ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 10

Оценить минимальную кинетическую энергию Тminэлектрона, локализованного в области размером l = 0, 1 нм.2.49. Электрон с кинетической энергией Т = 10 эВ локализован вобласти l = 0, 1 мкм. Найти относительную неопределенностьскорости электрона. Считать Δx = l 2 .2.50. Оценить кинетическую энергию нуклона в ядре, полагаярадиус ядра r ≈ 10 −13 cм .2.51. Частица массы m локализована в области размером l.Оценить кинетическую энергию T частицы, при которой ееотносительная неопределенность будет около 0,01.2.52. Используя соотношение неопределенности ΔxΔp ≈ hоценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода.Принять Δx ≈ l 2 , где линейный размер атома l = 0, 1 нм .2.53. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядреЕ = 10 МэВ, оценить линейные размеры ядра.2.54.

Атом испустил фотон с длиной с длиной волныλ = 0,58 мкм за время τ = 10−8 c . Оценить неопределенность Δx скоторой можно установить координату фотона в направлении егодвижения, а также относительную неопределенность Δλ λ его длиныволны.2.55. Типичное время жизни τ возбужденных ядер имеетпорядок 10−12 c . Найти неопределенность энергии ΔE (в МэВ)испускаемых γ - лучей.572.56.

Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеетотносительную неопределенность кинетической энергии ΔT T .Оценить, во сколько раз неопределенность координаты Δx такойчастицы больше ее волны де Бройля λ .2.57. Оценить относительную ширину спектральной линииΔω ω , если время жизни атома в возбужденном состоянии τ ≈ 10−8 c , адлина волны излучаемого фотона λ = 0,6 мкм .2.58. Написать стационарное уравнение Шредингера длялинейного гармонического осциллятора.

Учесть, что сила,возвращающая частицу в равновесие F = −bx , где b - коэффициентпропорциональности, х - смещение.2.59. Написать уравнение Шредингера для свободного электрона,движущегося в положительном направлении оси х со скоростью v.2.60. Основное состояние электрона в электростатическом полеядра атома водорода описывается радиальной волновой функцией−rr1R(r ) = A ⋅ e , где A - некоторая постоянная, r1 - первый боровскийрадиус.

Найти расстояние r от электрона до ядра, при которомплотность вероятности w(r) имеет максимальное значение.2.61. Состояние частицы описывается волновой функциейψ(x) = A⋅exp(–α⋅x2), где α - положительная постоянная. Найтинормировочный коэффициент A.2.62. Найти нормировочный коэффициент A для волновойфункции ψ(x) = A⋅sin(k⋅x), которая удовлетворяет граничным условиямψ(a) = ψ(b) = 0.2.63.

Основное состояние электрона в электростатическом полеядраатомаводородаописываетсярадиальнойволновойфункцией R ( r ) = A ⋅ exp (− r r1 ), где A - некоторая постоянная,4π ⋅ ε 0 h 2r1 =- первый боровский радиус. Найти вероятностьm ⋅ å2обнаружения электрона в области r ≥ 2r1.2.64.

Радиальная волновая функция некоторой частицы имеетA⎛ r⎞вид R (r ) = exp⎜ − ⎟ , где r - расстояние от этой частицы до силовогоr⎝ a⎠центра, A и a - постоянные. Определить коэффициент A.2.65. Электрон находится в возбужденном состоянии,r⎛r ⎞ − 2 r1⎟⎟ ⋅ е ,описываемом радиальной волновой функцией: R (r ) = A⎜⎜1 −2r⎝1⎠58где r1 - радиус первой боровской орбиты. Найти нормировочныйкоэффициент А.2.66. Электрон находится в возбужденном состоянии,r⎛r ⎞ − 2 r1⎟⎟ ⋅ е ,описываемом радиальной волновой функцией: R ( r ) = A⎜⎜1 −2r⎝1⎠где r1 - радиус первой боровской орбиты.

Найти значение r, прикотором плотность распределения вероятности w(r) имеетмаксимальное значение.2.67. Частица массой m находится в одномерной прямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти энергиючастицы E в стационарном состоянии, описываемом волновойфункцией, пропорциональной sin kx , где k - заданная постоянная, x расстояние от одного края ямы.2.68. Частица массой m находится в одномерной прямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти: 1) массучастицы, если ширина ямы l и разности энергий третьего и второгоΔE ; 2) квантовое число nэнергетических уровней равнаэнергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседнихс ним верхнего и нижнего уровней относятся как η : 1 , где η = 1,4 .2.69.

Частица находится в основном состоянии в одномернойпрямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенкамишириной l. Найти вероятность W обнаружения частицы в областиl 3 < x < 2l 3 .2.70. Частица массой m находится в основном состоянии водномерной прямоугольной потенциальной ямес бесконечновысокими стенками. Максимальное значение линейной плотностивероятности нахождения частицы равно wmax. Найти ширину ямы l иэнергию частицы в этом состоянии.2.71.

