МУ - Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович
Описание файла
PDF-файл из архива "МУ - Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
¬¨¨áâ¥àá⢮ ®¡à §®¢ ¨ï ¨ 㪨 à®áᨩ᪮© 䥤¥à 樨¥¤¥à «ì®¥ £¥âá⢮ ¯® ®¡à §®¢ ¨î®á㤠àá⢥®¥ ®¡à §®¢ ⥫쮥 ãç०¤¥¨¥¢ëá襣® ¯à®ä¥áᨮ «ì®£® ®¡à §®¢ ¨ï®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å¨ç¥áª¨© ¨áâ¨âãâ(£®á㤠àáâ¢¥ë© ã¨¢¥àá¨â¥â) ä¥¤à ¢ëá襩 ¬ ⥬ ⨪¨ , 祡®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥®áâ ¢¨â¥«ì: .. ¥â஢¨ç®áª¢ , 2007 517.22, 517.24¥æ¥§¥â:®ªâ®à 䨧¨ª®-¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å 㪠¢ ®¢ . .।¥«, ¥¯à¥à뢮áâì ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨©¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå: 祡®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥ / ®áâ... ¥â஢¨ç | .: , 2007. 64 á. 517.22, 517.24 ¯à¨¬¥à¥ äãªæ¨© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå ¯®ïáï¥âáï ª ç¥á⢥®¥®â«¨ç¨¥ ¯®ï⨩ ¯à¥¤¥« , ¥¯à¥à뢮á⨠¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâ¨äãªæ¨© ¬®£¨å ¯¥à¥¬¥ëå ®â ®¤®¬¥à®£® á«ãç ï.
ᮡ®¥ ¢¨¬ ¨¥ 㤥«¥® ¢®¯à®á ¬, ª®â®àë¥ ®¡ëç® ¯®¢¥àå®áâ® ®á¢¥é îâáï¢ ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ , çâ® ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¥¢¥à®¬ã¨å ¯®¨¬ ¨î ¨ ¥¢¥à®¬ã à¥è¥¨î ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç (á¢ï§ì¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« á ¯à¥¤¥« ¬¨ ¯® ¯à ¢«¥¨ï¬, ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ ⠯ਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤¢®©ëå ¯à¥¤¥«®¢,¯à¨¬¥¥¨¥ ¤«ï í⮩ 楫¨ ®¤®¬¥à®© ä®à¬ã«ë ¥©«®à , ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠äãªæ¨© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå). ᯮ«ì§ã¥âáï 㤮¡ ï ¥ ᮢᥬ ®¡ëç ï ᨬ¢®«¨ª ¤«ï 宦¤¥¨ï ç áâëå¯à®¨§¢®¤ëå, ªæ¥â¨àã¥âáï ¢¨¬ ¨¥ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¯®«ãç¥¨ï ªªãà âëå ®æ¥®ª ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤¢®©ëå ¯à¥¤¥«®¢.
¨£¤¥ à ¥¥ ¥ ¯à¨¢®¤¨«®áì à¥è¥¨¥ â ª®£® ª®«¨ç¥áâ¢ à §®®¡à §ëå ¯à¨¬¥à®¢.। § 祮 ¤«ï áâ㤥⮢ ¨ ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥© 㨢¥àá¨â¥â®¢ ¨â¥å¨ç¥áª¨å ¢ã§®¢.c°®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å¨ç¥áª¨© ¨áâ¨âãâ(£®á㤠àáâ¢¥ë© ã¨¢¥àá¨â¥â), 2007c .. ¥â஢¨ç, á®áâ ¢«¥¨¥, 2007°®¤¥à¦ ¨¥I. ।¥« äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå . . . . .
