Конспект лекций Линейная алгебра - Долгопрудный, страница 3

Множество L называется линейным пространством, если на нем введеныоперации сложения и умножения на число, подчиняющиеся аксиомам:1) ∀,, ∈ L ˓→ ( + ) + = + ( + )2) ∃0 ∈ L : ∀ ∈ L ˓→ + 0 = 0 + = (0 - не число, а элемент L )3) ∀ ∈ L ∃ ∈ L : + = + = 04) ∀, ∈ L ˓→ + = + 5) ∀, ∈ L ∀ ∈ R ˓→ ( + ) = + 6) ∀ ∈ L ∀, ∈ R ˓→ ( + ) = + 7) ∀ ∈ L ˓→ 1 × = (1 ∈ R)8) ∀ ∈ L ∀, ∈ R ˓→ () = ()15Линейная алгебраВерсия №1.0Замечание. L также называют векторным пространством, а его элементы - векторами.Замечание.

если ∈ R то: "ЛП над полем действительных чисел"если ∈ C то: "ЛП над полем комплексных чисел"1)2)3)4)5)Примеры линейных пространств:мн-во векторов геометрического 3-мерного пространствамн-во векторов, параллельных данной плоскостимн-во матриц размера × {0} - нулевое пр-во - мн-во многочленов степени не выше n.′Def 7.2. L - ЛП. Непустое подмножество L ⊂ L называется линейным подпространством, если:′′1) ∀, ∈ L ˓→ + ∈ L′′2) ∀ ∈ L , ∀ ∈ R ˓→ ∈ LЗамечание.

Часто математики говорят, что подмножество является подпространством если сложение и умножение на число "не выводит" из этого подпространства (т.е. результатсуммы и умножения тоже является элементом подпространства).Замечание. Подпространство линейного пространства тоже является линейным пространством.′′′′′′Th 7.1. Пусть L , L ⊂ L - подпространства. Тогда L ∩L - тоже подпространствоL.′′′′′′Замечание. Даже если L , L ∈ L подпространства, L ∪ L - не всегла является подпространством.′′Th 7.2. Если L ⊂ L - подпространство, и 1 , . . .

. ∈ L , то ∀ их ЛК 1 1 +· · ·+ ∈′LDef 7.3. Линейнаявекторов 1 , . . . . ∈ L это множество:}︁{︁∑︀ оболочка (ЛО)L (1 , . . . . ) ==1 | ∈ RДругими словами, линейная оболочка, образованная на данных векторах - это множество всех линейных комбинаций этих векторов (например ЛО двух неколлинеарныхвекторов в трехмерном пространстве - плоскость).Def 7.4. ∀1 , . . . . ∈ L ˓→ L (1 , . . . . ) - подпространство L .Примеры подпространств:1) Линейная оболочка любых ( > ) столбцов единичной матрицы размера n - подпространство в пространстве столбцов высоты n.2) Множество решений однородной СЛАУ - подпространство в пространстве столбцов высоты n. Его можно задать как L (∙1 , . .

. , ∙(−) )⏞⏟ФСРЗамечание. Для того чтобы проверить - является ли подмножество линейным подпространством нужно проверить - "не выводит, ли" сложение и умножение на число из этогоподмножества.16Линейная алгебра7.1Версия №1.0Линейная зависимость. Ранг. Размерность.Def 7.5. 1 , . . . , - Линейно зависимы (ЛЗ), если существует их не тривиальная ЛКравная 0 ∈ L . В противном случае такой набор - линейно независимый (ЛНЗ).Напоминание:1) набор векторов ЛЗ если среди них найдется один, выражающийся через все остальные.2) добавление к ЛЗ набору новых векторов не изменит их линейную зависимость.3) любая подсистема ЛНЗ набора векторов - тоже ЛНЗ.4) пусть ∈ L (1 , .

. . , )5) коэффициенты 1 , . . . , в разложении = 1 1 + · · · + определены однозначно⇔ 1 , . . . , ЛНЗ.Def 7.6. Пусть ⊂ L .Рангом пространства называется число = , если в А существует r ЛНЗ векторов, а любой набор из r+1 вектора ЛЗ.Def 7.7. Размерность пространства L = LЗамечание. Если L - конечное целое неотрицательное число, то L - конечномерноепространство.Замечание.

Таким образом, из определения сразу же следует, что если нам захотелосьнайти размерность какого либо пространства, то необходимо всего навсего найти максимальное количество ЛНЗ элементов этого пространства.Найдите, например, размерность пространства симметричных и антисимметричныхматриц.Ex 7.1.

