Конспект лекций Линейная алгебра - Долгопрудный, страница 2

+ > ( + )2. min {, } > ()Доказательство. Заметим, что столбцы есть ЛК столбцов матрицы . Но тогда ≤ (|) = А на основе этого: () = () = ≤ = ч.т.д.3. () > ();()∙⏟ ⏞i-ая строка АВ=∑︁ ∙=1⏞⏟ЛК строк В4. () = , если А невырожденная (аналогично при умн. на невыр. м-цу слева)Следовательно, при ЭП строк/столбцов ранг матрицы не изменяется (т.к. совокупность ЭП строк (столбцов) можно представить как умножение на невырожденную матрицу слева (справа))Th 4.3 (о базисном миноре). Квадратная подматрица на пересечении r ЛНЗ столбцови r ЛНЗ строк матрицы А - невырожденная. Где r - ранг А.Th 4.4 (критерий невырожденности). ∈ × = ⇔ || ≠ 0 ⇔ ∃−1Ex 4.1.

Док-ть:(︂ ∀{, } ∈ ˓→ ×)︂=Док-во:(︂ )︂(︂)︂ (︂)︂ = ⏟ ⏞⏟ ⏞==ч.т.д.9Линейная алгебра4.1Версия №1.0Как находить ранг матрицы?Пытаемся собрать насильственными методами (элементарными преобразованиями и вычеркиванием нулевых строк и столбцов) единичную/невырожденную подматрицу в левомверхнем углу (а за счет того что мы можем вычеркивать нулевые строки эта подматрица вообще может располагаться в первых r столбцах).

Её размер и будет рангом даннойматрицы.Ex 4.2. =?⎛⎞⎛2422⎜−1 −2 −1⎟⎜0⎜⎟⎜⎜53⎟=⎜⎜1⎟ → ⎜1⎝8⎝81 −2⎠2742⎞⎛⎞4 2242(︂)︂0 0⎟⎟⎜0 32 ⎟2 4 2⎟⎜⎟5 3 ⎟→⎝→0 −15 −10⎠0 3 2⎠1 −20 327 4Ответ: = 2Ex 4.3 (16.19.4). ⎛1⎝= 11() = ? (∀ ∈ R)⎞⎛⎞⎛⎞1 1111100 2 ⎠ → ⎝0 − 1 2 − 1⎠ → ⎝0 − 1 2 − 1⎠2 0 2 − 1 − 10 2 − 1 − 1Рассмотрим˜ =(︂)︂ − 1 2 − 12 − 1 − 1∙ Если = 1 ⇒ = 1 + 0 = 1∙ Если = 0, −2 ⇒ = 1 + 1 = 2 :⃒⃒⃒ 1⃒+12˜ = ( − 1) ⃒⃒ = ( − 1)2 (1 − ( + 1)2 ) = −( + 2)( − 1)2 = 0||⃒ + 11 ⃒⏞⏟при =0,−2∙ Если ∈/ {−2, 0, 1}, то ˜ = 2 ⇒ = 3Ex 4.4.

= ? Указать какую либо базисную подсистему столбцов, строк, невырожденную подматрицу порядка ∙ Совершаем ЭП строк :⎛00⎜00=⎜⎝ 3 −6−1 221 −1−4 −2 251253 −7⎛0⎝0→−1⎞⎛⎞20 0 2 1 −1 2⎟−4⎟→ ⎝ 0 0 20 10 −19 11⎠ →5⎠−1 2 5 3 −7 22⎞0 2 1 −1 20 0 0 −9 −9⎠2 5 3 −7 2Столбцы №1, 3, 5 можно принять за базисные (они ЛНЗ)10Линейная алгебраВерсия №1.0∙ Формируем подматрицу из⎛02⎜ 0 −4˜ = ⎜⎝35−1 5столбцов №1, 3, 5 и совершаем ЭП столбцов:⎞⎛⎞⎛⎞−100 −100 −1⎜⎜2⎟02⎟02⎟⎟→⎜ 0⎟→⎜ 0⎟⎝3⎝32⎠92⎠02⎠−7−1 −9 −7−1 −6 −7Строки №1, 3, 4 - базисные строки А∙ Невырожденная подматрица:⎛⎞0 2 −1⎝3 5 2⎠−1 5 −75Скелетное разложение матрицыTh 5.1.

