ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 8

Оценить неопределенность в угловой координате Δϕмомента импульса электрона L в атоме водорода.Решение. В соответствии с постулатом Бора момент импульсаэлектрона в атоме водорода квантуется L = mv r = nh . Момент импульсаL и угловая координата ϕ – сопряженные физические величины.Соотношение неопределенности для них имеет вид ΔLΔϕ ≥ h .

Дляh h 1оценки в случае, если ΔL = L то Δϕ ≈ == . Для основногоL nh nсостояния атома водорода n = 1, тогда Δϕ = 1рад = 57,3° . Это значит,что говорить об определенной траектории электрона в невозбужденноматоме водорода нельзя.Задача 2.9. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода Т= 10эВ. Используя соотношение неопределенности, оценитьминимальные размера атома.43Решение. Неопределенности координаты и импульса связанысоотношением ΔrΔp ≥ h . Если атом имеет линейный размер l, то можносчитать Δr = l 2 . Неопределенность импульса не должна превышатьсамого импульса. Тогда l ≥ 2h p . Импульс связан с кинетическойэнергией соотношением p = 2mT .

Следовательно,lmin =o2h2 ⋅ 6,62 ⋅ 10−34−10.==1,24⋅10м=1,24A2mT 6,28 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19Задача 2.10. Используя соотношение неопределенности, оценитьширину энергетического уровня в атоме водорода, находящемся: 1) ввозбужденном состоянии, где время жизни τ = 10−8 с ; 2) в основномсостоянии, где время жизни τ = ∞ .Решение. Неопределенность времени жизни не должнапревышать самого времени жизни, Δτ = τ . Из соотношениянеопределенности ΔEΔτ ≥ h получим для оценки ΔEτ ≈ h .

Здесь ΔE ширина энергетического уровня или энергетическая зона.Если τ = 10−8 с , тоh 1,05 ⋅ 10−34ΔE ≈ == 1,05 ⋅10−26 Дж = 7 ⋅10−8 эВ .−8U(x)τ10Если, τ = ∞ , то ΔE = 0 .Задача 2.11. Частица находится вIIIIIодномерной прямоугольной потенциальной Iяме с бесконечно высокими стенками ишириной l(Рис.2.3).

Найти возможныезначенияэнергии,выражениядлясобственныхфункцийчастицыи 0lxраспределение вероятности обнаруженияРис. 2.3.частицы по ширине ямы.Решение. По условию задачиU(x) = 0 при 0 < x < l;U(x) = ∞ при x ≤ 0, x ≥ l.Все пространство -∞ < х < ∞ разобьем на три области: I, II, III.Поскольку потенциальная яма имеет бесконечно высокие стенки, тоэлектрон не может выйти за ее пределы, т.е. вероятность обнаружитьэлектрон в областях I и III равна нулю: |ψ1(x)|2 = 0 и |ψ3(x)|2 = 0.Граничные условия непрерывности волновой функции ψ вточках x1 = 0 и x2 = l имеют видψ1(0) = ψ2(0) = 0; ψ2(l) = ψ3(l) = 0.Запишем уравнение Шредингера для электрона в области II44d 2 ψ 2 2m+ 2 Eψ 2 = 0 .hdx 2Здесь2mE.h2С учетом введенного обозначения уравнение Шредингеразапишем в видеd 2ψ 2+ k 2ψ 2 = 0.2dxk2 =Его решение будем искать в видеψ2(x) = Asin(kх) + Вcos(kх),где A и B - некоторые постоянные, определяемые из граничныхусловий.

Используя граничные условия при x = 0 получим, чтоконстанта B = 0. Подставляя x = l, находим ψ2(l) = 0, то есть Asin(kl) =0. Поскольку A ≠ 0, то sin(kl) = 0. Тогдаk l = nπ,где n = 1,2,3… Откуда находим возможные значения энергииэлектронаπ2h 2 2Еn =n.2ml 2Таким образом, граничные условия выполняются лишь длядискретного ряда значений энергии En. Следовательно, из решенияуравнения Шредингера следует, что частица, находящаяся впотенциальной яме, может иметь только дискретный спектр энергий.Теперь решение уравнения Шредингера можно записать в видеψ2(x) = Asin(kl), или подставив значения k = nπ/l, получимnπψ 2 ( х) = А sin( х).lПостоянную A найдём из условия нормировки на единицу:l∫ ψ 2 (x )2dx = 1.01⎛ nπ ⎞⎛ 2πn ⎞⎤2 1⎡x ⎟⎥dx = An2l = 1.⎜ x ⎟dx = An ∫ ⎢1 − cos⎜2⎝ l ⎠⎝ l ⎠⎦00 2⎣Следовательно, An = 2 / l . Для волновой функции ψ2 получимнормированное выражение2πnsin( x).ψ2 =lll∫ An sin22l45Плотность вероятности обнаружения частицы в состояниях,описываемых найденной ψ –функцией, по определению равнаw=dWdxВероятность dW обнаружить частицу в интервале dx равна2 sin 2 (nπx l )dxdW = wdx = ψ( x )ψ ( x )dx = ψ dx =.l2*ψ( x ), ψ * ( x ) - комплексно сопряженные значения ψ( x ) -функции.Состояния электронов, описываемые этой функцией, являютсястационарными состояниями.

