Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин, страница 2

Механическими связями называются ограничения системы, которые выполняютсяна положения R и скорости Rпри любых действующих в системе силах.В дальнейшем ограничимся рассмотрением только удерживающих (двухсторонних) связей. Для таких связей ограничения на положения и скорости системы аналитически выражаются в виде равенств , R , t )  0; k  1,..., m .f k (R(2)Удерживающие связи (2) называются конечными (геометрическими), если они задают ограничения только на положения системы, т.е.

уравнения связей имеют видf k (R, t )  0; k  1,..., m .(3) , то связь называЕсли же в уравнение связи входят скорости Rется дифференциальной (кинематической).12Отметим [2], что все известные примеры дифференциальныхмеханических связей характеризуются линейной зависимостью от , т.е. выражаются уравнениями видаскоростей RS  b   a R  b  0 ,f  aT Ri i(4)i 1где a  a(R , t ) – S-мерная вектор-функция, а b  b(R , t ) – скалярнаяфункция переменных R , t . Почленным умножением на dt уравнение (4) приводится к дифференциальной форме:Sa dR  bdt   ai dRi  bdt  0 .T(5)i 1Связь называется стационарной (склерономной), если в уравнение этой связи не входит время t .

В противном случае связь называется нестационарной (реономной).Дифференциальная связь (4) называется интегрируемой, еслиона представима в виде эквивалентной конечной связиF ( R, t )  c  0 ,(6)где c – константа интегрирования. Под эквивалентностью связей(4) и (6) при этом понимается, что уравнение  F  0 ,F  FT RRt(7)получаемое дифференцированием уравнения (6) по времени, эквивалентно уравнению (4), т.е.

в каждый момент времени уравне } сониями (4) и (7) описывается одно и то же множество {R , Rстояний системы. Отметим, что тождественное совпадение уравнений (4) и (7) является только достаточным условием их эквивалентности.Ввиду произвольности константы c интегрируемая кинематическая связь эквивалентна семейству конечных связей (6). Но каждому отдельному значению константы c соответствует единственная конечная связь.

Поскольку значение константы c однозначноопределяется начальными условиями R 0 ,t0 в виде c  F ( R 0 , t0 ) ,13то задание этих начальных условий фактически превращает интегрируемую кинематическую связь в конкретную конечную связь.Остановимся на вопросе об условиях интегрируемости кинематических связей.Определим сначала достаточные условия интегрируемости связи (4), рассматривая случай, когда эквивалентность уравнений (4)и (7) обусловлена их тождественным совпадением, т.е.F R  F  aT R b.TRt(8) тождество (8) выполняется только в слуВвиду произвольности Rчае, если функция F ( R , t ) удовлетворяет уравнениямF  a , F  b .Rt(9)Поэтому на основании теоремы 1.1 об условиях интегрируемостиполучаем следующее достаточное условие интегрируемости кинематической связи:Для того чтобы связь (4) была интегрируемой, достаточно,чтобы матрица a a  RT t ΦbbT R t (10)была симметрической, т.е.

Φ  ΦT .Необходимые условия интегрируемости связи (4) имеют существенно более сложный вид и здесь не приводятся. Но во многихконкретных примерах вопрос об интегрируемости кинематическойсвязи можно решить исходя непосредственно из определения. Например, в некоторых случаях, предположив сначала, что связь интегрируема, удается либо доказать, что функции F, дающей уравнение (7), эквивалентное уравнению (4), не существует, либо найтиF в явном виде. Можно воспользоваться также следующими соображениями. В случае интегрируемой связи в каждый момент времени различные положения системы R 0 и R1 связаны некоторымуравнением14F ( R 0 , t )  F ( R1 , t )  c ,(11)т.е.

не могут быть произвольными. Следовательно, отсутствие какой-либо зависимости вида (11) между допустимыми положениямисистемы в один и тот же момент времени является признаком неинтегрируемости связи. Поэтому если, например, рассматриваемаясвязь такова, что уравнение aT R  0 , получаемое из уравнения (5)при dt  0 (при фиксированном времени), допускает перемещениесистемы из любого положения R 0 в произвольное положение R1 ,то эта связь неинтегрируемая.Простейшим примером интегрируемой кинематической связиявляется ограничение, описывающее плоское качение колеса попрямой дороге без скольжения. Эта связь описывается уравнениемx  R  0 , где x – координата центра колеса,  – угол поворотаколеса, R – радиус колеса. Эта связь представима в эквивалентномконечном виде x  R  c , а значение константы интегрирования cзависит в данном случае от того, с какими значениями x0 ,0 поставлено колесо на дорогу.Кинематическая связь t ( x  y )  x  y  0 тоже интегрируема.

