Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)Н. И. АмелькинЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВАМЕХАНИКАДопущеноУчебно-методическим объединениемвысших учебных заведений Российской Федерациипо образованию в области прикладных математики и физикив качестве учебного пособия для студентов вузовпо направлению «Прикладные математика и физика»МОСКВАМФТИ2014УДК 531.36(073)ББК 22 213 я73А61Издание осуществлено при поддержке Правительства Российской Федерациив рамках выполнения базовой части государственного задания в сфере научнойдеятельности за № 2014/120 НИР № 2583.РецензентыАкадемик РАН В.

Ф. ЖуравлевДоктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механикиМосковского государственного университета им. М. В. Ломоносова А. В. КарапетянАмелькин, Н. И.А61Лагранжева и гамильтонова механика: учеб. пособие /Н. И. Амелькин. – М. : МФТИ, 2014. – 112 с.ISBN 978-5-7417-0533-9Даются основные сведения из курса аналитической механикипо уравнениям Лагранжа и Гамильтона.Предназначено для студентов, аспирантов и преподавателейуниверситетов, физико-технических и инженерно-техническихвузов.УДК 531.36(073)ББК 22 213 я73ISBN 978-5-7417-0533-9© Амелькин Н.Е., 2014© Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждениевысшего профессионального образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2014ПредисловиеВ предлагаемом учебном пособии приводятся основные сведения из курса аналитической механики по уравнениям Лагранжа иГамильтона.

Перечень рассматриваемых здесь вопросов и объемизлагаемого материала соответствуют программе курса теоретической механики МФТИ.В целях компактного изложения материала используется матричный математический аппарат. Для удобства читателя необходимые сведения из матричного анализа приведены в первом (вспомогательном) параграфе книги.Основные методические отличия данного пособия от другихучебников состоят в следующем.В разделе «Уравнения Гамильтона» большое внимание уделеновопросу о понижении порядка гамильтоновой системы при наличии первых интегралов.

Помимо циклических первых интеграловприводятся примеры других первых интегралов, позволяющих понизить порядок системы на две единицы.Теорема Лиувилля об интегрируемых системах доказана в двухвариантах: сначала с позиций канонических уравнений Гамильтона, а затем с позиций уравнения Гамильтона–Якоби.Существенно отличается от традиционного изложение раздела«Канонические преобразования». Здесь критерий каноничностипреобразований выводится непосредственно из определения.

Приэтом сначала доказывается локальный критерий каноничности,а затем критерий каноничности в терминах производящих функций. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–Картана гамильтоновых систем рассматриваются отдельно и для вывода критерия каноничности не используются.3§ 1. Элементы матричного анализаЭтот параграф носит вспомогательный характер. Здесь приводятся матричные формы записи правил дифференцирования векторных функций по векторному аргументу, а также теорема обусловиях интегрируемости, часто используемая в различных разделах аналитической механики.Векторы в n-мерном пространстве задаются своими компонентами в некотором базисе этого пространства и записываются либов виде вектора-столбца, либо в виде вектора-строки следующимобразом: f1  f  , f n f T   f1 f 2  f n  .Здесь символ «Т» означает знак транспонирования.Всюду далее, рассматривая различные векторные функции векторных аргументов, будем предполагать, что эти функции достаточно гладкие, так что все вычисляемые производные существуюти непрерывны.Пусть f (x) – n -мерная вектор-функция m-мерного вектора x .Для таких функций определяются две операции дифференцирования:1º.

Производная от вектора-столбца f по вектору-строке xT ,представляющая собой матрицу частных производных размераn  m (матрицу Якоби преобразования вектора x в вектор f ):f1  f1 f1 x xxm 12f   f f  f        .xT  x1 x2xm  fff nnn  x xxm  124(1)2º. Производная от вектора-строки f T по вектору-столбцу x –матрица частных производных размера m  n , транспонированная кматрице (1): f T   f1 f 2  f n  x   x xx1 111Tf T             f  .x  T    xT  f   f1 f 2  f n  xm   xm xmxm (2)Для скалярных функций производная (1) будет векторомстрокой, а производная (2) – вектором-столбцом.Первый дифференциал функции f (x) можно записать либо ввиде вектора-столбца, либо в виде вектора-строки следующим образом:mdf   f dxk  fT dx ,xk 1 xkTdf T  dxT f .x(3)На основании этих формул можно найти выражение для производной от любой функции векторного аргумента, вычислив дифференциал функции.