На рис. 2.4 приведены графики: (а) значений энергии En, (б) - волновых функций ψn(x) и (в) - плотностейраспределения вероятности wn(x) = |ψn(x)|2.ψn (x)Enw n(x)n=3n=2n=10xxa)б)xв)Рис. 2.4wn ( x ) = ψ n ( x ) = ψ n ( x )ψ*n ( x )характеризуетГрафикраспределение вероятности обнаружения частицы внутри ямы приразличных значениях энергии частицы. Как видно из рисунка, вn = 1 (основное состояние) снизшем энергетическом состояниинаибольшей вероятностью можно найти частицу около середины ямы,а вероятность найти ее у стенок равна нулю. Этот результат резкоотличается от того, который можно ожидать для макроскопическойчастицы.

Классическую частицу с равной вероятностью можно найти влюбом месте пространства.2Задача 2.12. Показать, что спектр энергии свободной частицы спериодической ψ-функцией непрерывен.46Решение. Для свободной частицы волновая функция имеет видψ( x ) = Aeikx , где k -волновое число. Если на концах участка длиной lψ-функция имеет одинаковое значения, то есть являетсяψ( x ) = ψ( x + l )(квантованиенадлинупериодической,топериодичности). Следовательно Aeikx = Aeik ( x +l ) . Это означает, чтоeikl = 1 .

Используя формулу Эйлера, получимeikl = cos kl + sin kl = 1;i sin kl = 0; cos kl = 1.2π n 2 4π2 n 2 2mE;k = 2 = 2 .Следовательно, kl = 2π n; k =llhОткуда получим выражение для энергии частицыn 2h 2E=, где n = 1, 2, 3...2ml 2Если частица имеет макроскопические размеры, то несмотря намалую массу частицы, спектр энергии практически непрерывен.Расстояние между энергетическими уровнями:2h 2 (n + 1) − n 2 h 2 (2n + 1)ΔE ==≈0 .2ml 22ml 2()Задача 2.13. Моноэнергетический поток электронов с энергией Епадает на низкий ( E > U 0 ) потенциальный барьер бесконечной ширины(рис.2.5).Записать стационарные уравнения Шредингера. Представить вид ихрешения. Найти коэффициенты отражения и прозрачности барьера.Решение.

ДвиженииЕIIIэлектронов происходит в двухобластях:1) U = 0 (х < 0)2) U = U 0 ( x ≥ 0 )ЕU0Уравнения Шредингера дляэтих областей:2mEψ1′′ + 2 ψ1 = 0 (m – массах0hэлектрона)Рис. 2.5.2m(E − U 0 )ψ′2′ +ψ2 = 0h22mE2m(E − U 0 )= k22Учитывая, что 2 = k12 и2hh47где k1 , k2 - волновые числа, решения уравнений Шредингерапредставим в виде:ψ1 ( x ) = a1eik1x + b1e−ik1x ( x < 0)ψ 2 ( x ) = a2eik2 x + b2e−ik2 x ( x > 0)где а и b - амплитуды волн.Слагаемые правой части функции ψ( x ) можно рассматриватькак суперпозицию двух волн (прямой и отраженной), но так как вобласти 2 нет отраженной волны, то b2 = 0 . Значит ψ 2 ( x ) = a2eik2 xВоспользуемся условием непрерывности ψ -функции и ее первойпроизводной ψ′ на границе раздела:ψ1 ( x = 0) = ψ 2 ( x = 0) ⇒ a1 + b1 = a2ψ1′ ( x = 0) = ψ′2 ( x = 0) ⇒ ik1 (a1 − b1 ) = ik2 a2a1 =a2 ⎛ k 2 ⎞ a 2⎜1 + ⎟ =(k1 + k2 )2 ⎜⎝ k1 ⎟⎠ 2k1b1 =a2 ⎛ k 2 ⎞ a2⎜1 − ⎟ =(k1 − k2 )2 ⎜⎝ k1 ⎟⎠ 2k1Коэффициент отражения R равен отношению интенсивностейотраженной и падающей волн, а те в свою очередь пропорциональныквадратам амплитуд:22⎛b ⎞ ⎛k −k ⎞R = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟⎝ a1 ⎠ ⎝ k1 + k2 ⎠Коэффициент прозрачности:2⎛k −k ⎞4k1k2D = 1 − R = 1 − ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ =2⎝ k1 + k2 ⎠ (k1 + k2 )D всегда больше нуля.Задача 2.14.

