МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах, страница 4

Если бы опоры располагались так, чтовертикальным является один стержень, то в качестве первого шагаиспользовалось условие ∑ F y i = 0 .Рис. 12Второе и третье уравнения равновесия ( ∑MAi = 0,∑MBi = 0. ) - такие же, каки для балок, но в одно из них обязательно войдет реакция, вычисленная изпервого уравнения ( иногда - с нулевым плечом).В качестве проверки вычисленных реакций используется условие,противоположное первому, то есть ∑ F y i = 0 ( и л и ∑ F x i = 0 ) .Построение эпюр N z , Q y , M x в шарнирных рамах выполняется так же, как ив защемленных, но " с меньшими затратами", так как после вычисленияреакций опор направление обхода рамы не играет роли, и выбор отсеченнойчасти в каждом случае определяется ее простотой.Вычислим реакции опор рамы (рис.12,а)28Уравнения статики:∑ Fxi = 0: H A − F = 0; H A = F = 20 кН2 ) ∑ M A = 0: q ⋅ 4 ⋅ 2 − F ⋅ 3 − M − R B ⋅ 4 = 0; R B = − 5 кН3) ∑ M B = 0: R A ⋅ 4 − q ⋅ 4 ⋅ 2 − F ⋅ 3 − M = 0; R A = 45 кН1)Знак "-", полученный при вычислении реакции R B , говорит, что принятоедля нее направление нужно изменить на противоположное.

Выполнимпроверку:∑ Fyi= 0: R A − q ⋅ 4 − R B = 45 − 40 − 5 = 0 ,то есть реакции опор вычислены правильно.Построение эпюры N z .Двигаясь по оси рамы от сечения 1 к сечению 6, получим:N z ,1 = N z , 2 = N z , 3 = N z , 4 = R B = 5 кНN z ,5 = N z , 6 = − F = − 45 кНДля сечений 7 и 8 проще рассматривать отсеченную часть, продвигаясь отопоры А к сечению 7:N z , 8 = N z , 7 = − R A = − 4 5 кНЭтот же результат получим из рассмотрения отсеченной части 1-6:N z ,7 = N z ,8 = − R B − q ⋅ 4 = −45 кНЭтот же результат получим из рассмотрения отсеченной части 1-6:N z ,7 = N z ,8 = − R B − q ⋅ 4 = −45 кНПо вычисленным значениям строим эпюру N z ( рис.12,б)Построение эпюры Q y .Из рассмотрения отсеченной части 1-5:29Q y ,1 = Q y ,2 = 0;Q y ,3 = Q y ,4 = F = 20 кН;Q y ,5 = R B = 5 кНИз рассмотрения отсеченной части 8-6:Q y ,8 = Q y ,7 = −H A = - 20 ђн;Q y ,6 = R A = 45 ђнЭпюра Q y , построенная по вычисленным значениям, показана на рис.12,в.Построение эпюры M x .Из рассмотрения отсеченной части 1-5:M x ,1 = M x ,2 = M = 40 кН ⋅ м (сжаты правые волокна стойки);M x ,3 = M x , 2 = 40 ђн ⋅ “ (плечо силы F равно нулю);M x ,4 = M x ,5 = M − F ⋅ 3 = − 20 кН ⋅ м (сжаты левые волокна стойки в сечении 4 инижние волокна ригеля в сечении 5);Из рассмотрения отсеченной части 8 -6:M x ,8 = 0;M x ,7 = M x ,6 = H A ⋅ 6 = 120 кН ⋅ м(сжаты правые волокна стойки и нижние волокна ригеля в сечениях 7 и 6соответственно).Эпюра M x показана на рис12,г.Пример 9.

Рассмотрим шарнирную раму более сложной конфигурации(рис.13,а).Здесь необходимо рассматривать 10 характерных сечений для построенияэпюр N z , Q y , M x . Сечения 1-6 расположены на ригеле слева направо, а сечения 710 - на стойке сверху вниз. Как и в предыдущем примере, указанноерасположение характерных сечений является безусловно необходимым, а ихнумерация - произвольной.Уравнения статики для вычисления опорных реакций имеют вид:301)∑ Fyi = 0:R B + F1 − q 1 ⋅ 2 − F2 = 0; R B = 20 кН2)∑ M Ai = 0:q 1 ⋅ 2 ⋅ 1 − F1 ⋅ 2 − q 3 ⋅ 3 ⋅ 1,5 − F2 ⋅ 4 − M1 + M 2 + H B ⋅ 6 = 0; H B = 20 кН3)∑ M Bi = 0:H A ⋅ 6 + F1 ⋅ 2 − q 1 ⋅ 2 ⋅ 1 − q 2 ⋅ 3 ⋅ 4,5 + F2 ⋅ 4 + M1 − M 2 = 0; H A = 10 кНПроверка вычисления опорных реакций:∑ Fxi = 0:H A + H B − q 2 ⋅ 3 = 10 + 20 − 30 = 0При построении эпюр N z , Q y , M x целесообразно выбирать отсеченнуючасть, продвигаясь к центральному узлу рамы с четырех сторон, т.к. в этомслучае определение внутренних силовых факторов в каждом из характерныхсечений осуществляется наиболее просто.Рис.