. 4§ 1.¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠. . . . . . . . . . . .§ 2. ®¯ë⪨ ᢥ¤¥¨ï ª ¯à¥¤¥« ¬ äãªæ¨© ®¤®©¯¥à¥¬¥®© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. ®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« § 4. ¯à¨¬¥¥¨¨ ®¤®¬¥à®© ä®à¬ã«ë ¥©«®à ª¢ëç¨á«¥¨î ¤¢®©ëå ¯à¥¤¥«®¢ . .
. . . . . . . . . . . ..4. 6. 11. 14II. ¥¯à¥à뢮áâì äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå 20§ 1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®ï⨥¬ ¯à¥¤¥« . . . . . . . . . 20§ 2. áá«¥¤®¢ ¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨© . . . . . . . . . . 23III. ¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å¯¥à¥¬¥ëå . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28§ 1. áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. ¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ . . . . . . . . .§ 3. ¨ää¥à¥æ¨ «. ¢ ਠâ®áâì ä®à¬ë¤¨ää¥à¥æ¨ « . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. ®à¬ «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ . . . . . . . . . .
. . .§ 5. áá«¥¤®¢ ¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ .⢥âë ª ã¯à ¦¥¨ï¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . .¯¨á®ª «¨â¥à âãàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 32.....3538456364I. § 1.¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëåä®à¬ «ì® ¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨®¤®© ¯¥à¥¬¥®©. ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ ®¡ë箤 îâáï ¤¢ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤¥« | ¯® ®è¨ ¨ ¯® ¥©¥, ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨å à ¢®á¨«ì®áâì.¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.1 (¯® ®è¨). ãªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ ï ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ ~a, ¨¬¥¥â ¢í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì®£® ç¨á« ε ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì®¥ ç¨á«® δ , çâ® ¤«ï¢á¥å ~x ¨§ ¯à®ª®«®â®© δ -®ªà¥áâ®á⨠~a ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮|f (~x) − b| < ε. ï§ëª¥ ª¢ â®à®¢: lim f (~x) = b, ¥á«¨~x→~a∀ε > 0 ∃δ > 0 :∀~x ∈ Ůδ (~a) → |f (~x) − b| < ε. í⮬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ~x = (x1 , .
. . , xn ) ¨ ~a = (a1 , . . . , an )| â®çª¨ n-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠Rn ; f (~x) == f (x1 , . . . , xn ) (¢® ¨§¡¥¦ ¨¥ ¯ãâ ¨æë, ¥á«¨ â®çª Rn ®¡®§ ç ¥âáï ¬ «®© ¡ãª¢®© « â¨áª®£® «ä ¢¨â , ¬ë ¡ã¤¥¬ áâ ¢¨âì ¤ í⮩ ¡ãª¢®© áâ५ªã; ¥á«¨ áâ५ª¨ ¥â | íâ® ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®, â.¥. â®çª ç¨á«®¢®© ¯àאַ© R1 ). ப®«®â ﮪà¥áâ®áâì â®çª¨ ~a | íâ® ¬®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® 0 << ρ(~x,~a) < δ , £¤¥ρ(~x,~a) =p(x1 − a1 )2 + . . . + (xn − an )2 .¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.2 (¯® ¥©¥). ãªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ ï ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ ~a, ¨¬¥¥â ¢ í⮩â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨~xk â ª®©, çâ® ~xk 6= ~a ¨ lim ~xk = ~a, ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮k→∞lim f (~xk ) = b.k→∞室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠â®ç¥ª ~xk ª â®çª¥ ~aç ¥â, çâ® lim ρ(~xk ,~a) = 0, â.¥.5®§ -k→∞∀ ε > 0 ∃ k0 :∀ k > k0 → ρ(~xk ,~a) < ε.ᥠ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠¯à¥¤¥«®¢ äãªæ¨© ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© á®åà ïîâáï ¢ ¬®£®¬¥à®¬ á«ãç ¥: â¥®à¥¬ë ®¡ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨ïå á ¯à¥¤¥« ¬¨, ᢮©á⢠¯à¥¤¥«®¢, á¢ï§ ë¥ á ¥à ¢¥á⢠¬¨ ¨ â.¤.