Найти размерность пространства матриц ×Рассмотрим (важный!) вид матриц ( = 1, . . . ,; = 1, . . . ,) у которых на всехпозициях стоят нули кроме ij-го. Всего таких матриц может быть · штук. Они ЛНЗи определенная их ЛК может дать нам любую матрицу размера × , следовательно = · ×Th 7.3. Пусть ⊂ L - набор векторов из ЛП, тогда: = L () = L ()Def 7.8.

Упорядоченный набор 1 , . . . , ∈ L - базис пространства L , если:1) 1 , . . . , - ЛНЗ.2) L (1 , . . . , ) = L (полнота)Обозначение. e = (1 . . . ) - строка базисных векторовDef 7.9.∈L1 , . . . , - базис L ⇒ 1 , . . . , - координаты вектора в базисе e = 1 1 + · · · + Замечание.

Любому вектору пространства в данном базисе сопоставлен координатныйстолбец:⎛ ⎞1⎜ .. ⎟∀ ∈ L ↔ = ⎝ . ⎠ ∈ ×117Линейная алгебраВерсия №1.0˜ столцов с первой компонентой равной нулю подпроEx 7.2. Является ли множество ˜ =?странством ? Если да, то ×1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛⎞000⎜ 1 ⎟⎜ 1 ⎟⎜ 1 + 1 ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎟˜˜ : =⎜;=⇒+=∀, ∈ ⎜ .. ⎟⎜ .. ⎟⎜ .. ⎟ ∈ ⎝.⎠⎝.⎠⎝ .

⎠ + ⎛⎞0⎜ 1 ⎟⎜⎟˜∀ ∈ R ˓→ = ⎜ .. ⎟ ∈ ⎝ . ⎠˜ - подпространство.Вывод: Рассмотрим столбцы:⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞000⎜1⎟ ⎜0⎟⎜ .. ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜.⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜0⎟ , ⎜1⎟ , . . . , ⎜0⎟⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟⎜ ⎟⎝.⎠ ⎝.⎠⎝0⎠001⏞⏟˜ ⇒ m - базис ⇒ ˜ = −1L () = n-1 столбецEx 7.3. Множество столбцов с какой либо фиксированной компонентой (например 1 = 1)не является подпространством пространства столбцов высоты n, т.к. при умножении на ̸= 1 мы получим столбец, не принадлежащий данному множеству.Ex 7.4.

Является ли + - мн-во симметричных матриц ( = ) подпространством в×?×а) , ∈ + ⇒ ( + ) = + = + ⇒ + ∈ +××б) ∈ + , ∈ R ⇒ () = = ∈ +××Вывод: + - подпростраство в .××Найдем базис этого подпространство и его размерность.Заметим, что если мы определим значение элемента ( ̸= ), то мы автоматическиопределим значение элемента , который будет равен .

Таким образом, у нас есть(−1)элементов, которые мы можем выбрать.2Также мы можем определить какими либо значениями диагональные элементы, которых n штук.Таким образом, мы можем выбрать базис из двух групп симметричных матриц:1) матрицы вида ˜ ( ̸= ), у которых на всех позициях стоят нули кроме ij-той и ji-той,на которых стоят единицы (таких матриц (−1)штук)22) матрицы вида у которых на всех позициях нули кроме ii-той (таких матриц n штук).Итого у нас получается (+1)штук ЛНЗ матриц. Линейная оболочка таких матриц в2точности равна множеству симметричных матриц.( + 1)Следовательно: + =×218Линейная алгебраВерсия №1.0Ex 7.5. Найти размерность и базис в:⎛⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞⎞−3−30L = L ⎝⎝ 2 ⎠ , ⎝ 6 ⎠ , ⎝ −4 ⎠⎠015−15Для того чтобы найти базис необходимо выделить максимальный набор ЛНЗ в-в средитех, которые образуют линейную оболочку.

Причем линейная оболочка, построенная наэтом ЛНЗ наборе будет равна исходной:⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞⎞⎛⎛ ⎞ ⎛⎞⎞−3−30−30L ⎝⎝ 2 ⎠ , ⎝ 6 ⎠ , ⎝ −4 ⎠⎠ = L ⎝⎝ 2 ⎠ , ⎝ −4 ⎠⎠ ⇒ L = 2.015−150−15⏞⏟Базис7.2Замена базиса в ЛП.Пусть:e = (1 , . . . , ) - "старый" базис L′′′e = (1 , .

