ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 7

фазовая скорость будетdx E c 2vфаз = = =(2.6)dt p vСкорость движенияскоростью волн де Бройлячастицыхарактеризуетсягрупповой(2.7)dω.dkСвязь длины волны де Бройля с кинетической энергией Тчастицыа) если v << c2πλ=,2m0Tб) в релятивистском случае2πhсλ=,T (T + 2E0 )vгр = v =где E0 = m0c 2 - энергия покоя частицы.Соотношение неопределенностейПоскольку электрон или любая другая частица обладаетсвойствами волны, то одновременное точное определенииеекоординаты и импульса невозможно. Произведение неопределенностикоординаты на неопределенность соответствующей компонентыимпульса не может быть меньше постоянной Планка:(2.8)Δx ⋅ Δp x ≥ hΔ y ⋅ Δp y ≥ hΔ z ⋅ Δp z ≥ hΔx, Δy , Δz - интервалы координат, в которых локализована частица.Эти соотношения называются соотношениями неопределенностейГейзенберга.Под неопределенностью ΔА физической величины Аподразумевается среднее квадратичное отклонение, вычисляемое поформуле(2.9)ΔA = 〈 ( A − 〈 A〉 ) 2 〉 = 〈 A 2 〉 − 〈 A〉 2 .37Соотношения неопределенностей также справедливы для другихсопряженных пар физических величин (энергия E и время t , моментимпульса L и угловая координата ϕ).Если система, например, находится в нестационарном состояниив течении времени Δt , то энергию системы можно измерить лишь сточностью, не превышающей h Δt , т.е.ΔE ⋅ Δt ≥ h .(2.10)Волновая функция и уравнение ШредингераОсновным уравнением нерелятивистской квантовой механики,описывающим поведение микрочастиц в потенциальном силовом полеявляется уравнение Шредингера.Полное нестационарное (временное) уравнение Шредингераимеет вид.dΨ ( r , t )h2(2.11)ih=−ΔΨ ( r , t ) + U ( r , t )Ψ ( r , t ) ,dt2mгде Ψ(r,t) - полная волновая функция, m - масса частиц, U(r,t) потенциальная энергия, Δ - оператор Лапласа, который в декартовыхкоординатах имеет вид∂2∂2∂2Δ= 2 + 2 + 2.∂x∂y∂zОдномерное нестационарное уравнение Шредингера имеет видdΨ ( x , t )h2 ∂2(2.12)ih=−Ψ ( x , t ) + U ( x, t ) Ψ ( x, t ) ,dt2m ∂x 2где i = − 1 - мнимая единица.

В случае, когда силовое поле, вкотором движется частица, стационарно, то есть функция U не зависитот времени и имеет смысл потенциальной энергии, решение этого(2.12) уравнения можно записать в видеE−i th(2.13)Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) ⋅ e= ψ ( x ) ⋅ e − iω t .Для значительного числа явлений в микромире важно находитьстационарное решение, не содержащее зависимости от времени. Длястационарных состояний одномерное уравнение Шредингера имеетвидd 2 ψ ( x ) 2m(2.14)+ 2 ( E − U ( x))ψ( x) = 0.dx 2hгде Е – полная энергия, U (x) - потенциальная энергия частицы, m масса частицы. Решение этого уравнения - пси-функция вида38ψ ( x ) = A ⋅ e − ikx ,(2.15)2m( E − U ( x)) .h2Это решение прямого физического смысла не имеет.

Следуетиметь ввиду, что волновая функция должна удовлетворятьстандартным условиям: однозначность, конечность, непрерывностьвместе с первой производной. Она удовлетворяет условиюнормировки.где k =2∞∫−∞ ψ( x) dx = 1(2.16)Если выполнить интегрирование по всем возможнымместоположениям частицы, то вероятность превратится в вероятностьдостоверного события, поэтому волновая функция нормирована наединицу.Подынтегральное выражение имеет физический смысл.

Этоплотность вероятности стационарного состояния, которая равна2(2.17)w( x ) = ψ ( x ) = ψ ( x ) ψ * ( x ) ,где ψ* ( x) - комплексно сопряженное значение ψ -функции. Дляодномерного случая вероятность обнаружить частицу в интервале [x;x+dx] определяется формулойdW = w( x )dx(2.18)Для одномерного случая вероятность обнаружить частицу винтервале [a; b] определяется формулойbW ([a; b]) = ∫ | ψ ( x) |2 d x.(2.19)aСредние значения физических величинЕсли известна волновая функция, описывающая состояниечастицы в определенный момент времени, то среднее значение(математическое ожидание) физической величина А, характеризующееповедение частицы, выражается формулойA = ∫ ψ* A ψ dV .(2.20)VДля одномерного случая, если х меняется от 0 до l.lA = ∫ ψ* A ψ dx.(2.21)039Например, среднее значение координаты х микрочастицыl2x = ∫ x ψ dx .0Аналогично, среднее значение х3l2x3 = ∫ x3 ψ dx .02.2.Примеры решения задачЗадача 2.1. Найти длину волны де Бройля для 1) электрона,летящего со скоростью v = 106 м/с; 2) α -частицей, движущейся соскоростью, равной наиболее вероятной скорости при температуре 0°С(273 К); 3) шарика массой 106 кг, движущегося со скоростью 1 м/с? Вкаком из этих случаев необходимо учитывать волновые свойствачастиц?Решение.