Из этих формул, в частности, следуетxT  x  E ,x xTгде E – единичная матрица.Производные от сложных функций. Пусть задана векторфункция f ( y (x)) и требуется вычислить производную f  xT . Записывая с помощью формул (3) первый дифференциал функцииf (y (x)) , получимydf  fT dy  fT T dx  fT dx .yy xxОтсюда находим5f T  y T f T .xx yf  f y ,xT y T xT(4)Вторая из формул (4) получается транспонированием первой.Производные обратных функций. Пусть y  y (x) и x  x(y ) –прямая и обратная функции, где x и y – векторы одинаковой размерности.

На основании (3) имеемydx  xT dy  xT T dx .yy xОтсюда следует11x  y xT  y T , .y  x y T  xT (5)В случае, когда связь между переменными x и y задана векторным уравнением неявного вида f (x , y )  0 , матрица производных y xT находится из уравнения, получаемого дифференцированием тождества f (x , y (x))  0 по переменной x , и определяетсяформулой1f  f y  0  y   f  f . TxT y T xTxT y  xTПопутно заметим, что по теореме о неявных функциях уравнение f ( x , y )  0 разрешимо относительно y , еслиdet(f y T )  0 .Производные от линейных форм.

Пусть y (x)  Af (x) , где A –постоянная матрица (не зависит от x ), число столбцов которойсовпадает с размерностью вектора f . В этом случае имеемyf ,dy  A fT dx AxxTxTy T f T TA .xxДля линейных функций y  Ax формулы (6) принимают вид6(6) ( Ax) ( Ax)T A, AT .TxxПроизводные от билинейных форм. Пусть z (x)  g T A f , где A –постоянная матрица, у которой число столбцов совпадает с размерностью вектора f (x) , а число строк – с размерностью вектора g(x) .Используя формулы (3) и учитывая, что z (x) – скалярная функция,получим для ее первого дифференциала следующее выражение:dz  dg T A f  g T A df  dxT (Tg TA f  f A T g ) .xxОтсюда следует искомая формула для производной билинейнойформы:T (gT A f ) gTA f  f AT g .xxx(7)Для квадратичных форм получим (f T A f ) f T( A  AT )f ,xx (xT A x) ( A  AT ) x ,x(8)а в случае, когда A – симметрическая матрица, будем иметьT (f T A f )f2Af ,xx ( xT A x) 2A x .x(9)Для скалярных функций F (x) векторного аргумента определяются матрицы вторых производных следующим образом: 2 F    F  ,xT x xT  x  2 F    F  .x xT x  xT (10)Для матрицы вторых производных от квадратичной формыxT Ax получаем при учете формул (8) и (6) следующее выражение: 2 xT Ax    ( A  A T ) x   A  A T .xT xxT7Отметим известное из анализа свойство симметричности матрицы вторых производных функции F (x) , которое записывается ввиде2F  2Fx xT xT x2F  2Fx j xk xk x j(11)и означает перестановочность операций дифференцирования скалярной функции по разным скалярным переменным.Отметим также, что для векторных функций f (x, t ) , где t – скалярный аргумент, перестановочны операции  x и  t , т.е. ( f )   ( f ) .t xTxT t(12)Это равенство вытекает из свойства (11), поскольку ( f k )   ( f k ) .t x jx j tПри вычислении производных по векторному аргументу x отвекторной функции y (x)  A( x)f (x) или скалярной функцииz (x)  gT A( x) f , где матрица A зависит от переменной x , возникает проблема определить понятие производной A x от матрицыпо вектору и правило умножения этой производной на другие объекты.

