обратной теорем для интеграла Пуанкаре следует,что инвариантность этого интеграла является критерием гамильтоновости системы.

В связи с этим возникает вопрос: существуют ли другие контурные интегралы, обладающие таким жесвойством (речь идет об интегралах, определенных на изохронныхконтурах C * )? Нижеследующая теорема утверждает, что с точностью до мультипликативной постоянной интеграл Пуанкаре является единственным интегралом такого рода.Ниже будем использовать такую форму записи каноническихуравнений Гамильтона:x  J H ;x 0 En q .x    , J  pE0  n(14)Здесь x – вектор-столбец фазовых переменных, H ( x, t ) – гамильтониан, En – единичная матрица размера n  n , J – симплектическая единица порядка 2n , обладающая свойствамиJ 1  JT  J ,J J T  E2 n , det J  1 .(15)Произвольный контурный интеграл в 2n -мерном пространствефазовых переменных записывается в видеI   xT f (x, t )   f T (x, t )x ,C*(16)C*где C * – изохронный контур, f (x, t ) – произвольная 2n -мернаяфункции фазовых переменных x и времени t .В свою очередь с учетом равенстваxT Jx  pT q  qT p  2pT q   (pT q)(17)интеграл Пуанкаре определяется выражениемI    pT q  1  xT Jx .2 C*C*105(18)Теорема Ли Хуа-чжуна.

Интеграл (16) является универсальным интегральным инвариантом гамильтоновых систем в том итолько в том случае, когда он отличается от интеграла Пуанкарена мультипликативную постоянную c  0 , т.е.I    xT f (x, t )  c I  C*c xT Jx  C * .2 C*(19)Доказательство. Достаточность условия теоремы очевидна: если интеграл (16) выражается через интеграл Пуанкаре соотношением (19), то его инвариантность следует из инвариантности интеграла Пуанкаре.Докажем необходимость. Пусть интеграл (16) является универсальным инвариантом, т.е. сохраняет свои значения вдоль любойтрубки прямых путей любой гамильтоновой системы. Тогда, выразив с помощью соотношений x  ψ (x 0 , t0 , t ) , формально описывающих закон движения системы (14), интеграл по контуру C * через интеграл по согласованному с ним контуру C0* , получимdI T f  ψ T f )   (ψdt C*00 Tf)  ψ T  f  ψ T f )   (ψ T f   f T ψ ).  ( (ψC0*C0*Отсюда при учете формул f  fT x , f  fT x  f , ψ  x ,  ψ t t  xxxt0и уравнений Гамильтона (14) следуетI t t 0f T ) J H  f   0 .T  f(x  TC0* xxxt (20)Полученный интеграл равен нулю по любому замкнутому изохронному контуру.

Поэтому выражение под знаком интеграла естьполный изохронный дифференциал некоторой функции Φ (x, t ) , т.е.106Tff( T ) J H  f  Φ .xxx t x(21)По условиям теоремы функция Φ (x, t ) , удовлетворяющая уравнению (21), должна существовать при любых функциях H (x, t ) .Необходимые и достаточные условия существования такой функции определены теоремой 5.1, доказанной в §5, и выражаются следующим тождеством:f  f T  c J ,xT x(22)где c – постоянная.

Это равенство, записанное в эквивалентномвиде (f  cJx 2) xT   (f  cJx 2)T x ,означает, что дифференциальная форма xT (f  cJx 2) представляет собой изохронный дифференциал F некоторой функцииF (x, t ) . На основании этого получаем равенство0   F C* xT (f  cJxC*2)   xT f  c  xT Jx ,2 C*C*которое в точности совпадает с равенством (19). Неравенство c  0обусловлено тем, что в противном случае интеграл (16) есть тождественный нуль, а такие «инварианты» не представляют интереса.Теорема доказана.Теорема Лиувилля о сохранении фазового объемаФазовым объемом называется интеграл 2n -го порядка, представляющий собой объем 2n -мерной области G в фазовом пространстве, определяемый выражениемI    q1 ... qn p1 ... pn    x1 x2 ... x2 n .GGЕсли в момент времени t0 выбрать в фазовом пространстве некоторую область G0 , то для системы с заданным гамильтонианом107H (x, t ) каждая точка x0 этой области будет порождать траекториюпрямого пути x  ψ ( x 0 , t ) , а все точки области – (2n  1)-мерныйпучок прямых путей.

В сечении этого пучка гиперплоскостьюt  const  t 0 получается область Gt , согласованная с областью G0 .Теорема Лиувилля утверждает, что на решениях гамильтоновых систем фазовый объем сохраняется, т.е. объемы любых двухсогласованных областей равны:  x  x ... x122nG   x1 x2 ... x2 n .GДля доказательства теоремы выразим объем по области Gt через объем по согласованной с ним области G0 известной формулой  x  x ... x1G22n  M  x1 x2 ... x2 n ; M  det(M ) .GЗдесь M  x xT0 – матрица Якоби преобразования x  ψ (x 0 , t )начальных значений x0 фазовых переменных в текущие значения x . Ранее было установлено (теорема 5.4), что это преобразование каноническое и унивалентное.