Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин, страница 13

в искомом решении должны быть разделены переменныеt , q1 , ..., qn так, что t входит только в S0 , а qk только в Sk . Зависимость функций S0 и S k от α при этом заранее не регламентируется. Этим, собственно, идейная часть «метода» и ограничивается.Далее рассматриваются случаи разделения переменных, т.е. приводятся примеры функций Гамильтона, структура которых позволяетнайти полный интеграл в виде (57), и излагается процедура поискаэтого решения. Все эти случаи характеризуются наличием у гамильтоновой системы первых интегралов определенного вида.Случаи разделения переменных1º. Гамильтониан с отделимыми парами сопряженных переменных:H  H [ f1 ( q1 , p1 ), f 2 ( q2 , p2 ),..., f n ( qn , pn ), t ] .(58)2º.

Система вложенных функций («матрешка»):H  H [ f n , t ]; f k  f k ( f k 1 , qk , pk ); k  2,..., n, f1  f1 ( q1 , p1 ). (59)n3º.H  H ( f ,t) ;f k (qk , pk )k 1n k (qk , pk ).(60)k 1В каждом из перечисленных случаев система имеет n независимых первых интегралов (см. раздел «Уравнения Гамильтона»).В случае 1º первые интегралы выражаются функциями92f k ( qk , pk )   k ; k  1, ..., n .(61)В случае 2º первые интегралы имеют видf1 ( q1, p1 )  1 , f k (qk , pk , k 1 )   k ; k  2, ..., n .(62)В случае 3º первые интегралы записываются в видеf k  k (qk , pk )   n  k (qk , pk )   k ; k  1, ..., n  1,n 1f n  n (qn , pn )   n  n (qn , pn )    k ,(63)k 1а функция f   n является зависимым от (63) первым интегралом.Рассматриваемые три случая характеризуются общим свойством: система имеет n независимых первых интегралов, в каждомиз которых фигурирует только одна пара сопряженных переменных:f k ( qk , pk , α )  0 ; k  1, ..., n ,(64)где α – n -мерный вектор произвольных постоянных.

Это общеесвойство позволяет изложить процедуру нахождения полного интеграла методом разделения переменных для всех трех случаев единообразно.Предполагаем, что каждый из первых интегралов (64) разрешимотносительно импульсов, т.е. уравнения (64) можно переписать ввидеpk   k (qk , α ) ; k  1, ..., n(65)Тогда, выражая обобщенные импульсы по формулам (55), получимдля слагаемых S k полного интеграла (57) следующие уравнения:Spk  S  k   k (qk , α ) ; k  1, ..., nqk qk(66)Отсюда функции Sk находятся с помощью формулS k   k (qk , α )dqk ; k  1, ... , n93(67)Функция S0 находится непосредственно из уравнения Гамильтона–Якоби с учетом того, что S t  S0 t , а гамильтониан вкаждом случае выражается через постоянные α и время t . Дляслучая 1º получимH (1 , 2 , ..., n , t )  S0 t  0 .Отсюда находимS0    H (1 , 2 , ..., n , t )dt .(68)Для случаев 2º и 3º будем иметьH ( n , t )  S0 t  0 . S0    H ( n , t )dt .(69)Покажем, что полученное решение действительно является полным интегралом, т.е.

удовлетворяет условию (53).Обозначим через f и ψ вектор-функции, составленные из скалярных функций f k и  k , фигурирующих в уравнениях (64) и (65).Тогда эти уравнения запишутся в видеf (q, p , α )  0 .(70)p  ψ (q, α )  S q .(71)Ввиду того, что значения постоянных α однозначно определяются значениями q, p, уравнения (70) разрешимы относительно α,т.е.det(f αT )  0 .(72)В свою очередь, условие разрешимости уравнений (70) относительно импульсов описывается неравенствомdet(f pT )  0 .(73)Учитывая, что подстановка выражений (71) в уравнения (70)приводит к тождествуf (q, ψ (q, α ), α )  0 ,94и дифференцируя это тождество по α , получимf   f ψ   f  2 S .αTpT αTpT αT qИз этого матричного соотношения в силу неравенств (72) и (73)следует неравенство (53).Замечание. В изложенной выше процедуре построения полногоинтеграла предполагалось, что все первые интегралы (64) разрешимы относительно импульсов.

Это условие не является принципиальным. Если, например, первые m уравнений (64) неразрешимы относительно импульсов p j , то они разрешимы относительнокоординат q j . Поэтому с помощью унивалентного каноническогопреобразования (41) система приводится к виду, в котором все первые интегралы (64) будут разрешимы относительно импульсов.В заключение докажем теорему Лиувилля об интегрируемыхсистемах с позиций уравнения Гамильтона–Якоби:H (q, S , t )  S  0 .qt(74)Теорема Лиувилля. Если гамильтонова система порядка 2nимеет n независимых первых интегралов в инволюции, то она интегрируется методом Якоби.Доказательство. Запишем уравнения, определяющие указанныев теореме первые интегралы:f k (q, p, t , α )  0 ; k  1,..., n,в векторном виде:f (q, p , t , α )  0 .(75)Здесь α – n -мерный вектор произвольных постоянных. Значенияэтих постоянных однозначно определяются значениями q, p , t .

