Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин, страница 11

На основании теоремы 5.1, учитывая тождество(20), приходим к следующей формулировке условий каноничности:Теорема 5.2 (критерий каноничности). Для каноничностипреобразования (4) необходимо и достаточно, чтобы матрицаЯкоби (15) удовлетворяла тождествуMT J M  cJ ,(23)где c  0 – постоянная, называемая валентностью преобразования. Условие c  0 вытекает из требования о невырожденностипреобразования, поскольку из равенства (23) якобиан преобразования определяется формулой(det M ) 2  c 2 n .78(24)Матрицы M , удовлетворяющие равенству (23), называютсяобобщенно симплектическими при c  1 и просто симплектическими при c  1 .

Каноническое преобразование при c  1 называетсяунивалентным.Нетрудно убедиться, что преобразование, обратное к каноническому, тоже является каноническим. Умножив равенство (23) слевана матрицу (M T ) 1 , а справа на матрицу M 1 , получим, учитываяперестановочность операций обращения и транспонирования матриц, следующее равенство:TM 1 J M 1  J c .(25)Отсюда следует, что матрица M 1 обратного преобразованияудовлетворяет критерию (23), а валентность обратного преобразования равна 1 c .Отметим также, что обращением обеих частей равенства (25)критерий каноничности приводится к следующему виду:MJ M T  cJ .(26)Рассмотрим последовательность двух канонических преобразований y  y (x, t ) и z  z ( y , t ) .

Матрицы Якоби этих преобразований M1  y xT и M 2  z y T удовлетворяют критерию (23), аматрица Якоби результирующего преобразования определяетсявыражениемyM  zT  zT T  M 2 M1 .xy xПодставляя это выражение в критерий (23), получимM T J M  M1T M T2 J M 2 M1  c2 M1T J M1  c2 c1J .Отсюда следует, что результирующее преобразование является каноническим, а его валентность равна произведению валентностейпоследовательных преобразований.Запись условий каноничности через скобки Лагранжа.

Представляя матрицу M в блочном виде (15) и используя правила пе-79ремножения блочных матриц, получим из критерия (23) следующеематричное равенство:M JM T 0 En  .cE0[p, qT ] [p, pT ]n[q, qT ] [q, pT ](27)Здесь~ T p~ p~ T q~q[q, q ] ,q qT q qTT~ T p~ p~ T q~q[q, p ] ,q pT q pT~ T p~ p~ T q~q,[p, p ] p pT p pTTT[p, qT ]  [q, pT ]– матрицы размера n  n , называемые обобщенными скобками Ла~ и p~ , задающих преобразование.гранжа для вектор-функций qЧерез элементы этих матриц (обычные скобки Лагранжа) критерийканоничности (23) записываются в виде~T p~ p~T q~ n  q~ ~pk ~pk q~k qk0,[q,q ] i j  [qi ,q j ] qi q j qi q j k 1  qi q j qi q j T~T p~ p~T q~ n  q~ ~pk ~pk q~k qk  c ,[q,p ]i j  [qi , p j ] ijqi p j qi p j k 1  qi p j qi p j T~T p~ p~T q~ n  q~ ~pk ~pk q~k qk  0.[p,p ]i j  [ pi , p j ] pi p j pi p j k 1  pi p j pi p j TЗдесь  i j – символы Кронекера.Запись условий каноничности через скобки Пуассона.

Критерий каноничности, записанный в форме (26), выражается через~ и p~ , задающие преобразование, следующим матричфункции qным равенством:~, q~ T ) (q~, p~T )(q 0 En T .(28)M J M  ~ ~Tc~, p~T )E0(p , q ) (pn80Здесь~ q~ T q~ q~Tq~~T(q , q )  T,q p pT q~ p~ T p~ p~Tp~~T(p , p )  T,q p pT q~ p~ T q~ p~Tq~~T(q , p )  T,q p pT q~, q~ T )  (q~, p~T )(p– матрицы размера n  n , называемые обобщенными скобками Пу~ и p~ . Через элементы этих матрицассона для вектор-функций q(обычные скобки Пуассона) условия каноничности (28) записываются в видеq~j q~k q~j q~k n  q~j q~k q~j q~k ~~~~T0,(q, q ) j k  (q j , qk )  T q p pT q s1 qs ps ps qs ~ ~ q~ ~~ ~ q~ ~n  qqppjjj pkj pk ~, p~T )  (q~ , ~kk  c j k ,(q)pjkjkqT p pT q s1 qs ps ps qs ~~~~~~n  ~pppp j ~ppppk jjj~~~~kkkT  0.(p, p ) j k  ( p j , pk )  T T q p p q s1 qs ps ps qs Критерий каноничности в форме (23) или (26) задает ограничение на матрицу Якоби преобразования (4) в каждой точке фазовогопространства и поэтому носит название локального критерия каноничности.

