Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин, страница 12

Матрица Якоби этого преобразования определяется выражениемMABCD,а критерий каноничности (23) записывается в виде( A T C  CT A )( A T D  CT B )( B T C  DT A )( B T D  DT B )c0En En 0.Отсюда получаем условия каноничности преобразования (42):AT C  CT A  0, BT D  DT B  0, AT D  CT B  cEn ; c  0.(43)Производящая функция преобразования (42) определяется изуравнений (37), которые для рассматриваемого примера принимают видA T Cq  ( A T D  cE n )p  FF, BT Cq  BT D p  .qpОтсюда, учитывая последнее из равенств (43), находим F  qT A T Cq 2  p T BT Dp 2  q T CT Bp .~ q , p~   p является канониПреобразование растяжения qческим с валентностью c    и производящей функцией F  0 .При таком преобразовании функция Гамильтона в новых перемен-85ных выражается через функцию H  H (q, p, t ) формулой~~ , p~  , t) .H   H (qЗамечание.

Произвольное каноническое преобразование можнопредставить в виде комбинации унивалентного преобразования ипреобразования растяжения. Ввиду того, что преобразование растяжения принципиально не изменяет структуру функции Гамильтона, для целей упрощения уравнений движения используютсяунивалентные канонические преобразования.Важный пример канонического преобразования дает нижеследующая теорема.Теорема 5.4.

Фазовый поток любой гамильтоновой системыx  ψ (x 0 , t ) представляет собой унивалентное каноническое преобразование начальных значений фазовых переменных x 0 в текущие значения x .Доказательство. Положим x0  x( t0 ) . В момент времени t0преобразованиетождественноеиматрицаЯкобиM 0  x xT0  E 2 n удовлетворяет критерию (22) при c  1 . Поэтому для доказательства теоремы достаточно установить, что матрица F  MT J M не меняется с течением времени.Вычислим производную F в силу канонических уравнений Гамильтона. Предварительно заметим, что в рассматриваемом случаеполные производные по времени от x и M определяются черезчастные производные следующими выражениями:x ψ,t   ( ψ ) .Mt xT0Поэтому, используя перестановочность операций вычисления частных производных по x 0 и t , получим соотношение   ( ψ )   ( ψ )  x ,Mt xT0xT0xT0 tс учетом которого матрица F запишется в виде86TTTF  x J x  x J x    H JT J x  x J   J H  .x0 xT0 x0 xT0 x0  xT  xT0 x0 xT0  x На основании формул для производных от сложных функций имеем  Hx 0  xT  xT  2 H , x 0 xxTxT0 H x   2 H x . xT x xT0С учетом этих равенств получим22TF  x   HT   TH  xT  0 .x0  xxx x  x0Теорема доказана.Отметим, что термин производящая функция не совсем точнохарактеризует функцию F (q, p, t ), фигурирующую в критерии (29),так как заданием этой функции и валентности c  0 преобразование однозначно не определяется.

К примеру, разные преобразования растяженияq~  q  , ~p  p  ; k  1,..., nkkkkkkхарактеризуются одной и той же функцией F  0 и валентностьюc  1 . Отмеченное обстоятельство не позволяет использовать критерий в форме (29) для построения канонических преобразований.Критерий, позволяющий конструктивно строить каноническиепреобразования, удается получить при использовании свободныхканонических преобразований.Свободные канонические преобразования. Преобразование~p~ (q, p, t )~q~ (q, p, t ) , pq(44)называется свободным, если в нем в качестве независимых пере~ , т.е.

формулы преобраменных можно выбрать переменные q , qзования можно переписать в виде~, t ) , p~p~ (q, q~, t ) .p  p (q, q(45)Преобразование (44) будет свободным, если87~ pT   0 .det q(46)~ , t ) из первойВ этом и только в этом случае можно выразить p(q , qгруппы уравнений (44), а затем из второй группы уравнений (44)~ (q, q~, t ) .найти pОтметим, что тождественное преобразование не является свободным.Для свободных преобразований основное тождество (39) записывается следующим образом:p T (q, q , t ) dq  c pT (q, q , t ) dq  ( H  c H ) dt   dS (q, q , t ),(47)~ , t ) есть функция F, выраженная через переменныегде S (q, qq , q , t , называемая производящей функцией свободного преобразования.Приравнивая в обеих частях равенства (47) коэффициенты при~ , dq , получаем такую формулировкунезависимых вариациях dqкритерия каноничности для свободных преобразований (критерийв q , q -описании):Теорема 5.5.

Для каноничности свободного преобразования необходимо и достаточно существование производящей функции~ , t ) и постоянной c  0 , таких, чтоS (q, q~    S , cp  S .p~qq(48)В свою очередь приравнивая в обеих частях равенства (47) коэффициенты при dt , получаем формулу преобразования гамильтониана:~H  c H  S t .(49)Для свободных преобразований проверка условий каноничностисводится к проверке тождеств~ p~T~pppp pT0,0,c~T~~T  0 ; c  0. (50)qqqqTqTq88Термин производящая функция адекватно характеризует функ~ , t ) .

Если заданы S (q, q~ , t ) и c  0 , то уравнениями (48)цию S (q, qоднозначно определяются формулы преобразования в виде (45).Для того чтобы эти формулы приводились к виду (44), должно выполняться условие 2 S det ~T   0 .qq(51)Это условие гарантирует возможность выразить из второй группы~ через q , p , t , а затем из первойуравнений (48) переменные q~ от q , p , t.группы уравнений (48) найти зависимость pПри условии (51) однозначно определяются и формулы обрат~, p~, t ) находится изного преобразования. При этом зависимость q (qпервой группы уравнений (48), а затем из второй группы определя~, p~, t ) .ется p (qТаким образом, все множество свободных канонических преобразований можно получить на основе формул (48), рассматривая~ , t ) , удовлетворяющие условию (51),всевозможные функции S (q, qи постоянные c  0 .5.3.

Уравнение Гамильтона–ЯкобиВ этом разделе излагается метод Якоби интегрирования канонических уравнений Гамильтона. Идея метода основывается на изложенных выше свойствах свободных канонических преобразований.Пусть задана гамильтонова система с гамильтонианомH (q, p , t ) . Ставится задача: найти такое свободное унивалентноеканоническое преобразование, в результате которого получится~система с «новым» гамильтонианом H  0 . Тогда в новых пере~  0 ,менных уравнения Гамильтона будут иметь простейший вид q~  0 с очевидным общим решением:p~ α, p~β,q89(52)где α и β – n-мерные векторы произвольных постоянных, а закондвижения системы в исходных переменных q, p будет определенпо формулам обратного преобразования.Задача поиска указанного выше преобразования сводится к нахождению его производящей функции, которая вследствие (52)превращается в функцию S  S (q, α , t ) и для которой условие (51)принимает вид 2 S det   0.T q α (53)В свою очередь уравнение, из которого находится функция S ,~получается из формулы (49), если положить H  0 , c  1 , а обобщенные импульсы в гамильтониане H (q, p , t ) заменить частнымипроизводными функции S согласно формулам (48): p   S q .

Витоге получается следующее уравнение в частных производных,называемое уравнением Гамильтона–Якоби:H (q, S , t )  S  0 .qt(54)Определение. Полным интегралом уравнения Гамильтона–Якоби (54) называется его решение S  S (q, α , t ) , удовлетворяющееусловию (53) и зависящее от n произвольных постоянных α .Теорема Якоби. По полному интегралу S  S (q, α , t ) уравненияГамильтона–Якоби (54) общее решение гамильтоновой системынаходится из системы уравненийβS f (q, α, t ) ,αpS g (q, α, t ) ,q(55)где β – n -мерный вектор произвольных постоянных.Действительно, уравнения (55) следуют из соотношений (48),(52) и задают в неявной форме закон движения системы в переменных q, p . Но по теореме о неявных функциях при выполнении условия90 2 S det  fT   det  T   0 , q  q α которое, очевидно, совпадает с условием (53), из первой группыуравнений (55) находится в явном виде решение q  q(α, β, t ) , а после его подстановки во вторую группу уравнений (55) находитсярешение p  p(α, β, t ) .Таким образом, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби, то процедура нахождения общего решения гамильтоновой системы сводится к вычислению производных S q и  S α в уравнениях (55) и обращению функций.Уравнения (55) при выполнении условия (53) можно трактоватькак 2n независимых первых интегралов гамильтоновой системы,наличие которых и позволяет найти общее решение в явном виде.Постоянные α, β в общем решении однозначно определяютсячерез начальные условия q 0  q(t0 ) , p 0  p(t0 ) , поскольку в силу(53) из второй группы уравнений (55) можно найти в явном видеα  α (q, p , t ) , а после подстановки в первую группу уравнений (55)определяется β  β(q, p , t ) .По известному полному интегралу S (q, α , t ) однозначно определяется и гамильтониан системы.

Он находится из уравнения (54) поформулеH   S   (q, α , t ) ,t(56)в которую нужно подставить найденные из второй группы уравнений (55) функции α  α (q, p , t ) , чтобы получить функциюH  H (q, p , t ) .Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона–Якобисодержит всю информацию о гамильтоновой системе.В изложенном выше методе Якоби задача интегрирования канонических уравнений Гамильтона, представляющих собой обыкновенные дифференциальные уравнения, сводится к поиску полногоинтеграла уравнения в частных производных (54).Для гамильтоновых систем произвольного вида общих методовпостроения точных решений, равно как и методов нахождения91полного интеграла уравнения Гамильтона–Якоби, нет. Здесь мырассмотрим так называемый метод разделения переменных, с помощью которого удается найти полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби в отдельных случаях, характеризующихся специальной структурой функции Гамильтона.Суть метода разделения переменных состоит в том, что полныйинтеграл уравнения Гамильтона–Якоби ищется в видеnS (q, α , t )  S0 (α , t )   S k (qk , α ) ,(57)k 1т.е.