Ейсоответствует эквивалентная конечная связь t ( x  y )  c  0 .В предыдущих примерах связи удовлетворяли достаточным условиям интегрируемости. В следующем примере связьx  y  x  y  0 этим условиям не удовлетворяет, поскольку, какнетрудно убедиться, матрица (10) не является симметрической. Темне менее эта связь интегрируема. Ей соответствует эквивалентнаяконечная связь ln x  y  t  c  0 .Способ доказательства неинтегрируемости кинематических связей проиллюстрируем на примере связи y  x  0 . Предположим,что эта связь интегрируема, т.е. существует функция F ( x, y, t ) , такая, что уравнениеF x  F y  F  0xyt15(12)эквивалентно уравнению y  x  0 . Если указанные уравнения эквивалентны, то подстановка выражения y   x в уравнение (12)должна обращать это уравнение в тождество, т.е.F x  F x  F  0 .xytОтсюда ввиду произвольности x следуют равенстваF  0 ,x F x  F  0 .ytПервое из этих равенств показывает, что функция F не зависит отx .

Вследствие этого второе тождество может выполняться при любых значениях x только в случае, если F y  0 , F t  0 . Таким образом, функция F не зависит от переменных x, y, t , т.е. является тождественной постоянной. Но такая «функция» не задаетникаких ограничений на положения системы. Следовательно,предположение об интегрируемости связи y  x  0 противоречитопределению интегрируемости.Связь x sin   y cos  0 , описывающая ограничение на движение конька по льду, неинтегрируемая. Это можно доказать разнымиспособами [2, 3], в частности, показав, что уравнениеx sin   y cos  0 допускает перемещение из любой точки{x0 , y0 ,0 } в произвольную точку {x1 , y1 ,1} .Аналогичным образом можно показать, что в задаче о движениишара по горизонтальной плоскости ограничения, описывающиеусловия качения шара без скольжения, представляют собой неинтегрируемые кинематические связи.Все конечные и интегрируемые кинематические связи называются голономными, а все остальные связи – неголономными.В свою очередь системы без связей и системы, на которые наложены только голономные связи, называются голономными, а при наличии хотя бы одной неголономной связи – неголономными.Числом степеней свободы механической системы называетсяразность между размерностью S вектора R , задающего положе-16ние системы без связей, и числом m независимых связей, наложенных на систему:n  S m.(13)Если все m связей голономны, т.е.

выражаются в конечном виде (3) или (6), то из уравнений этих связей можно выразить m переменных Ri через остальные n переменных Rk , рассматриваемыхкак независимые, и время t. Вследствие этого положение голономной системы в каждый момент времени будет однозначно определяться значениями n переменных.В качестве независимых переменных не обязательно выбиратьименно компоненты вектора R . Произвольный набор из n независимых переменных qT  (q1 , q2 ,..., qn ) , через которые однозначнымифункциямиR  R (q, t )(14)определяется положение системы в любой заданный момент времени, будем называть обобщенными координатами голономнойсистемы.Введение независимых переменных, однозначно определяющихположение системы в виде (14), называется параметризацией механической системы.

Под независимостью переменных подразумевается, что в каждый момент времени разным значениям вектора qотвечают разные положения системы. В этом случае ввиду однозначности функций (14) между положениями системы и значениями вектора q имеется взаимно однозначное соответствие.

Еслитакое соответствие имеет место для всех возможных положенийсистемы, то параметризация называется глобальной. В практических задачах достаточно, чтобы выбор независимых переменныхудовлетворял условиям локальной параметризации, т.е. когда взаимно однозначное соответствие между R и q требуется не всюду,а только в некоторой окрестности каждого положения системы.Условия локальной параметризации формулируются следующимобразом.17Для любого положения системы любая вариация вектора qприводит к изменению положения системы в данный момент времени, т.е. d q  0  R ( dq ) Rdq  0 .qT(15)Здесь R – изохронный дифференциал функции R (q, t ) .В дальнейшем будем полагать, что выбор обобщенных координат удовлетворяет условиям (15) локальной параметризации.Таким образом, для голономной системы число степеней свободы равно числу независимых обобщенных координат, однозначноопределяющих положение системы в любой заданный моментвремени.

Неголономные системы указанным свойством не обладают. И это принципиальное различие между голономными и неголономными системами приводит в итоге к тому, что для голономных систем можно написать уравнения движения в независимыхкоординатах, число которых равно числу степеней свободы системы, а для неголономных – нет.В классической механике рассматриваются системы с конечнымчислом степеней свободы. Это, однако, не означает, что рассматриваемые системы состоят из конечного числа материальных точек.Все выше изложенное легко обобщается и на случаи, когда исследуемые системы содержат твердые тела.