С помощью этого критерия можно проверить на каноничность любое заданное в явной форме преобразование. Для решения задач, связанных с построением канонических преобразований, используются критерии каноничности, записанные в терминахпроизводящих функций.5.2. Критерий каноничности в терминахпроизводящих функцийТеорема 5.3 (критерий каноничности).

Для каноничности преобразования (4) необходимо и достаточно существование функцииF (q, p, t ) и постоянной c  0 , таких, что81~ T q~  c pT dq   F (q, p, t ) .p(29)Здесь и далее символом  обозначаются изохронные дифференциалы функций (дифференциалы, вычисленные при «замороженном» времени). Полные дифференциалы функций обозначаютсясимволом d . Для независимых переменных операции  и d совпадают. В критерии (29)~~~~qqqq~~(30)q  T dx  T dq  T dp  dq dt ,tpqxF FFFFddddFdt .xqptp Tq TxT(31)Доказательство.

Критерий каноничности (23) при учете тождества (20) записывается в виде~f  f T  cJ ; f   q T p~ , c  0.(32)TxxxОбозначим через ψ 2n -мерный вектор:pψ  .0 (33)ψ ψ TJxTx(34)Тогда при учете равенстватождество (32) переписывается в виде (f  cψ )  (f  cψ )T0.xTx(35)Полученное равенство означает симметричность матрицы (f  cψ ) xT и по теореме 1.1 является критерием существованияскалярной функции F (x, t ) , такой, чтоf  cψ   F x 82(f  cψ )T dx  F .(36)После подстановки в левую часть этого равенства выражений (32),(33), получаем равенство (29). Теорема доказана.Функция F, фигурирующая в критерии (29), называется производящей функцией канонического преобразования.

Она определяется с точностью до аддитивной функции времени. При этом еслипреобразование не зависит от времени, то и функция F не будетзависеть от времени.Дифференциальное равенство (29) эквивалентно системе уравнений~T~TFqq~~  F ,,(37)p  cp  pqqppкоторая в подробной записи выглядит следующим образом:q sF,p s cpk  qkqks 1nn ps 1sq sF; k  1,..., n.pkpk(37*)Условия существования функции F, удовлетворяющей уравнениям (37), определяются теоремой 1.1. Нетрудно проверить, чтоэти условия описываются через скобки Лагранжа теми же тождествами (27), что и критерий (23).Формула преобразования гамильтониана.

Формулу для вы~~ ,p~ можно почисления гамильтониана H в новых переменных qлучить из уравнения (22). При учете тождества (20) и вытекающегоиз (36) равенства f    ( F )    ( F )tt xx tуравнение (22) записывается в виде~~ ~T  q (c H  F )   ( H).pxtxtОтсюда с точностью до аддитивной функции, зависящей только от~времени, функция H определяется формулой~~~T q(38)H  cH  p F .t t83~ ~ ~Для вычисления функции H (q, p, t ) по формуле (38) нужно вы~,p~разить «старые» переменные q, p через «новые» переменные qпо формулам обратного преобразования. При этом необходимознать валентность c и производящую функцию F (если последняязависит от времени). Для стационарных (не зависящих от времени)преобразований формула (38) принимает упрощенный вид H  cH ,~ ~ ~, p, t ) знание производящей функи для вычисления функции H (qции не требуется.Основное тождество.

Учитывая, что полные дифференциалыфункций выражаются через изохронные дифференциалы формулами (30), (31), равенства (29) и (38) можно записать одним соотношением, называемым основным тождеством:~~ T dq~Hpdt  c(pT dq  Hdt )  dF ; c  0 .(39)Тождество (39) включает собственно критерий каноничности (29) иформулу (38) преобразования гамильтониана.Важное свойство основного тождества (39) состоит в том, чтооно инвариантно относительно выбора независимых переменных.При его использовании для исследования каноничности преобразования в качестве независимых переменных можно выбрать нетолько переменные {q , p} , но и другие наборы из 2n-переменных,~} , {q , p~} , {p , p~} .например, {q , qПримеры канонических преобразований.

Из критерия (29)следует, что тождественное преобразованиеqk  qk , p k  pk ;k  1,..., n(40)является унивалентным ( c  1 ) каноническим преобразованием спроизводящей функцией F  0 .Преобразованиеq~ j  p j , ~p j  q j ; j  1,..., m(41)q~  q , ~p p ;k  m  1,..., nkkkk84также является унивалентным каноническим преобразованием сmпроизводящей функцией F   q j p j . С помощью этого преобраj 1зования можно поменять ролями обобщенные координаты иобобщенные импульсы для любой пары сопряженных переменныхqj , pj .Рассмотрим линейное преобразование~  Cq  Dp ,~  Aq  Bp , pq(42)где A, B, C, D – постоянные матрицы размера n  n .