Для определения длины волны воспользуемся формулой деhБройля. λ =p1.Оценим λ e для электрона.o6,62 ⋅ 10 −34−10.λe ==7,3⋅10м=7,3А9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 1062. Определим λ α для α -частицы (ядра атома гелия, 4 нуклонаmα = 4 ⋅ 1,67 ⋅ 10 −27 кг )hλα =mα vнвнайдем из формулы для наиболее вероятной скорости скорость2 RT2kT=.движения α -частицы: vнв =μmαПодставив это значение, найдем6,62 ⋅ 10−34hλα === 0,93Å .2mαT2 ⋅ 1,38 ⋅ 10−23 ⋅ 1,67 ⋅ 10−27 ⋅ 2,73 ⋅ 1023. Для шарика массой 10-3 кгh 6,62 ⋅ 10−34λш === 6,62 ⋅ 10−21 Å.−3mv10Волновые свойства частиц можно обнаружить в опытах подифракции.

Явление дифракции наблюдается, если длина волны40соизмерима с размерами препятствия. Обнаружить дифракцию дляволн, связанных с движением шарика невозможно, так как шарикявляется макроскопическим объектом и его движение описываетсязаконами классической механики.Задача 2.2. Доказать, что скорость движения нерелятивистскихмикрочастиц v равна групповой скорости vгр волн де Бройля.Решение.

Групповая скорость волнdω d (hω) dEvгр ===.dk d (hk ) dpПоскольку E = p 2 2m ,тоdE d ( p 2 2m ) 2 pdp p=== = v = vгр .dpdp2mdp mЗадача 2.3. Используя понятие волны де Бройля применительнок электрону в атоме водорода, вывести постулат Бора о квантованиимомента импульса электрона.Решение. Покажем, что в стационарной боровской орбитеукладывается целое число длин волн де Бройля2πrhn=, λ=.mvλПоэтому2πr ⋅ mvnhn=, отсюда mvr == nh .h2πЧто и требовалось доказать.Задача 2.4. Во время наблюдения дифракции электронов прирассеянии их от кристалла (опыты Девиссона и Джермера) уголскольжения электронного пучка θ = 30° . Постоянная кристаллическойрешетки d = 3 Å.

Пренебрегая преломлением электронных волнопределить энергию электронов при которых наблюдаются два первыхмаксимума отражения.Решение. Угловое положение максимумов при дифракцииэлектронов (как и рентгеновских лучей) определяется с помощьюформулы Вульфа-Бреггов2d sin θ = nλ .Считая длиной волны де Бройля, λ = h m0v = h p, получимnhnh2d sin θ =. Отсюда p =.p2d sin θ41Кинетическая энергия нерелятивистского электрона связана с егоимпульсом соотношениемp2n2h2W==.2m0 8d 2 m0 sin 2 θПринимая n1= 1, n2 = 2, находим энергию212 (6,62 ⋅ 10−34 )= 16,7 эВ.W1 =28(3 ⋅ 10−10 ) 9,1 ⋅ 10−312,5 ⋅ 10−1 ⋅ 1,6 ⋅ 10−1922 (6,62 ⋅ 10−34 )2W2 =8(3 ⋅ 10) 9,1 ⋅10−10 2−31−12,5 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19= 66,9 эВ.Задача 2.5. Определить длину волны де Бройля для движущегосяэлектрона, если известно, что масса m его на 1% больше массы покояm0.Решение.Электронрелятивистский,следовательно,hm0.Таккак, то находимλ=me ==m+0,01m=1,01m000222c ⋅ m − m0v1− 2cскорость электрона ve = с 1 − (m0 m) = 4,2 ⋅ 107 м/с ., а длина волныэлектрона равна λ = 1,7⋅10-11 м = 0,17 Å.2Задача 2.6.

Параллельный поток моноэнергетических электроновпадает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью,ширина которой b = 0,1 мм. Определить скорость электрона, еслиизвестно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 50см,ширина центрального дифракционного максимума Δx = 80 мкм .Решение.

Так как электроны обладают волновыми свойствами,воспользуемся формулой для дифракции на щели. Согласно условиюзадачиэлектроны,Aпопадающие на первыйдифракционный максимум,Bотклоняются в пределахbxугла ϕ (рис 2.2).Егограницы–lминимумыпервогопорядка.ЛинейноеРис. 2.2.расстояние между ними Δx . Условие минимума при дифракции от щели bsin ϕ = kλ .

Из ΔОАВнайдем tg ϕ = Δx 2l ≈ sin ϕ ≈ ϕ , так как ϕ мал. Следовательно, при k = 142Δx λhh, так как λ =. Отсюда получим= =2l b mvbmv2 hl2 ⋅ 6,62 ⋅10−34 ⋅ 0,5v=== 9 ⋅ 106 м/с .−5−31−4Δx m b 8 ⋅ 10 ⋅ 9,1 ⋅10 ⋅ 10Задача 2.7. Найти неопределенность координаты Δx : 1) дляэлектрона с энергией 1 эВ и скоростью v = 6 ⋅107 см/с , найденной сточностью 10%; 2) для маленькой капли массой m = 5 ⋅10−7 г , диаметромd = 0,1мм, движущийся со скоростью v = 10−2 см/с , измеренной сточностью 10%.Решение. Электрон с энергией 1 эВ нерелятивистский.Δvx = 6 ⋅ 104 м/c .НеопределенностьскоростиэлектронаНеопределенность координаты электронаohh6,62 ⋅ 10−34−7Δx ≈===0,019⋅10м=19A.Δpx me Δvx 6,28 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 ⋅ 6 ⋅ 104Это значительно больше размеров атома (1 Å).Δvx = 10−5 м/c .НеопределенностьскоростикаплиНеопределенность координаты каплиohh6,62 ⋅10−34−20−10= 2,1 ⋅ 10 м = 2,1 ⋅ 10 A .Δx ≈==Δpx mΔvx 6,28 ⋅ 5 ⋅10−10 ⋅ 10−5Это во много раз меньше диаметра капли.Задача 2.8.