МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах, страница 5

Рассмотрим ППС (рис.16,а). Прежде чем строить для этойсистемы эпюры M x и M KP , построим эпюры M x и M KP для каждой из четырехвозможных нагрузок (они представлены на схеме), так как вообще говоря,любые эпюры M x и M KP в силу принципа независимости действия сил будутпредставлятьсобойалгебраическуюсуммуэтихпростейшихэпюр,построенных от каждой нагрузки в отдельности, но, разумеется, с учетом местаприложения нагрузок, их направлений и геометрической конфигурациисистемы.37Для достижения максимальной общности будем считать, что сила F ,момент типа M1 и момент типа M 2 ( имеется в виду плоскость действия каждогоиз них) приложены к концевому сечению (т.А на рис.16,а), а распределеннаянагрузка приложена к первому от свободного конца участку стержня (стерженьАВ на рис.16,а).Причем, все построения будем выполнять в общем виде,полагая, для наглядности, что a< l.Пусть к плоско-пространственной системе (рис.16,в) приложена толькосила F . Построим эпюры M x , M KP для заданной системы.

Здесь, как и приFFлюбой другой внешней нагрузке, более сложным является построение эпюрыизгибающих моментов M x . В соответствии с ранее оговоренными принципами,для построения эпюры M x в заданной ППС выделим 6 характерных сечений.Так как имеется жесткая заделка, то расчет ведем от свободного конца. Привычислении изгибающего момента очень важно правильно определитьплоскостьизгибастержня,которомупринадлежитрассматриваемоехарактерное сечение, т.к. плечо действующей нагрузки необходимо определитьименно в плоскости изгиба.38Рис.16Стержень АВ изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярнойплоскости чертежа;M x ,1 = 0;M x , 2 = FL(сжаты верхние волокна).Стержень ВС изгибается в вертикальной плоскости, параллельнойплоскости чертежа:M x,3 = 0 (сила F не имеет плеча в плоскости изгиба!);M x,4 = Fa (сжаты верхние волокна).Стержень СД, как и стержень АВ, изгибается в вертикальной плоскости,перпендикулярной плоскости чертежа.M x,5 = Fl (сжаты нижние волокна).M x,6 = 0(сила F не имеет плеча в плоскости изгиба).39Остановимся подробнее на определении изгибающего момента M x,5 .

Каквидно из приведенных выше значений: M x ,5 = − M x ,2 , то есть моменты в сечениях2 и 5 (обратим внимание на их расположение, а не на нумерацию, которая,естественно, может быть совершенно произвольной) одинаковы по величине,но противоположны по направлению. Это утверждение можно доказать.Причем, возможно как строгое доказательство, так и некоторые"нестрогие" рассуждения, приводящие к тому же факту. Начнем с последних.Под действием приложенной силы F (рис.16,в) происходит "перекос" системы:точка В смещается вверх, а точка С - вниз; при этом обе точки располагаютсяна одинаковом расстоянии (в вертикальной плоскости, перпендикулярнойплоскости чертежа) от линии действия силы F , следовательно, моменты всечениях 2 и 5 одинаковы, но противоположны по знаку.Для иллюстрации другого подхода к "нестрогому" доказательствуутверждения о том, что M x ,5 = −M x , 2 введем в рассмотрение так называемуюскользящую систему координат (рис.16,в). Такое название связано с тем, чтокоординатные оси как бы скользят вдоль ломаной продольной оси системы, неповорачиваясьвокругпространственнойнее.системыПриосьzэтомнанаправленакаждомвдольучасткеплоско-продольнойосисоответствующего стержня, ось y- вверх (или вниз) при расположении системыв горизонтальной плоскости, а ось x остается перпендикулярной к плоскостиyoz.

Как следует из чертежа, на участках АВ и СД ось x имеетпротивоположное направление, следовательно, моменты M x имеют на этихучастках разные знаки, а так как сечения 2 и 5 равноудалены от линии действиясилы F , то очевидно равенство моментов в этих сечениях по абсолютнойвеличине.И, наконец, рассмотрим более строгое доказательство. Двигаясь отсвободного конца при выборе отсеченной части, мы получили: M x , 2 = F(сжаты верхние волокна). Определим момент M x в сечении 5, двигаясь привыборе отсеченной части со стороны жесткой заделки.

Для определения40момента таким способом необходимо знать реакции заделки. При действии насистему силы F из всех возможных в общем случае нагружения реакций вжесткой заделке возникают реакция R D и опорный момент M D , определяемыеиз условий равновесия:∑ Fyi = 0: F - R D = 0;2) ∑ M Di = 0: M D - F ⋅ a = 0;1)R D = F;M D = Fa;Теперь, двигаясь со стороны жесткой заделки, для сечения 5 получим:M x,5 = R D ⋅ L = FL (сжаты нижние волокна), то есть M x,5 = -M x,2 (момент M Dне влияет на величину M x,5 , так как его плоскость действия перпендикулярнаплоскости изгиба).Очевидно, что подобные рассуждения можно провести при любойвнешней нагрузке, поэтому в дальнейшем при построении эпюры M x всегдабудем руководствоваться правилом: изгибающий момент в сечении 5 равенизгибающему моменту в сечении 2 (опять-таки, имеется в виду положениесечений, а не их порядковые номера) и противоположен ему по знаку, приусловии, что на участке 2-5 не приложен сосредоточенный момент, которыйдля сечения 5 является изгибающим, то есть момент типа M1 (рис.16,а).