. . , ) - "новый" базис L′Def 7.10. S - матрица перехода от e к e , если:′e = e′Замечание. 1 = 1 11 + 2 21 + · · · + 1 = ∙1⎛⎞11 · · · 1⎜.. ⎟ = (︀ = ⎝ ...∙1 · · ·. ⎠1 · · · ∙)︀i-й столбец матрицы перехода - координатный столбец i-го НОВОГО базисного вектора в СТАРОМ базисе.Th 7.4. ∈ L⎛⎞1⎜ ⎟ ↔ = ⎝ ... ⎠ в базисе e′ ′′′⎛ ′⎞⇒ = e = e = e ⇒ = 1′′⎜ ..

⎟ ↔ = ⎝ . ⎠ в базисе e′Th 7.5.e→e′′e →e′′′′′′′⇒ e = e = e ⇒ e → e′′ −1Th 7.6. Матрица перехода всегда не вырожденная, и если e → e , то e → e19Линейная алгебра7.3Версия №1.0Сумма подпространств.Def 7.11. Пусть 1 , . . . , ⊂ L . Их суммой (по Минковскому) называется:⏟⏞подмножества1 + · · · + = {1 + · · · + | ∈ , = 1, . . . ,}Ex 7.6.

, - прямые, - плоскость, в которой лежат , . ∪ - не подпространство,а + = - подпространство.Замечание. Если 1 = L (1 ), . . . , = L ( ) ⇒ = 1 + · · · + = L (1 ∪ · · · ∪ ) ( −подпространство)Th 7.7. 1 = 1. . . . . . ⇒ 1 + · · · + > (1 + · · · + ) = Def 7.12. = 1 + · · · + - прямая сумма, если⏟⏞подпр-ва L∀ ∈ ˓→ = 1 + · · · + ( ∈ ) и такое разложение единственно.В этом случае пишут: = 1 ⊕ · · · ⊕ Def 7.13. Пусть = 1 + · · · + ⏞⏟подпр-ва˜ = 1 + · · · + −1 + · · · + (сумма всех подпространств кроме i-го)Th 7.8 (Критерий прямой суммы №1). Пусть = 1 + · · · + ⏟⏞подпр-ва = 1 ⊕ · · · ⊕ ⇔ ∩ ˜ = 0 ∈ L( = 1, . .

. , )Th 7.9 (Критерий прямой суммы №2). Пусть = 1 + · · · + ,⏟⏞подпр-ва = ; e() - базис . Тогда:{ - прямая сумма } ⇔ {e(1) ∪ · · · ∪ e() - базис в U } ⇔ { = 1 + · · · + }Замечание. = L (e(1) ∪ · · · ∪ e() ) - выполняется всегда.e(1) ∪ · · · ∪ e() - остается ЛНЗ только в случае прямой суммы подпространств.′′′′′′Def 7.14. Пусть ЛП L = L ⊕ L . Тогда L - прямое дополнение L в L .′′′Замечание. L ̸= L ∖L (не путать!)′′′′′′′′′Def 7.15. L = L ⊕ L , ∈ L , ∈ L , ∈ L .′′′= +′′′′ - проекция на L вдоль L .20Линейная алгебраВерсия №1.0Ex 7.7. F = { () | : R → R} - ЛП всех функций, определенных на RF + ⊂ F - подпространство четных функцийF − ⊂ F - подпространство нечетных функцийF + ∩ F − = {0} ⇒ F + + F − = F + ⊕ F − () + (−) () − (−)+⇒ F = F+ ⊕ F−∀ () ∈ F ˓→22⏟⏞⏟⏞∈F −∈F +Аналогичным образом получается: = + ⊕ −×××(︂)︂ − - пространство антисимметричных матриц×⎛⎞⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞2413′⎝⎝⎠⎝⎠⎝⎝⎠03 , 2 , 1 ⎠⎠Ex 7.8.

Найти проекцию =∈ L = на подпространство L = L3×1−113−2⎛⎛ ⎞⎞1′вдоль L = L ⎝⎝1⎠⎠1Решение:⎞⎛⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞413′′⎝⎝⎠⎝⎠⎝3 , 2 , 1 ⎠⎠ = L = LL =L13−2⎜⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟13 ⎟⎜ 3′⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟⎜ 1 , 2 , 1 ⎟ ⇒ L = 2⎟⎜3−2 ⎠⎝ −2⏞⏟ЛНЗ - базис L ′Th 7.10 (формула Грассмана). L1 , L2 ⊂ L(L1 + L2 ) + (L1 ∪ L2 ) = L1 + L2Доказательство. Пусть ⊂ L2 : (L1 ∩ L2 ) ⊕ = L2⇒ L1 + L2 = L1 + ((L1 ∩ L2 ) + ) = (L1 + (L1 ∩ L2 )) + = L1 + Кроме того, т.к.