ãªæ¨ï α(~x) §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¯à¨ ~x → ~a, ¥á«¨ lim α(~x) = 0. ᫨ äãªæ¨ï~x→~af (~x) ®£à ¨ç¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨~a, äãªæ¨ï α(~x) ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ ~x → ~a, â® äãªæ¨ïα(~x)f (~x) â ª¦¥ ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¯à¨ ~x → ~a.®¢®àïâ, çâ® f (~x) = o(g(~x)) ¯à¨ ~x → ~a (f (~x) ¥áâì o ¬ «®¥ ®âg(~x)), ¥á«¨ f (~x) = α(~x)g(~x), £¤¥ α(~x) | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨~x → ~a.
᫨ g(~x) ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠~a, â® íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ à ¢®á¨«ì® à ¢¥áâ¢ãf (~x)lim= 0.~x→~a g(~x)¥á¬®âàï ®¡é®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¯à¥¤¥« ¤«ï äãªæ¨© ¬®£¨å ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨æ¨¯¨ «ì® á«®¦¥¥, 祬 ¢ ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¯®-à §®¬ã ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ x >> a ¨ x < a, â® ¤®áâ â®ç® ¨áá«¥¤®¢ âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¤®áâ®à®¨å ¯à¥¤¥«®¢ á«¥¢ ¨ á¯à ¢ . ç¨á«®¢®© ¯àאַ© ªâ®çª¥ ¬®¦® ¯®¤®¡à âìáï ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨, ¢®â 㦥 ¯«®áª®á⨠R2 â ª¨å ᯮᮡ®¢ ¡¥áª®¥ç® ¬®£®, çâ® ãá«®¦ï¥â á¨âã æ¨î. ਠí⮬ ¢ á«ãç ¥ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å à §¬¥à®á⥩ n > 3ª à⨠¥ ãá«®¦ï¥âáï ª ç¥á⢥®.
à¨æ¨¯¨ «ìë¬ ï¢«ï¥âáï ¨¬¥® ¯¥à¥å®¤ ®â n = 1 ª n = 2. ¤ «ì¥©è¥¬, ¥á«¨ ¥®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® n = 2.®çª ~x ¯«®áª®á⨠§ ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ª®®à¤¨ â å: ~x = (x, y);f (~x) = f (x, y). ।¥« äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå §ë¢ ¥âá濫®©ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨ ®¡®§ ç ¥âáïlim(x,y)→(x0 ,y0 )f (x, y)¨«¨lim f (x, y).x→x0y→y06¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯® ®è¨:lim f (x, y) = b,x→x0y→y0¥á«¨f (x, y)®¯à¥-¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© p¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®áâ¨∃ δ > 0: ∀ (x, y), 0 << ε.(x0 , y0 ) ¨ ∀ ε > 0(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ → |f (x, y)−b| <¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯® ¥©¥:lim f (x, y) = b,x→x0y→y0¥á«¨f (x, y)®¯à¥-¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠(x0 , y0 ) ¨ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xk , yk ) â ª®©, çâ® (xk , yk ) 6= (x0 , y0 ) ¨lim (xk , yk ) = (x0 , y0 ), ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ lim f (xk , yk ) =k→∞k→∞= b.¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ãá«®¢¨¥ (xk , yk ) 6= (x0 , y0 )®§ ç ¥â ¥á®¢¯ ¤¥¨¥ â®ç¥ª; ¯à¨ í⮬ ¢®§¬®¦®, ¯à¨¬¥à,çâ® xk = x0 (® ⮣¤ ®¡ï§ â¥«ì® yk 6= y0 ).§ 2.®¯ë⪨ ᢥ¤¥¨ï ª ¯à¥¤¥« ¬ äãªæ¨© ®¤®©¯¥à¥¬¥®© áâ¥á⢥® ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á, ¥«ì§ï «¨ ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ f (x, y) ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) ᢥá⨠ª ¯à¥¤¥« ¬ ¢¨¤ lim ( lim f (x, y)) ¨ lim ( lim f (x, y))?x→x y→yy→y x→x0000yy0 + δy0y0 − δ0x0 − δ¨á.