Поэтому уравнения (75) разрешимы относительно α , т.е.det(f αT )  0 .95(76)Условие инволюции первых интегралов (все скобки Пуассона( f j , f k ) тождественно равны нулю) записывается в видеf f T  f f T  0 .qT p pT q(77)Вследствие независимости первых интегралов система (75) разрешима относительно некоторой группы из n переменных.

Имея ввиду, что преобразованием вида (41) можно поменять ролями координаты и импульсы любой пары сопряженных переменных, безущерба для общности можно считать, что система (75) разрешимаотносительно импульсов, т.е.det(f pT )  0 .(78)Выражая из уравнений (75) импульсыp  ψ (q, t , α )(79)и учитывая, что S q  p , получим следующую систему уравнений, эквивалентную уравнению (74):ψ (q, t , α )  S ,q n 1   H * (q, t , α )  S .t(80)Здесь H * (q, t , α ) – функция, полученная из функции ГамильтонаH (q, p, t ) после подстановки вместо импульсов их выражений (79).Покажем, что для системы (80) выполнены условия интегрируемости, т.е.

существует решение S (q, t , α ) . Дифференцируя тождествоf (q, ψ (q, t , α ) , t , α )  0(81)по переменной q , получимf   f ψ .qTpT qTПодставляя это выражение в условие инволюции (77), будем иметь96f ψ f Tf ψ T f TfpT qT p pT q p pT ψ ψ T  f T 0. T qqpОтсюда после сокращения на невырожденную матрицу f pTследуетψ ψT0.qTq(82)По условию теоремы функции (79) удовлетворяют уравнениямГамильтона. Поэтому имеем p  ψψ ψ H ψψH .qqTt qT p tqИсключая отсюда производную H q с помощью соотношенияH *  H  ψT Hq pqqи учитывая (82), приходим к следующему равенству:* n 1 ψ. H qqt(83)Из равенств (82) и (83) следует, что (n  1) -мерная матрица ψ qTT ψ n1 qψ tψn1qT является симметрической. Поэтому для системы (80) выполненыусловия интегрируемости, а ее решение S (q, t , α ) определяется сточностью до несущественного слагаемого  (α ) следующей формулой:1S (q, t , α )   [qT ψ ( q, t , α )  t H * ( q, t , α )] d .(84)0Покажем, что полученное решение будет полным интегралом.Дифференцируя тождество (81) по α , получим97f   f ψ   f  2 S .αTpT αTpT αT qОтсюда в силу неравенств (76), (78) следует 2 det   T S   0 . α q Теорема доказана.98§ 6.

Интегральные инварианты гамильтоновых системРассмотрим ( 2n  1) -мерное расширенное фазовое пространствогамильтоновой системы – фазовое пространство переменных q, p ,дополненное осью времени t . В этом пространстве выберем произвольный замкнутый контур C0 – одномерное множество точек,описывающееся параметрическими формуламиq 0  q 0 ( ) ,q 0 (0)  q 0 (1) ,p 0  p 0 ( ),t0  t0 ( );   [0,1],p 0 (0)  p 0 (1),t0 (0)  t0 (1),(1)где функции q 0 ( ) , p 0 ( ), t0 ( ) непрерывно дифференцируемы попараметру  .tC*t*CC0qpДля гамильтоновой системы с заданным гамильтонианомH (q, p, t ) каждая точка контура C0 задает начальные условия и определяет однозначно траекторию движения этой системы:q  f (q 0 , p 0 , t0 , t ), p  g (q 0 , p 0 , t0 , t ) ,т.е.

решение канонических уравнений Гамильтона:99(2)q  H p ,p   H q .(3)Эти траектории называются прямыми путями системы, а множество траекторий, порождаемое контуром C0 , – трубкой прямыхпутей системы.На трубке прямых путей, порождаемой контуром C0 , можнопроизвольным образом выбрать другой замкнутый контур C . Точки этого контура будут образами точек контура C0 , т.е. каждаяточка контура C определяется решением (2), соответствующимнекоторой точке q 0 , p 0 , t0 контура C0 .

Все контуры, охватывающиеодну и ту же трубку прямых путей системы, называются согласованными.Условимся далее называть контур, все точки которого характеризуются одним и тем же моментом времени t , изохронным и обозначать C * .Ниже будет исследоваться поведение контурных интеграловПуанкаре и Пуанкаре–Картана на трубках прямых путей гамильтоновых систем.Интеграл Пуанкаре определяется выражениемI    p q TC*n  pi qi .(4)C * k 1Здесь C * – изохронный контур.Интеграл Пуанкаре–Картана имеет видI ΠK   (pT q  Ht ) ,(5)Cгде C – произвольный контур в расширенном фазовом пространстве, а H – функция Гамильтона.Символом  здесь и далее обозначается приращение функциипри «движении» по контуру.

Для контура C0 (1) это приращениеможно представить в виде дифференциала функции по параметру  .100Если контур начальных условий C0 параметризован в соответствии с формулами (1), то в силу соотношений (2) решения системы, образующие трубку прямых путей, будут иметь вид~~~q  f ( , t ), p  ~g ( , t ) ; f (1, t )  f (0 , t ), ~g (1, t )  ~g (0, t ) . (6)Для того чтобы на основе этих решений получить произвольныйконтур C, согласованный с контуром C0 , необходимо для каждогозначения  задать значение момента времени t . Эту зависимостьзададим функциейt  t ( , ) ;t (0, )  t (1, ) , t ( , 0)  t0 ( ) ,(7)непрерывно дифференцируемой по параметрам  и  .