Существующие определения этих производных в виде плоских матриц [6] не совсем удобны по той причине, что при вычислении производных от функций указанного выше вида используются одни правила умножения таких матриц на вектор, а при вычислении дифференциалов – другие.Но правила дифференцирования указанных выше векторных искалярных функций можно получить, не используя понятие производной от матрицы по вектору.

Применяя правила дифференцирования по отдельным координатам, будем иметь ( Af ) Af  A f ,xkxkxk8(13) (g T Af )g f T AT g T A f  g T A f .xkxkxkxk(14)В векторно-матричной форме соотношения (13) записываютсяследующим образом: ( Af )f   A f  A fAxTxT  x1xn.(15)Эта производная представляет собой матрицу размера m  n ( m –число строк матрицы A ), где первое слагаемое есть производная(6) от линейной формы Af , вычисленная при постоянной матрицеA , а второе слагаемое трактуется как производная от вектора Afпри постоянном f .Векторно-матричная запись для соотношений (14) имеет видgT A f x1TTT (g Af ) gfTAf A gxxxA f gTxn.(16)Эта производная представляет собой вектор-столбец, причем первые два слагаемых есть производная (7) от билинейной формыgT Af , вычисленная при постоянной матрице A , а последнее слагаемое трактуется как производная скаляра gT Af при постоянныхf и g.В заключение данного параграфа приведем известную из анализа теорему об условиях интегрируемости (условиях потенциальности векторного поля).

В этой теореме f (x, u) – заданная векторнаяфункция векторных переменных x и u , причем размерности векторов f и x одинаковы.Теорема 1.1. Для того чтобы существовала скалярная функцияΦ ( x, u) , удовлетворяющая уравнениюf (x, u)  Φ ,x9(17)необходимо и достаточно, чтобы матрица f xT была симметрической, т.е.f  f TxTxf jxkf kx j0.(18)При этих условиях решение уравнения (17) определяется с точностью до аддитивной функции  (u) формулой1Φ (x, u)   xT f ( x, u)d .(19)0Равенство (17) можно заменить эквивалентным условием:дифференциальная форма dxT f ( x, u) является дифференциаломфункции Φ (x, u) по переменной x , т.е.dxT f (x, u)  d xΦ  dxT (Φ x) .(17*)Необходимость условия (18) доказывается легко.

Если функцияΦ (x, u) существует, то равенство (18) следует из уравнения (17)при учете свойства (11).Достаточность. Покажем, что при выполнении условия (18)функция (19) удовлетворяет уравнению (17). Производная отфункции (19) определяется на основании формулы (7) следующимвыражением:Φf T ( x, u) [f ( x, u) x ] d x 0x1 f ( x, u) f T ( x, u)    [ f ( x, u)]  x  d .x01(20)В свою очередь, вводя обозначение y   x и используя формулы(4) для производных от сложных функций, получаемf T ( x, u) y T f T (y , u)f T (y , u),xxyy10 f ( x , u )  f ( y , u )  yf (y , u )x.y Ty TПодставляя эти выражения в (20) и учитывая, что11  [ f ( x, u)]d  [ f ( x, u)] 0  f ( x, u) ,0будем иметь1Φ  f ( x, u)    f (y , u)  f T (y , u)  x d .  y Txy0Отсюда следует, что при выполнении условия (18) функция (19)удовлетворяет уравнению (17).

Теорема доказана.Теорема 1.1 содержательна тем, что она не только определяетусловия существования решения Φ (x, u) , но и дает явную формулудля этого решения.11§ 2. Уравнения Лагранжа2.1. Механические связи и их классификацияРассмотрим систему из N материальных точек, движущихся внекоторой декартовой прямоугольной системе координат. Положение каждой j-й точки определяется в этой системе отсчета радиусом-вектором r j с тремя декартовыми координатами x j , y j , z j ,а положение всей системы – набором из S  3N координат S-мерного вектора R , составленного из координат всех материальныхточек системы: r1   R1    R         ; R T   x1 , y1 , z1 ,..., xN , yN , z N  .r   R  N  S(1) системы не наЕсли на возможные положения R и скорости Rложено никаких ограничений, то система называется свободной.В противном случае говорят, что на систему наложены механические связи.Определение.