Конспект лекций Линейная алгебра - Долгопрудный, страница 7

мы установили изоморфизм между ним и пространством ЛФ)12.3.1Биортогональный базис (ББ)Выберем в L ОНБ = (1 . . . ). Выберем 1 , . . . , ∈ L * : () = , где - i-аякоордината вектора . Очевидно, что ( ) = 1 = (1 0 . . . 0). . . ⇒ они ЛНЗ ⇒ базис = (0 . . . 0 1)Базис (1 . . . ) называется биортогональным к (1 . . . ).12.3.2Матрица перехода от одного ББ к другомуЗамечание. Для того чтобы лучше понять, как происходит замена ББ, вспомните какпроисходит замена базиса в ЛП. ↔ = (1 .

. . ) = 1 1 + · · · + = p - строка ЛФ в базисе е ↔ - к-тный ст-ц элемента сопряженного пространства - ЛФ-ии в базисе р⎛ ⎞1⎜ .. ⎟p=⎝.⎠42Линейная алгебраВерсия №1.0Теперь покажем, что зная матрицу перехода от одного базиса к другому в ЛП, можнополучить ББ к новому базису.′→ ↔ ⇒ ′ = ⇒ ′ = ⇒ = ( )−1 ′ ′′ ↔Вывод: матрица ( )−1 - матрица перехода от старого ББ (который соответствует старому′базису e) к новому (который соответствует e )Замечание. Сопряженное пространство L * - такое же ЛП, как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряженное пространство L ** , элементы которого - линейные функциина L * .Утверждение 12.5.

L ** = L12.4Линейные функционалы в евклидовых пространствах (отсутствует)Замечание. Выбор базиса в ЛП L устанавливает изоморфизм между L и L * . Покажем,что для n-мерного евклидова пространства E существует такой изоморфизм, независящийот базиса.Утверждение 12.6.43Линейная алгебра13Версия №1.0Билинейные функцииDef 13.1. Отображение : L × L → R - билинейная функция (форма) (БФ), есливыполнены 3 аксиомы:1) (, + ) = (, ) + (, )2) ( + , ) = (, ) + (, )3) (, ) = (, )Def 13.2. = (1 . . . ) - базис в L : L × L → R - билинейная форма.⎛11 · · ·⎜ ..=⎝ .⎞1..

⎟. ⎠1 · · · = ( , )- матрица билинейной формыОбозначение. → Th 13.1.→ ↔ ⇒ (, ) = ↔Замечание. B - ЛП билинейных форм. B ∼= ⇒ B = 2×Th 13.2. При переходе к новому базису:′ = ′Следствие 1. Знак || не зависит от базиса: | | = | ||||| = ||2 ||Следствие 2. rg B не зависит от базисаDef 13.3. Ранг билинейной формы - ранг ее матрицыDef 13.4. БФ - симметричная, если ∀, ∈ L ˓→ (, ) = (, )Th 13.3. БФ - симметричная ⇔ = 13.1Квадратичные формыDef 13.5. Квадратичная форма - отображение : L → R :() = (, ) ( − симметричная)Ex 13.1. Скалярное произведение векторов - симметричная БФ.

Соответствующая квадратичная форма сопоставляет вектору квадрат его длины.Замечание. По заданной квадратичной форме k однозначно определяется соответствующая симметричная БФ:( + ) = ( + , + ) = (, ) + (, ) + (, )1⇒ (, ) = (( + ) − () − ())2Def 13.6. Матрицей квадратичной формы является матрица соответствующей ей БФ.Def 13.7.

На диагонали матрицы квадратичной формы стоят ее значения на базисныхвекторах.44Линейная алгебра13.2Версия №1.0Приведение квадратичной формы к диагональному видуTh 13.4. ∀ КФ существует базис в котором она имеет диагональный вид.Def 13.8. () - положительно определенная, если ∀ ̸= 0 ˓→ () > 0 (полуопределенной, если () > 0)Def 13.9. () - отрицательно определенная, если ∀ ̸= 0 ˓→ () < 0Def 13.10. БФ - положительно определенная, если она порождает положительноопределенную КФ.Th 13.5 (Критерий Сильвестра).БФ − положительно определенная ⇔ ∆ > 0Def 13.11.