Электрону в потенциальной яме шириной l отвечаетволновое число k = πn l , n = 1, 2, 3... . Используя связь энергииэлектрона E с волновым числом k получить выражение длясобственных значений энергии En .2.72. Частица находится в потенциальной яме с бесконечновысокими стенками. Найти отношение разности соседнихэнергетических уровней к энергии частицы в трех случаях: 1) n = 3;2) n = 10; 3) n → ∞ . Пояснить физический смысл полученныхрезультатов.2.73. Электрон находится в прямоугольной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками шириной l = 0,5 нм.

Найти (в эВ)наименьшую разность ΔEmin энергетических уровней электронов.592.74. Собственная функция, описывающая состояние частицы,имеет вид ψ n ( x ) = C sin (nπx l ) . Используя условия нормировки,определить постоянную С.2.75. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокойпотенциальнойямыможнозаписатьввидеikx−ikx2ψ ( x ) = C1e + C 2 e , где k = 2mE h . Используя граничные условияи условия нормировки определить 1) коэффициенты C1 и C 22) собственные значения энергии En 3) выражение для собственнойнормированной ψ -функции.2.76. В одномерной потенциальной яме шириной l находитсяэлектрон. Вычислить вероятность W обнаружения электрона на первомэнергетическом уровне в интервале l/4, равноудаленном от стенок ямы.2.77.

Вычислить отношение вероятностей W1 W2 нахожденияэлектрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале l/4,равноудаленном от стенок ямы.2.78. Электрон находится в прямоугольной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками шириной l . Определить среднеезначение координаты электрона (0 < x < l ) .2.79. Зная решениеуравнения Шредингера для низкогопотенциальногобарьераψ1 ( x ) = A1eik1x + B1e − ik1x , ψ 2 ( x ) = A2e − k2 xопределить из условия непрерывности ψ -функций и их производныхна границе барьера отношение амплитуд B1 A1 и A2 A1 .2.80.

Зная отношение амплитуд B1 A1 = (k1 − k2 ) (k1 + k2 ) дляволны, отраженной от барьера и A2 A1 = 2k1 (k1 + k2 ) для проходящейволны, найти выражения для коэффициентаотражения R икоэффициента прохождения D.o2.81. На пути электрона с длиной волны де Бройля λ1 = 1Aнаходится потенциальный барьер высотой U 0 = 120 эB . Определитьдлину волны де Бройля λ 2 после прохождения барьера.2.82. Электрон с энергией E = 100 эВ падает на потенциальныйбарьер высотой U 0 = 64 эВ . Определить вероятность W того, чтоэлектрон отразиться отIU(x)IIбарьера.2.83.Определитькоэффициент преломленияволн де Бройля на границеTпотенциальнойступени(рис.

2.10). КинетическаяU060x0Рис. 2.10.энергия протонов T = 16 эВ , а высота потенциальной ступени U 0 = 9 эВ .2.84. Коэффициент отражения протона от потенциальногобарьера R = 2,5 ⋅ 10−5 . Определить, какой процент составляет высотабарьера U 0 от кинетической энергии Т подающих на барьер протонов.2.85.Вывестиформулусвязывающегокоэффициентпреломления n на граница низкого потенциального барьера икоэффициент отражения R от него.2.86. Электрон с энергией E = 10 эВ падает на прямоугольныйпотенциальный барьер. Определить высоту барьера U 0 , при которойпоказатель преломления волн де Бройля n численно равенкоэффициенту отражения R.2.87.

Кинетическая энергия электрона в два раза превышаетвысоту потенциального барьера. Определить коэффициент отраженияR и коэффициент прохождения D электронов для барьера.2.88. Коэффициент прохождения электронов через низкийпотенциальный барьер равен коэффициенту отражения D = R.Определить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов большевысоты потенциального барьера U 0 .2.89.Вывестиформулу,связывающуюкоэффициентпрохождения D электронов через потенциальный барьер икоэффициент преломления n волн де Бройля.2.90. Коэффициент прохождения протонов через потенциальныйбарьер D = 0,8. Чему равен показатель преломления n волн де Бройляна границе барьера?2.91.

Вычислить коэффициент прохождения D электронов сэнергией E = 100 эВ через потенциальныйбарьер с высотойU 0 = 99,75 эВ .2.92. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см.рис.2.6)волновыефункцииимеютвидik1x− ik1x− kxψ1 ( x ) = A1e + B1e , ψ 2 ( x ) = A2e .Используя непрерывность ψ функций и их первых производных на границе барьера, найтиотношения амплитуд A2 A1 .2.93. Электрон проходит через прямоугольный потенциальныйбарьер шириной d = 0,5 нм.