1.1x0x0 + δx7®ç¥¥, ¥á«¨ f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®©®ªà¥áâ®á⨠(x0 , y0 ), â® ® ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ª¢ ¤à ⥠¢¨¤ {x0 −− δ < x < x0 + δ , y0 − δ < y < y0 + δ} á ¢ëª®«®â®© â®çª®©(x0 , y0 ) (á¬. à¨á. 1.1). ãáâì ¤«ï «î¡®£® x ∈ (x0 − δ; x0 ++ δ), x 6= x0 , áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = lim f (x, y) (áâ५ª¨ ¢¨§y→y0¨ ¢¢¥àå à¨á. 1.1). ª ª ª äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©ϕ(x) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© δ -®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨x0 , â® ¬®¦® ¯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ lim ϕ(x)x→x0(áâ५ª¨ ¢«¥¢® ¨ ¢¯à ¢® à¨á. 1.1). ᫨ â ª®© ¯à¥¤¥«áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¥£® ¥áâ¥á⢥® §¢ âì ¯®¢â®àë¬ ¯à¥¤¥«®¬lim ( lim f (x, y)).
«®£¨ç® ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤à㣮© ¯®¢x→x0 y→y0â®àë© ¯à¥¤¥« y→ylim ( lim f (x, y)).0 x→x0¥âà㤮 ¯à¨¢¥á⨠¯à¨¬¥à, ª®£¤ ®¡ ¯®¢â®àëå ¯à¥¤¥« áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ᮢ¯ ¤ îâ, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.+ y)2 2ਬ¥à 1.1. áᬮâਬ äãªæ¨î f (x, y) = (x,x +2x + y22+ y > 0. ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨(0; 0), ¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« ¯®áâ ®¢ª ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ limf (x, y). áᬮâਬ á ç « ¯®¢â®àë¥ ¯à¥¤¥«ë.x→0y→02+ y)x«ï «î¡®£® x 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = lim (x22 = 2 = 1,xy→0 x + y¯®í⮬㠯®¢â®àë© ¯à¥¤¥« lim (lim f (x, y)) = 1. «®£¨ç®,2x→0 y→022+ y)¤«ï «î¡®£® y 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ψ(y) = lim (x= y 2 = 1, ¨2x+ y2yx→0¤à㣮© ¯®¢â®àë© ¯à¥¤¥« â ª¦¥ à ¢¥ 1.¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. á ¬®¬ ¤¥«¥,f (x, x) = 2; f (x, −x) = 0.
᫨ ¡ë ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xk , yk ) 6=6= (0, 0) â ª®©, çâ® lim (xk , yk ) = (0, 0), ¢ë¯®«ï«®áì ¡ë à k→∞¢¥á⢮ lim f (xk , yk ) = b. ® ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ lim xk = 0, â®k→∞k→∞f (xk , xk ) = 2, f (xk , −xk ) = 0, â.¥. b = 2 = 0. ®«ã祮¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ®âáãâá⢨¥ ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« .¯à ¦¥¨¥ 1.1. ®ª § âì, çâ® ¤«ï äãªæ¨¨ f (x, y) =822= x2 − y 2 , x2 +y 2 > 0, ®¡ ¯®¢â®àëå ¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0x +yáãé¥áâ¢ãîâ, ® à §«¨çë.½¯à ¦¥¨¥ 1.2.