Моноэнергетический поток электронов с энергией Епадает на высокий ( E < U 0 )ЕIIIпотенциальныйбарьербесконечной ширины (рис.2.6).Записать уравнения Шредингера,U0представить вид их решения. Найтираспределениеплотностивероятности w(x).Е0Рис. 2.6.48хРешение. Стационарные уравнения Шредингера для областей 1и 2:2mE2mEψ1 = 0; k1 =2hh22m(U 0 − E )2m(U 0 − E )ψ′2′ −ψ=0;k=22h2h2Решение уравнений:ψ1 ( x ) = a1eik1x + b1e − ik1xψ1′′ +ψ 2 ( x ) = a2e k2 x + b2e−k2 xТак как при x → ∞ , слагаемое a2eik2 x → ∞ , а это нарушениесвойства ограниченности функции ψ 2 ( x ) . Тогда a2 = 0 иψ 2 ( x ) = b2e − k2 x .Используем свойства непрерывностифункций и ихпроизводных:ψ1 ( x = 0) = ψ 2 ( x = 0) ⇒ a1 + b1 = b2ψ1′ ( x = 0) = ψ′2 ( x = 0) ⇒ ik1 (a1 − b1 ) = −k2b211kka1 − b1 = − 2 b2 , но − = i , то есть a1 − b1 = i 2 b2ik1i k1Решаем систему двух уравнений, получимb ⎛k ⎞a1 = 2 ⎜⎜1 + i 2 ⎟⎟2⎝k1 ⎠b2 ⎛k ⎞⎜⎜1 − i 2 ⎟⎟2⎝k1 ⎠Из этих выражений следует, что a1 и b1 - комплексно сопряженныечисла.

Их можно представить в виде, не связанном с b2 :a1 = aeiϕb1 =b1 = ae −iϕ ; ϕ = constИспользуя уравнения Эйлера:a1 = a(cos ϕ + i sin ϕ), b1 = a(cos ϕ − i sin ϕ)b2 = a1 + b1 = 2a cos ϕТогда решения уравнений Шредингера:ψ1 ( x ) = aeiϕeik1x + ae − iϕe − ik1x = aei (k1x +ϕ ) + ae − i (k1x +ϕ ) == a[cos(k1 x + ϕ) + i sin (k1 x + ϕ) + cos(k1 x + ϕ) − i sin (k1 x + ϕ)] = 2a cos(k1 x + ϕ).Это косинусоида.49ψ 2 ( x ) = b2e − k2 x = 2a cos ϕ ⋅ e − k2 x .Это экспонента.Плотность вероятности электронов вдоль оси х:2w( x ) = ψ( x )w1 ( x ) = 4a 2 cos 2 (k1 x + ϕ), при x = 0 w1 (0 ) = 4a 2 cos 2 ϕw2 ( x ) = 4a 2 cos 2 ϕ ⋅ e −2 k2 x , при x = 0 w2 (0 ) = 4a 2 cos 2 ϕw1 (0) = w2 (0 )Графическая интерпретация ψ ( x ) и w( x )w(x)ψ(x)0Рис. 2.7.х0хРис.

2.8.Задача 2.15. Частица с массой m и энергией E налетает слевана высокий ( E < U 0 ) потенциальный барьер конечной ширины l(рис.2.9).ЕIIIIIIа)Найтикоэффициентпрозрачности барьера D длячастицы (m, E)U0б)вычислитьвероятностьпрохождениячерезбарьерЕиl = 10−8 смU 0 = 10 эВх0электрона (E = 5 эВ) и протона(E = 5 эВ).Рис. 2.9.в) Записать вид функции w( x )Решение. Запишем стационарные уравнения Шредингера длятрех областей ( x < 0; 0 ≤ x ≤ l ; x > l ) области 1 и 3:502mE2mEψ1,3 = 0; k =2hh22m(E − U 0 )2 m( E − U 0 )ψ′2′ +ψ=0;k=22h2h2Решения этих уравнений:ψ1 ( x ) = a1eikx + b1e − ikxψ1′′,3 +ψ 2 ( x ) = a2e k2 x + b2e−k2 xψ 3 ( x ) = a3eik ( x −l )Волновой функции ψ 3 ( x ) только одно слагаемое, так как вобласти 3 частица может двигаться только слева направо.Для нахождения соотношений между амплитудами ψ -функцийвоспользуемся условиями непрерывности ψ -функций и их первыхпроизводных.ψ1 (0) = ψ 2 (0) ⇒ a1 + b1 = a2 + b2ψ 2 (l ) = ψ 3 (l ) ⇒ a2ek2l + b2e −k2l = a3ψ1′ (0) = ψ′2 (0) ⇒ ik (a1 − b1 ) = k2 (a2 − b2 )ψ′2 (l ) = ψ′3 (l ) ⇒ k2 (a2e k2l − b2e−k2l ) = ika3⎧a1 + b1 = a2 + b2⎪⎨k2⎪⎩a1 − b1 = ik (a2 − b2 )Выразим a1 через a3 , так как коэффициент прозрачности2⎛a ⎞барьера D = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ .