Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин, страница 10

когда лагранжиан L в новыхпеременных, вычисленный по формуле (16), имеет точно такую жеструктуру, что и старый лагранжиан L .69Рассматривается однопараметрическое семейство преобразований координат и времени:~  ψ (q, t , ) ,    (q, t , ) .q(19)~ и  – новые координаты и новое время, а  – параметр.Здесь qПредполагается, что преобразование (19) имеет обратное~, , ) , t  t (q~, , ) ,q  q (q(20)а при   0 оно тождественно, т.е.~q ψ (q, t ,0)  q , 0 0  (q, t ,0)  t .(21)Теорема Эмми Нетер. Если лагранжиан системы L(q , q, t ) инвариантен относительно преобразования (19), удовлетворяющегоусловиям (20), (21), то эта система имеет первый интегралf (q, p, t )  pTψ H (q, p, t )  0.(22) 0Под инвариантностью лагранжиана относительно преобразова~ ~~, ) ,d , qния (19) подразумевается, что новый лагранжиан L (dqвычисленный с помощью обратного преобразования (20) по формуле (16):~ ~~, )  L(q , q, t ) dt ,L ( dqd , qd(23)имеет точно такую же структуру, что и старый лагранжиан L , т.е.~L не зависит от  и~ ~~, )  L(dq~ d , q~, ) .L ( dqd , q(24)Иными словами, при наличии инвариантности новый лагранжи~ан L получается формальной заменой в функции L старых ла~, q~, .гранжевых переменных q , q, t на новые переменные qДоказательство.

Из условий (21) теоремы следует70dψψ q ,dt  0 t  0d 1.dt  0 t  0(25)Отсюда, используя тождествоdψ d dψ,d dtdt(26)dψ q .d   0(27)получаемВведем обозначения:ηψ,  0 0.(28)Учитывая перестановочность операций дифференцирования по и t , имеем   dψ    dη ,   dt   0 dt   d    d .   dt   0 dt(29)Кроме того, дифференцируя тождество (26) по параметру  , получим   dψ  d dη.   qdt dt   d   0(30)Условие теоремы об инвариантности лагранжиана по отношению к преобразованию (19) можно записать в видеL(dψd, ψ , ) L(q , q, t ) .ddt(31)Поскольку правая часть этого равенства не зависит от  , то не зависит от  и левая часть.

Поэтому, дифференцируя левую часть попараметру  и полагая   0 , получим при учете второго из соотношений (25) следующее равенство:71L   ( dψ )  L  ψ  L   L  ( d )  0 .q  dq  t  dtПосле подстановки выражений (27)–(30) будем иметьL  dη  L  η  L   ( L  L  q ) d  0 .q dt qtqdt(32)С учетом уравнений Лагранжа (1) это равенство преобразуется квидуd  L  η   d  ( L  L  q )   0 .dt  q  dt q(33)Отсюда, учитывая определение обобщенных импульсов и функцииГамильтонаp  L , H  p  q  L ,qполучаем, что функция (22) является первым интегралом системы.Теорема доказана.Замечание. Для проверки инвариантности лагранжина достаточно убедиться, что полученное с помощью формулы (23) выражение не зависит от  .

Действительно, в силу соотношений (25),(27) и условий (21) при   0 новый лагранжиан (23) будет тождественно совпадать со старым. Поэтому при отсутствии зависимости~L от  инвариантность будет иметь место при любых значениях  .72§ 5. Канонические преобразования5.1. Локальный критерий каноничностиДля гамильтоновой системы с n степенями свободы уравнениядвижения, записанные в векторно-матричной форме, имеют видq  H , p   H  x  J H ;xqp(1) 0 En q .x    , J  E0p n(2)Здесь x – 2n -мерный вектор-столбец фазовых переменных q, p ,H (x, t ) – гамильтониан, En – единичная матрица порядка n , J –матрица порядка 2n , называемая симплектической единицей, обладающая свойствами:J 1  J T   J ,J J T  E2 n , det J  1 .(3)Уравнения Лагранжа, как известно, ковариантны относительнопреобразований обобщенных координат, причем «новая» функцияЛагранжа определяется как «старая» функция Лагранжа, выраженная через новые переменные.Уравнения Гамильтона (1) свойством ковариантности относительно произвольных преобразований фазовых переменных не обладают, т.е.

гамильтонова система в результате преобразованияпеременных может оказаться не гамильтоновой.Определение. Каноническими называются невырожденныепреобразования фазовых переменных~qy  y ( x, t ) ; y   ~  ,(4)p переводящие любую гамильтонову систему в гамильтонову систему. Это означает, что  H (x, t )  H (y , t ) , такая, что канониче-73ские уравнения (1) и в новых переменных y будут иметь каноническую форму~H.(5)y  JyИными словами, каноническими называются все преобразования, относительно которых ковариантны канонические уравненияГамильтона.Канонические преобразования используются для упрощенияуравнений движения гамильтоновых систем, в частности, в задачахинтегрирования.При использовании канонических преобразований задача определения конкретного вида уравнений движения в новых переменных сводится к нахождению одной функции – функции Гамильтонав новых переменных. Для произвольных (не канонических) преобразований такого простого алгоритма определения уравнений движения в новых переменных нет.Отметим, что из приведенного определения непосредственно неследует, по каким формулам вычисляется «новый» гамильтониан~H .