®ª § âì, çâ® ¤«ï äãªæ¨¨ f (x, y) =1= x sin y , y 6= 0; ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0 à ¢¥ 0,0,y = 0, ¯®¢â®àë© ¯à¥¤¥« lim (lim f (x, y)) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â (¥ áãé¥áâx→0 y→0¢ã¥â ¤ ¦¥ lim f (x, y) ¨ ¯à¨ ®¤®¬ x 6= 0).y→0¯à ¦¥¨¥ 1.3. ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥«lim f (x, y) = b, ¨ ¯à¨ «î¡®¬ x ∈ (x0 − δ; x0 + δ), x 6= x0 ,x→x0y→y0áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = y→ylim f (x, y). ®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¢0â®àë© ¯à¥¤¥« x→xlim ϕ(x) = b.0 éñ ®¤ ¯®¯ë⪠ᢥá⨠¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ª ¯à¥¤¥« ¬ äãªæ¨© ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© | íâ® ¯à¥¤¥«ë ¯® ¯à ¢«¥¨ï¬.¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.3.
ãáâì ~l = (cos ϕ; sin ϕ) | ¥¤¨¨çë©¢¥ªâ®à. ᫨ äãªæ¨ï f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ (x0 ; y0 ), â® ¥ñ ¯à¥¤¥«®¬ ¯à¨ x → x0 ,y → y0 ¯® ¯à ¢«¥¨î ¢¥ªâ®à ~l (¨«¨ ¯® ¯à ¢«¥¨î, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ã 㣫®¬ ϕ) §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ρ:lim f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ).ρ→+0 ¬ ¥ ç ¨ ¥. í⮬ á«ãç ¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¢¢®¤ïâáﯮ«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë ¯«®áª®á⨠á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ).¨ªá¨à®¢ ®¥ § 票¥ ϕ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® äãªæ¨ï à áᬠâਢ ¥âáï «¨èì «ãç¥, ¢ë室ï饬 ¨§ â®çª¨ (x0 , y0 ) ¯®¤ã£«®¬ ϕ ª ¯®«®¦¨â¥«ì®¬ã «ãçã ¯àאַ©, ¯ à ««¥«ì®© ®á¨Ox.â६«¥¨¥ (x, y) ª (x0 , y0 ) ¯à®¨á室¨â «¨èì ¯® í⮬㠫ãçã.ਠϕ = 0 ¯®«ãç ¥¬ ¯à ¢ë© ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© f (x, y0 ) ¢ â®çª¥ x0 :lim f (x, y0 ),x→x0 +0 ¯à¨ ϕ =π2¯®«ãç ¥¬lim f (x0 , y).y→y0 +09⢥ত¥¨¥ 1.1. ᫨ áãé¥áâ¢ã¥âlim f (x, y) = b,x→x0y→y0⮯।¥« ¯® «î¡®¬ã ¯à ¢«¥¨î ¯à¨ x → x0 , y → y0 à ¢¥ b.¤ áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ρk ¯®«®¦¨â¥«ìëå ç¨á¥« â ªãî, çâ® lim ρk = 0.
®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìk→∞®áâì â®ç¥ª (xk , yk ) = (x0 + ρk cos ϕ, y0 + ρk sin ϕ) áâ६¨âáïª â®çª¥ (x0 , y0 ), ¯à¨çñ¬ (xk , yk ) 6= (x0 , y0 ). ®£¤ lim f (x0 +k→∞+ρk cos ϕ, y0 +ρk sin ϕ) = b, â.¥. lim f (x0 +ρ cos ϕ, y0 +ρ sin ϕ) =ρ→+0= b (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤¥« ¯® ¥©¥ äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå x, y ¨ äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ρ). ¥âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ë äãªæ¨¨ f (x, y) ¯® ¤¢ã¬à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) à §«¨çë, â® ¤¢®©®©¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ª, ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) =(ρ cos ϕ + ρ sin ϕ)2= (cos ϕ + sin ϕ)2ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ(¯à¨ ϕ = π4 ¨¬¥¥¬ 2; ¯à¨ ϕ = − π4 ¨¬¥¥¬ 0).