1331Построение эпюр N z , Q y , M x .Из рассмотрения левой относительно центрального узла отсеченнойчасти (сечения 1-2):N z ,1 = N z ,2 = 0;Q y ,1 = F1 = 30 кН;(сжаты верхние волокна).Q y ,2 = F1 − q 1 ⋅ 2 = 30 − 40 = −10 кН;M x,1 = 0;M x ,2 = F1 ⋅ 2 − q 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 60 − 40 = 20 кН ⋅ мИз рассмотрения правой отсеченной части (сечения 3-6):N z ,3 = N z , 4 = N z ,5 = N z ,6 = 0;Q y ,3 = Q y , 4 = Q y ,5 = Q y , 6 = F2 = 10 Kн;M x,3 = M 2 − F2 ⋅ 4 = 10 − 40 = −30 Kн ⋅ м (сжаты нижние волокна)M x , 4 = M 2 − F2 ⋅ 1 = 10 − 10 = 0;M x ,5 = − F2 ⋅ 1 = −10 Kн ⋅ м (сжаты нижние волокна)M x ,6 = 0Из рассмотрения верхней относительно центрального узла отсеченнойчасти (сечения 7-8):N z ,7 = N z ,8 = 0;Q y ,7 = H A = 10 Kн;Q y ,8 = H A − q 2 ⋅ 3 = 10 − 30 = −20 Kн;M x,7 = 0;M x ,8 = H A ⋅ 3 − q 2 ⋅ 3 ⋅ 1,5 = 30 − 45 = −15 Kн ⋅ м; (сжаты левые волокна)Из рассмотрения нижней отсеченной части (сечения 9-10):N z ,9 = N z ,10 = −R B = −20 Kн;Q y ,9 = Q y ,10 = −H B = −20 Kн;M x ,9 = H B ⋅ 3 = 20 ⋅ 3 = 60 Kн ⋅ м; (сжаты правые волокна)M x,10 = 0.Характер эпюры Q y на участках рамы с распределенными нагрузкамиq 1 и q 2 , а именно, наличие пересечений эпюры с осью рамы, говорит о том, что32в этих точках момент M x принимает экстремальные значения.

