Конспект лекций Линейная алгебра - Долгопрудный, страница 5

Собственным подпространством отвечающим СЗ называется( − · )28Линейная алгебраВерсия №1.0Замечание. Данное определение легко понять, установив простую логическую цепочку: ∈ ( − · ) ⇔ ( − · )() = 0 ⇔ () − · () = 0 ⇔ () = Замечание. 1 , 2 - различные СЗ ∙ Тогда: ( − 1 · ) ∩ ( − 2 · ) = 0 (собственные подпространства,отвечающие различным СЗ, пересекаются тривиальным образом)∙ Если = 0 СЗ ⇒ ̸= 0 ⇒ − не инъекция.Th 8.7. {В i-ом столбце матрицы линейного преобразования все элементы вне главнойдиагонали равны нулю} ⇔ {i-ый базисный вектор собственный.}Вывод: диагональный элемент такого столбца - СЗ.Th 8.8. {Матрица линейного преобразования в некотором базисе диагональная} ⇔ {Всебазисные векторы собственные}8.6.1Традиционный алгоритм нахождения собственных подпространств1.

Находим СЗ преобразования из уравнения: | − | = 02. Составляем СЛАУ: ( − ) = 03. ФСР системы за исключением нулевого решения - состоит из координатных столбцоввекторов, составляющих базис собственного подпространства8.6.2Алгоритм Бурмистрова нахождения собственных подпространствИспользуя алгоритм выше, вы гарантированно придете к правильному ответу. Но бываютситуации, когда можно пропустить некоторые действия этого алгоритма, заменив их болеепростыми.Например, если дана матрица размера от 2 до 5-6, а также в ней все элементы меньше ∼15, то можно просто угадать СЗ, при котором детерминант матрицы из 1 пунктаобнулится.29Линейная алгебраВерсия №1.0Короче говоря, мы просто подбираем n-1 СЗ из n штук, а последнее можно найти,заметив что след матрицы есть сумма СЗ.Если мы видим, что матрица "супер вырожденная" - т.е. у нас получилось, например 2или 3 ЛЗ строки (которые можно обнулить), то и собственному значению будет отвечатьСП, размерности 2 или 3 соответственно.Далее, когда мы нашли собственные значения, мы подставляем их в основную матрицуСЛАУ из 2 пункта.

А затем, мы также угадываем такие векторы, которые, при перемножении с данной матрицей, давали бы нулевой столбец. Это тоже довольно не сложноделается с матрицами небольшого размера и небольшими элементами.Линейная оболочка полученных СВ и есть СП.8.6.3Комплексные характеристические числаНаходимся в комплексном пространстве. Дано линейное преобразование, заданное своейматрицей.| − | = 00 = + - комплексное ХЧ. = 0 ⇔ ( − 0 ) = 0где = + - комплексный координатный столбец собсвенного вектора, отвечающегоСЗ 0 .( + ) = ( + )( + )Отделяем вещественные и мнимые части:{︃ = − = + Докажем что и ЛНЗ (т.е. ∃L (,))Предположим противное:{︃ = − | · (−) = ⇒ +⇒ 0 = − 2 − = + Получили: ( 2 + 1) = 0 ⇒ = 0 ̸= 0 (иначе = 0 ⇒ = 0) ⇒ = 0 - противоречие (т.к. 0 ∈ C)⇒ , - ЛНЗ.ч.т.д.Замечание.

(Смысл существования R/C ХЧ)∙ Смысл существования действительного ХЧ - есть инвариантное одномерное пространство.∙ Смысл существования комплексного ХЧ - есть инвариантная плоскость.L (,) - двумерная линейная оболочка, задающая ее.{︃(︂)︂() = = − ⇒=− () = = + 30Линейная алгебраВерсия №1.0A - матрица сужения линейного преобразования на инвариантную плоскость.Подводя итог можно сказать, что если у нас имеется комплексное ХЧ, то существуетинвариантная плоскость, на которой матрица сужения линейного преобразования есть матрица поворота и растяжения (поворотная гомотетия)8.7Приведение матрицы преобразования к диагональному видуDef 8.24. : L → L - диагонализуемое, если в L ∃ базис e: → А, где А - диагональная матрица.Th 8.9.

{ - диагонализуемо} ⇒ {в L ∃ базис из СВ} ⇒ {Размерность любого СП равнакратности соответствующего корня ХУ}⇒ {все пространство можно представить:L = L1 ⊕ · · · ⊕ L }⏞⏟все СПDef 8.25. Геометрическая кратность СЗ - это размерность пространства, отвечающего данному СЗ.Замечание.Алгебраическая кратность > Геометрическая кратность > 0Замечание. Пусть - диагонализуемое.(2)()(1)(2)()Возьмем в L базис = (1 , . . . ,(1)1 , 1 , . . . , 2 , . .

. , 1 , . . . , )⏞⏞⏟⏟⏞⏟базис L1базис L2базис LТогда:⎛⎞1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0.. ⎟⎜ .. . ...⎟⎜.⎜... ⎟⎜ ...⎟1⎜⎟⎜... ⎟..⎜ ....⎟⎟→=⎜.. ⎟⎜ .....⎜..⎟⎜... ⎟⎜ ...⎟⎜⎟⎜.⎟... . .. ⎠⎝ ..0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · Замечание. 0 - СЗ.1 , . . . , ∈ 0(1 ) = 0 1···⇒ () = 1 0 1 + · · · + 0 = 0 (1 1 + · · · + ) = 0 ( ) = 0 ЛК : 1 1 + · · · + = Имеется 2 пути:=0⇒ ЛК СВ-в - либо 0, либо СВ = СВTh 8.10. 1 , .

. . , - различные СЗ11 , . . . , 11 - ЛНЗ СВ-ры ∈ 131Линейная алгебраВерсия №1.0···1 , . . . , - ЛНЗ СВ-ры ∈ Вся эта куча СВ-в - ЛНЗ.Доказательство. Пусть , = 1, . . . , - не тривиальная линейная комбинация собственных векторов, принадлежащих i-му СЗ.Предположим, что 1 + · · · + = 0. Мы знаем что либо 0, либо СВ, но так как не тривиальная ЛК СВ-в, то остается лишь то, что - СВ.А не тривиальная комбинация СВ-в (с коэффицентами 1), принадлежащих различным СЗ, не может быть равна нулю. следовательно вся кучка векторов ЛНЗ.ч.т.д.9Евклидовы пространстваDef 9.1.

L - евклидово конечномерное пространство, если на нем определена скалярная функция двух аргументов (элементов этого пространства), называемая скалярным произведением и подчиняющаяся аксиомам:1) (, ) = (, )2) ( + , ) = (, ) + (, )3) (, ) = (, )4) (, ) > 0 или (, ) = 0 ⇔ = 0Обозначение. E - n-мерное евклидово пространство.Def 9.2.|| =√︀(,) − длина вектора .Def 9.3. ⊥ , если : (,) = 0Утверждение 9.1. Нулевой вектор перпендикулярен всем остальным векторам из EУтверждение 9.2. Если в наборе все векторы попарно перпендинулярны и не 0, то ониЛНЗ.Утверждение 9.3.

= 1 + · · · + ⇒ ||2 = |1 |2 + · · · + | |2 ⊥ (, = 1, . . . , ; ̸= )Def 9.4. Базис 1 , . . . , - ортогональный, если вектора попарно ⊥.Def 9.5. Базис 1 , . . . , - ортонормированный (ОНБ), если ( , ) = .′′′Def 9.6. E , E ⊂ E′′′′′′E ⊥ E (⊥ подпространства), если ∀ ∈ E , ∀ ∈ E ˓→ ⊥ .32Линейная алгебра9.1Версия №1.0Ортогонализация методом Грамма-ШмидтаI 1) 1 = 12) 2 = 2 − 21 13) 3 = 3 − 31 1 − 32 2...k) = − 1 1 − · · · − (−1) −1...n) = − 1 1 − · · · − (−1) −1II Покажем, что на к)-м шаге мы не получим = 0:Видно, что L (1 ) ⊃ L (1 ); . .

. ; L (1 , . . . , −1 ) ⊃ L (1 , . . . , −1 )Предположим, что = − 1 1 − · · · − (−1) −1 = 0⏞⏟∈L (1 ,...,−1 )Т.к. мы показали, что 1 , . . . , −1 взаимно перпендикулярны и ̸= 0, = 1, . . . , − 1,то они ЛНЗ ⇒ их не тривиальная ЛК не 0.Но:⏟ ⏞∈L ( )⊥ − (1 1 + · · · + (−1) −1 ) (L (1 , . . . , −1 ) ∩ L ( ) = 0)⏞⏟∈L (1 ,...,−1 )⇒ ̸= 0III Подбираем так, чтобы ⊥ (, = 1, . . . , , ̸= ):(2 , 1 )0 = (2 , 1 ) = (2 ,1 ) − 21 |1 |2 ⇒ 21 =|1 |20 = (3 , 1 ) = (3 , 1 ) − 31 |1 |2 ⇒ 31 =⇒ =9.1.1(3 , 1 )|1 |2( , )| |2Геометрический смысл ортогонализации∙ В 2-D пространстве:Сохраняется площадь, построенного на векторах параллелограмма (сохраняется векторное произведение)∙ В 3-D пространстве:Сохраняется объем.Вывод: Доказали, что любой базис в евклидовом пространстве можно ортогонализовать.Ex 9.1.