Матрица КФ имеет канонический вид, если на диагонали стоят {-1, 0, 1}Def 13.12. Количество > 0 в диагональном виде k(x) - положительный индекс инерцииКФ и обозначается p(k)Def 13.13. Количество < 0 в диагональном виде k(x) - отрицательный индекс инерцииКФ и обозначается q(k)Def 13.14. сингатура = () − ()Def 13.15. = () + ()Th 13.6 (Закон инерции КФ). Количество положительных и отрицательных индексов инерции одно и то же в любом базисеEx 13.2 (Вопрос с экзамена). Дана положительно полуопределенная БФ. Доказать: 1)сумма элементов матрицы данной БФ неотрицательна, 2) сумма элементов матрицы, скоэффициентами {+1, −1} взятыми в шахматном порядке (если представить матрицу какшахматную доску), данной БФ неотрицательна.Доказательство.

В данной задаче в первом пункте нужно лишь знать, что сумма элементов матрицы не зависит от того, на какие вектора мы собираемся подействовать этойБФ. Поэтому, зная что мы имеем дело с положительно полуопределенной БФ:∙ (, ) = = ( , ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞1111⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟Говорим, что = ⎝ . ⎠ = ⎝ . ⎠ ; = ⎝ . ⎠ = ⎝ . ⎠11Тогда: (, ) = ( , ) > 0∙Говорим, что = (−1)+1 , = (−1)+1Тогда: (, ) = ( , )(−1)+1 (−1)+1 > 0⏞⏟тот самый шахматный порядокч.т.д.45Линейная алгебра13.3Версия №1.0Преобразование, присоединенное билинейной формеDef 13.16. : E → E : (, ) = (, ()) - присоединенное преобразование.Утверждение 13.1.

∀ БФ ∃! присоединенное преобразование:(, ()) = Γ − билинейная форма = Γ ⇒ = Γ−1 13.4Приведение пары квадратичных форм к диагональному виду⎛10...⎜Th 13.7. E ⇒ ∀() ∃e - ОНБ : → ⎝0⎞⎟⎠ - диагональный видTh 13.8.⎛⎞⎛⎞L - ЛП10˜10⎜⎟⎜⎟.... - любая КФ ⇒ ∃ : → ⎝⎠, → ⎝⎠..˜0 - полож. опр. КФ0⏞⏟канонический вид13.4.1Метод №1, − матрицы КФ в ⇒ = −1 - присоединенное преобр. к форме К − матрица Грамма в | −1 − | = 0 - ХУ ⇒ | − | = 0∀ корня ур-я | −| = 0 решения системы (К - H | 0) нужно нормировать используяскалярное произведение с Γ = .Объединяя получившиеся базисы получим тот, в котором К имеет диагональный вид,а Н = Е - канонический (т.к.

это м-ца положительно опр. КФ, которая является МГ вОНБ).13.4.214Метод №2 (метод Бурмистрова - отсутствует)Полярное разложение преобразованийDef 14.1. - положительное преобразование, если оно ССП и ∀ ˓→ ((), ) > 0Замечание. () = ⇒ (, ) > 0 ⇒ (, ) > 0 ⇒ > 0 - СЗ неотрицательные.Утверждение 14.1. * - положительноеУтверждение 14.2. ∃ → : ∃|| ⇒ ∃ℎ - положительное: ℎ2 = * Th 14.1 (О полярном разложении). − невырожденное ⇒ ∃ ⏟ ℎ⏞ , ⏟ ⏞: = ℎполож. ортогон.15Поверхности II порядка (отсутствует)46.