Определениеположений точек пересечения (т.е. тех точек, где Q y = 0 ) выполняется так же,как и в балках (см. 1.9).Вычислим экстремальные значения момента M x .На участках под распределенной нагрузкой q 1 :M x ,maxQy =01,52= F1 ⋅ 1,5 − q 1 ⋅= 45 − 22,5 = 22,5 кН ⋅ м (сжаты верхние волокна).2На участке с распределенной нагрузкой q 2 :M x ,maxQy =0= H A ⋅ 1 − q 1 ⋅ 1⋅ 0,5 = 10 − 5 = 5 кН ⋅ м (сжаты правые волокна).Эпюры N z , Q y , M x показаны на рис.13,б,в,г.1.16 РАМЫ НА ДВУХ ОПОРАХ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ ШАРНИРОМКак отмечалось выше, рамы на двух шарнирно-неподвижных опорах содним промежуточным шарниром также являются статически определимыми.Пример 10.Рассмотрим построение эпюр N z , Q y , M x для рамы спромежуточным шарниром (рис.14,а)В дополнение к условиям равновесия, рассмотренным в примерах 8 и 9,здесь для определения неизвестных реакций ( H A , R A , H B , R B ) используются ещеи ∑ M пCр ав = 0 , каждое из которых по своей сутидва условия: ∑ M левC = 0выражает факт равенства нулю изгибающего момента M x в промежуточномшарнире С (рис.14,а).Для определения четырех неизвестных реакций возможно использованиеразличных комбинаций уравнений равновесия, но чаще всего используютсяследующие уравнения:∑ M Ai = 0;2) ∑ M Bi = 0;3) ∑ M левC = 0;4) ∑ M прав= 0;C1)При этом для проверки вычисленных реакций служат уравнения:33∑ Fxi = 0;∑ Fyi = 0;При заданных нагрузках (рис.14,а) уравнения равновесия принимают вид:∑ M Ai = 0; F2 ⋅ 2 − q ⋅ 4 ⋅ 2 + M + F1 ⋅ 2 + R B ⋅ 4 = 0; R B = −15 кН;2) ∑ M Bi = 0; R A ⋅ 4 − F2 ⋅ 6 − M − q ⋅ 4 ⋅ 2 − F1 ⋅ 2 = 0; R A = 75 кН3) ∑ M левC = 0; R A ⋅ 2 − H A ⋅ 6 − M − q ⋅ 2 ⋅ 1 − F2 ⋅ 4 = 0; H A = 1,67 кНH B = 28,33 кН;4) ∑ M прав= 0; H B ⋅ 6 − R B ⋅ 2 − q ⋅ 2 ⋅ 1 − F1 ⋅ 4 = 0;C1)Знак"-",полученныйпривычисленииреакцииRB ,говоритонеобходимости изменить принятое для нее направление на противоположное(перечеркнутая стрелка на рис.15,а).Рис 14.Проверяем правильность вычисления опорных реакций.34∑ Fxi = 0:∑ Fyi = 0:H A +H B − F1 = 1,67 + 28,33 − 30 = 0;R A − F2 - q ⋅ 4 - R B = 75 − 20 − 40 − 15 = 0.Теперь вычисляем значения N z , Q y , M x в характерных сечениях, выбираядля сечений 1-8 левую отсеченную часть, а для сечений 9-14 - правую.Из рассмотрения левой отсеченной части:N z ,1 = N z , 2 = N z ,3 = N z , 4 = −R A = −75 kн;N z ,5 = N z ,6 = N z ,7 = N z ,8 = −H A = −1,67 kн;Q y,1 = Q y,2 = Q y,3 = Q y,4 = −H A = −1,67 kн;Q y,5 = Q y,6 = −F2 = −20 kн;Q y,7 = −F2 + R A = −20 + 75 = 55 kн;M x,1 = 0;M x,2 = H A ⋅ 4 = 1,67 ⋅ 4 = 6,7 kн ⋅ м(сжаты правые волокна стойки);M x,3 = M x,2 + M = 6,7 + 40 = 46,7 кН ⋅ м;M x,4 = H A ⋅ 6 + M = 10 + 40 = 50 кН ⋅ м;M x,5 = 0;M x,6 = F2 ⋅ 2 = 40 кН ⋅ м;(сжаты нижние волокна ригеля);M x,7 = F2 ⋅ 2 + M + H A ⋅ 6 = 40 + 40 + 10 = 90 кН ⋅ м;M x,8 = F2 ⋅ 2 + M + H A ⋅ 6 + q ⋅ 2 ⋅ 1 − R A ⋅ 2 = 80 + 40 + 10 + 20 − 150 = 0Вновь подчеркнем, что знаки "+" и "-" для изгибающих моментов M xпринимаются относительно, то есть для разграничения противоположнонаправленных моментов, а эпюра M x строится со стороны сжатых волокон.Из рассмотрения правой отсеченной части:N z ,9 = N z ,10 = H B − F1 = 28,33 − 30 = −1,67 кН;N z ,11 = N z ,12 = N z ,13 = N z ,14 = R B = 15 кН;Q y,9 = q ⋅ 2 + R B = 20 + 15 = 35 кН;Q y,10 = R B = 15 кН;Q y,11 = Q y,12 = − H B + F1 = −28,33 + 30 = 1,67 кН;Q y,13 = Q y,14 = − H B = −28,33 кН;M x,9 = H B ⋅ 6 − R B ⋅ 2 − F1 ⋅ 4 − q ⋅ 2 ⋅ 1 = 170 − 30 − 120 − 20 = 0M x,10 = H B ⋅ 6 − F1 ⋅ 4 = 170 − 120 = 50 кН ⋅ м;35(сжаты верхние волокна ригеля)M x,11 = M x,10 = 50 кН ⋅ м(сжаты правые волокна стойки)M x,12 = M x,13 = H B ⋅ 2 = 56,66 кН ⋅ мM x,14 = 0Эпюры N z , Q y , M x , построенные по вычисленным значениям, приведенына рис.14,б,в,г.1.17 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР В ПЛОСКО-ПРОСТРАНСТВЕННЫХСИСТЕМАХСистему, состоящую из прямолинейных стержней, жестко соединенныхмеждусобой,расположенныхводнойплоскостиинагруженныхперпендикулярно к этой плоскости, будем называть плоско-пространственной.В настоящем пособии будем рассматривать только жесткозащемленыеплоско-пространственные системы (далее сокращенно: ППС).

При этомвозможны два основных варианта:1) системарасполагаетсягоризонтально,нагрузкиприложеныввертикальных плоскостях (рис.15,а.,б),2) система располагается в вертикальной плоскости, нагрузки приложеныгоризонтально (рис.15,в,г)В первом случае (рис.15,а,б) в поперечных сечениях стержней системымогут возникать поперечная силаQ y , изгибающий момент M x и крутящиймомент M KP ; во втором случае - Q x , M y , M KP . Очевидно, что поворотом на 90градусов системы второго вида (рис.15,в,г) приводятся к системам первоговида, при этом Q x переходит в Q y , M y - в M x , поэтому в дальнейшемограничимся рассмотрением систем первого вида.Известно, что при одновременном наличии в сечениях изгибаемойстержневой системы внутренних моментов и внутренних сил влияние36последних на напряженно-деформированное состояние системы незначительно(исключениесоставляет"короткие"стержни),поэтомуисключимизрассмотрения поперечную силу Q y .Итак, остановимся на правилах построения эпюр M x и M KP для плоскопространственных систем.Рис.15Пример 11.