Приналичии на участке 2-5 такого момента равенство ординат по модулю всечениях 2 и 5 "искажается" на величину M1 в соответствующую направлениюM1 сторону.Теперь построим эпюру M KP .FУчасток АВ не подвержен кручению, так как сила F приложена кпродольной оси стержня АВ. Участок ВС закручивается силой F с плечомследовательно:M KP,3 = M KP,4 = F .Участок СД также закручивается силой F , но с плечом a , то есть:M KP,5 = M KP,6 = Fa .Эпюры M x и M KP представлены на рис.16,г.FF41,Аналогичным образом строятся эпюры изгибающих и крутящихмоментов от распределенной нагрузки q (рис.16,д), сосредоточенного моментатипа M1 (рис.16,ж) и сосредоточенного момента типа M 2 (рис.16,и).Не останавливаясь детально на построении этих эпюр, отметимнекоторые особенности.

Эпюра M x на участке под распределенной нагрузкой (и только на этом участке!)- квадратная парабола, направленная выпуклостьюнавстречу нагрузке. На участке СД - противоположном тому, где приложенанагрузка q - эпюра M x пересекает ось в точке, расположенной напротивравнодействующей распределенной нагрузки (рис.16,д).Анализ эпюр от сосредоточенных моментов M1 (рис.16,з) и M 2 (рис.16,к)позволяет сделать очевидный вывод о том, что если момент приводит к изгибукакого-либо стержня, то кручение на этом участке отсутствует и наоборот.Теперь,учитываянакопленныйопытприпостроенииэпюротраздельного действия каждой из четырех нагрузок, рассмотрим более сложноенагружение (рис.16,а).При указанных на этом рисунке нагрузках для построения эпюры M xнеобходимо выделить 8 характерных сечений.

Двигаясь от свободного конца,получим по участкам:Участок АВ изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярнойплоскости чертежа:M x ,1 = 0;M x ,2 = F ⋅ 3 − q ⋅ 3 ⋅ 1,5 = 3 − 9 = −6 кН ⋅ м(сжаты нижние волокна).Кручение на участке АВ отсутствует, так как сила F и нагрузка q имеютнулевые плечи относительно продольной оси участка АВ.Участок ВСизгибается в вертикальной плоскости, параллельнойплоскости чертежа.M x,3 = M 2 = 4 кН ⋅ м (сжаты верхние волокна);M x,4 = M 2 + F ⋅ 1 − q ⋅ 3 ⋅ 1 = 4 + 1 − 6 = −1 кН ⋅ м (сжаты нижние волокна);42M x ,5 = M x ,4 , так как момент M 1 , приложенный к отсеченной части длясечения 5, действует в плоскости, перпендикулярной ВС и на изгиб участка ВСне влияет;M x,6 = M 2 + F ⋅ 2 − q ⋅ 3 ⋅ 2 = 4 + 2 − 12 = −6 кН ⋅ м (сжаты нижние волокна).Для построения эпюры крутящих моментов на участке ВС рассмотримотдельно участки 3-4 и 5-6, так как между сечениями 4 и 5 приложен моментM 1 .

Участок 3-4 закручивается силой F с плечом 3м и в противоположнуюсторону - нагрузкой q с плечом 1,5м:M КР ,3 = M КР ,4 = F ⋅ 3 − q ⋅ 3 ⋅ 1,5 = 3 − 9 = −6 кН ⋅ м(здесь знак "-" носит сугубоусловный характер и может служить только для обозначения направлениякручения). Участок 5-6 помимо силы F и нагрузки q закручивается еще имоментом M 1 , причем, в том же направлении, что и нагрузкой q , поэтому:M КР ,5 = M КР ,6 = F ⋅ 3 − q ⋅ 3 ⋅ 1,5 − M 1 = 3 − 9 − 2 = −8 кН ⋅ мУчасток7-8закручиваетсянагрузкойqсплечом2мивпротивоположную сторону - силой F с плечом 2м и моментом M 2 ,следовательно:M КР , 7 = M КР ,8 = q ⋅ 3 ⋅ 2 − F ⋅ 2 − M 2 = 12 − 2 − 4 = 6 кН ⋅ мПо вычисленным значениям строим эпюры M x и M KP (рис.16,б).1.18 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР В ЛОМАНЫХ СТЕРЖНЯХСистему, состоящую из жестко соединенных между собой стержней, осикоторых не лежат в одной плоскости, будем называть ломаным стержнем.

Приэтом ограничимся рассмотрением только таких ломаных стержней, отдельныеэлементы которых стыкуются друг с другом под прямыми углами, а внешниенагрузки приложены перпендикулярно к осям стержней (рис.17,а,б).43Рис.17В общем случае нагружения в поперечных сечениях ломаных стержнеймогут возникать все 6 известных внутренних силовых факторов: продольнаясила N z , поперечные силы Q x , Q y , изгибающие моменты M x , M y , крутящиймомент M KP ( M z ) . Очень часто, особенно в машиностроительных конструкциях,отдельные элементы ломаного стержня имеют незначительную длину, иногдасоизмеримую с размерами поперечного сечения, то есть являются "короткими"стержнями.