Пусть есть некоторые векторы n-мерного евклидового пространства. Взяв одинвектор за первый и ортогонализуя базис методом Грамма-Шмидта получим некий ОНБ.Вопрос - взяв за первый в ортогонализации другой базисный вектор получим ли мы такойже базис или другой?Иначе говоря - зависит ли получаемый в результате ортогонализации базис от выборапервого вектора?33Линейная алгебра9.2Версия №1.0Матрица ГраммаDef 9.7. 1 , . . . , ∈ E⎛(1 , 1 ) · · ·⎜ ..Γ(1 , .

. . , ) = ⎝ .( , 1 ) · · ·⎞(1 , ).. ⎟ − матрица Грамма системы векторов. ⎠( , )Замечание. Матрица Грамма - симметричная.Утверждение 9.4. = (1 , . . . , ) - базис евклидова пространства.⎛ ⎞⎛ ⎞11⎜ .. ⎟⎜ .. ⎟ ↔ = ⎝ . ⎠; ↔ = ⎝ . ⎠⎛⎞ ⇒ (, ) = Γ(1 , 1 ) · · · (1 , )⎜ .... ⎟Γ=⎝ ..

⎠( , 1 ) · · ·( , )Замечание. В ОНБ Γ = ⇒ (, ) = Ex 9.2. Как из линейного пространства сделать евклидово?Ответ: Ввести единичную матрицу Грамма базиса (тем самым ввели скалярное произведение) ((можно было вводить совершенно любую другую МГ, но единичная - самаяпростая))9.2.1Матрица Грамма при замене базиса′E , = (1 , . . . , ), → ′↔↔′↔Вывод:↔′Γ = ΓЗамечание.лен.′′ = = ′′′′⇒′′(, ) = Γ = ( ) Γ = ( ) Γ′′(, ) = ( ) Γ ′′ОНБΓ = ′|Γ | = ||2 > 0 - определитель матрицы Грамма базиса строго положите-Утверждение 9.5.

В процессе ортогонализации |Γ| = .Доказательство. Представим переход 1 , . . . , → 1 , . . . , в виде процедуры:1) 1 , . . . , → 1 ,2 , . . . , (1 = 1 )2) 1 ,2 , . . . , → 1 ,2 , 3 , . . . , (2 = 2 − 21 1 )...k) 1 , . . . , −1 , , . . . , → 1 , . . . , , +1 , . . .

, ( = − 1 1 − · · · − (−1) −1 )34Линейная алгебраВерсия №1.0...n) 1 , . . . ,−1 , → 1 , . . . , ( = − 1 1 − · · · − (−1) −1 )Рассмотрим матрицу перехода от одного⎛1 0 ···⎜⎜0 1⎜.⎜ .. 0 . . .⎜⎜. .⎜ .. ..=⎜⎜ .. ..⎜. .⎜. .⎜ .. ..⎜⎜. .⎝ .. ..базиса к другому на k-м шаге:⎞0−10 ··· 0....⎟0..0⎟........ ⎟....⎟⎟.. ⎟1 −(−1) 0.⎟⎟..

⎟010.⎟.... ⎟.01.⎟⎟...... . . .. ⎟. .⎠...0 0 ··· 000 ··· 1(здесь единички только на диагонали)′|| = 1 ⇒ |Γ | = | ||Γ||| = ||2 |Γ| = |Γ|ч.т.д.Утверждение 9.6. 1 , . . . , ∈ EΓ(1 , . . . , ) > 0Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что определитель матрицыГрамма от ЛЗ векторов равен нулю, так как ранее мы уже получили, что от ЛНЗ векторов(т.е. от базиса) матрица Грамма строго положительная.Пусть вектора ЛЗ. Возьмем их нетривиальную ЛК равную нулю и домножим ее последовательно на каждый из этих векторов. Получим систему из k уравнений:⎧⎪ ( , ) + · · · + (1 , ) = 0⎪⎨ 1 1 1...⎪⎪⎩ ( , ) + · · · + ( , ) = 011В матричном виде это выглядит так:⎛⎞1⎜ ⎟Γ(1 , .