Ответ на этот вопрос будет дан после того, как будут полученыусловия каноничности преобразования.Для вывода условий каноничности преобразования будет использоваться вспомогательная теорема. В этой теореме f (x, t ) –2n -мерная векторная функция фазовых переменных x и времени t , а F – кососимметрическая матрица:f j f kTff; Fj k .F T xxxk x j(6)Теорема 5.1. Для того чтобы при любой скалярной функцииH (x, t ) существовала скалярная функция Φ (x, t ) , удовлетворяющая уравнениюF J H  f  Φ ,x t x(7)необходимо и достаточно, чтобы выполнялось матричное тождество74F  cJ ,(8)где c – постоянная.Доказательство достаточности. При выполнении тождества(8) уравнение (7) принимает видΦ, c H  f x txа по теореме 1.1 условие существования функции Φ (условие интегрируемости) при учете перестановочности операций  x и t сводится к матричному равенствуf T  F 2 H    f 2H 0, c T TTxxxxxxttкоторое при условии (8) выполняется для любых функций H.Докажем необходимость условия (8), рассматривая различныеварианты функций H .

Сначала возьмем линейные по переменнойx функции H  xT J 1b , где b – произвольный постоянный вектор.В этом случае будем иметь H x  J 1b , а уравнения (7) примутвид2nfΦFb   j   F j s bs  f j t  Φ x j ; j  1, ... , 2n .t xs 1Записывая условия интегрируемости для этой системы, получим j k 2 n  F j s Fk s  b   F  0.x j  s t j kxk x j s 1  xk(9)В свою очередь из формул (6), определяющих матрицу F , имеемFj sxk f j f s    f k f s    f j f k .  x j xk  xs x j  x j  xs xk  xs  xk x j Fk sС учетом этих формул уравнения (9) переписываются в виде752ns 1F j kbs   F j k  0 ; k , j  1, ..., m .xstВвиду произвольности выбора коэффициентов bs отсюда следуетF j k t  0, F j k xs  0 ; k , j  1, ..., m ,(10)т.е.

F – постоянная матрица.В силу постоянства матрицы F условие интегрируемости дляуравнений (7) сводится к матричному равенствуC H  H CT  0  CH  (CH )T ,(11)где H – симметрическая матрица вторых производных функцииH , C  FJ – постоянная матрица.Равенство (11) должно выполняться для любых функций H .Записывая его поэлементно(C H ) j k  ( CH ) k j 2nC jsHsk s 12n Ck s H s j(12)s 1и рассматривая функции H  xk2 , получимC jk  0 ;jk.(13)С учетом этих равенств соотношения (12) переписываются в видеC j j H j k  Ck k H k j .(14)Отсюда ввиду симметричности матрицы H ( H j k  H k j ) следуетC j j  Ck k , что в сочетании с (13) дает C  FJ  c E , где E – единичная матрица, c – постоянная.

В результате получаем тождество(8): F  cJ . Теорема доказана.Определим условия каноничности преобразования. Обозначимчерез M матрицу Якоби преобразования (4):~~~y  q xT   q q T q pT    ~M  T   ~~ pT  ; det M  0. (15)T Txpxpqp 76Пусть это преобразование переводит любую гамильтонову системув гамильтонову систему. Из уравнений (5) и (1) имеем~yyHHy  Mx .J MJyx ttУмножив обе части этого равенства слева на матрицу MT J , и учитывая формулы связи между производными~~~H  yT H  MT H ,(16)yx yxполучим уравнение~HHT y.M JMJM JxtxT(17)Покажем, что уравнение (17) можно записать в виде (7), если вкачестве f (x, t ) взять вектор-функцию~~Tn qq~fp s ~ps .xs 1 x(18)Для этой функции матрица F (6) выражается в виде~ ~n  qps ~ps q~s 2 q~s 2 q~s ~ s( T ) ps  .F   TTTx xxxxxxxs 1 Отсюда ввиду симметричности матрицы вторых производных отлюбой скалярной функции имеем~ T p~ p~ T q~q.(19)Fx xTx xTС другой стороны, используя правила умножения блочных матриц,получим для произведения M T JM точно такое же выражение:~T~~~~~~ q T p T  p x  q T p p T qTM JM  ~ xT   x xT  x xT .x   q xТаким образом, имеет место тождество77TffF T  M T JM .xx(20)В свою очередь для второго слагаемого в уравнении (17) получаем выражение~~~~ ~~ ~ q T p T  p t  q T p p T qT y,M J ~ tqx tt  xx  x tпри учете которого для производной f t имеем~ ~~~T ~2 ~Tf  q T p   2 q T p~  M T J y  p q   q p~.tx t txtx t txОтсюда ввиду перестановочности операций  x и  t следуеттождество~f~T yT q (21) pM J.t t x t С учетом тождеств (20), (21) уравнение (17) принимает вид~ ~fHΦ~T qH .FJ; Φp(22)tx t xПо определению канонических преобразований для любойфункции H должна существовать функция Φ , удовлетворяющаяуравнению (22).