Любая матрица представляется в виде произведения двух матриц. Левый множитель - матрица, составленная из столбцов базисного минора, правй множитель матрица, составленная из упрощенных строк базисного минора, когда на его месте находится Е.Доказательство. Пусть матрица размера × ⎛11 . . .

1..⎜ ...⎜ .⎜ = ⎜ 1 . . . ⎜ .⎝ .. . . . . . .с минором в левом верхнем углу.⎞. . . 1.. ⎟. ⎟⎟. . . ⎟.. ⎟. ⎠. . . В первом столбце считаем первый элемент ненулевым и с помощью ЭП делаем его равным 1. Затем, вычитая первую строку, умноженную на соответствующий коэффициент изостальных строк, получаем первый столбец единичной матрицы на месте первого столбцабазисного минора.Проделывая аналогичные операции с остальными r столбцами, получаем единичнуюподматрицу порядка r на месте базисного минора.)︂(︂)︂(︂E *E *−1⇒= . . .

1 =⏞⏟0 00 0где * - "что-то, неважно что".Убираем последние m-r строк в преобразованной матрице и последние m-r столбцов вматрице −1 , получая матрицу U: = (|*)Заметим, что = , , = 1, . . . , ч.т.д.11Линейная алгебра6Версия №1.0Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)⎧11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1⎪⎪⎪⎨ + + ··· + = 21 122 22 2⇔⏟ ⏞= ⎪........................⎪⎪матричная форма записи⎩1 1 + 2 2 + · · · + = Def 6.1.⎛11⎜ 21⎜ = ⎜ ..×⎝ .⏟1222...⎛ ⎞⎛ ⎞⎞111⎜⎜⎟⎟⎟2 ⎟⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟;=;=⎜⎜⎟⎟.... ⎟⎝ ..

⎠⎝ .. ⎠. ⎠······1 2 · · ·⏞основная матрица системы⏟⏞ст-ц неизв-х⏟⏞ст-ц своб. членовDef 6.2.⎛11⎜ 21⎜(|) = ⎜ ..⎝ .×(+1)1222...······1 2 · · ·12...⎞12 ⎟⎟.. ⎟ − расширенная матрица системы. ⎠ Def 6.3. 0 − частные решения, если: 0 = Def 6.4. Общее решение = - мн-во всех частных решений системы.Def 6.5. = - совместная, если у нее ∃ хотя бы одно решение.Def 6.6. Совместные системы = и = - эквивалентные если их общие решениясовпадают.Th 6.1 (Кронекера-Капелли). = − совместна ⇔ (|) = Доказательство.

Докажем необходимость, а затем достаточность:” ⇒ ” Предположим СЛАУ совместна, тогда существуют 1 , . . . : 1∙ 1 + · · · + ∙ = Тогда (|) = , т.к. столбец b является ЛК столбцов матрицы А.” ⇐ ” Пусть (|) = , тогда базисные миноры обеих матриц будут совпадать. Т.к.b - ЛК столбцов базисного минора, то он - ЛК столбцов матрицы А. Следовательноего можно разложить с коэффициентами 1 , . . . , :1∙ 1 + · · · + ∙ = Следовательно, система имеет решение, а значит - совместна.ч.т.д.Def 6.7. = 0 − однородная СЛАУTh 6.2. 1 , . .

. , - частные решения однородной системы = 0 ⇔ ∀ ∈ R ˓→- частные решения = 012∑︀=1 Линейная алгебраВерсия №1.0Доказательство. Докажем необходимость, а затем достаточность:”⇒”⎧1 = 0| × 1⎪⎪⎪⎨ = 0| × 22⇒ (1 1 + · · · + ) = 0+⎪⏟⏞··· ···⎪⎪тоже решения⎩ = 0| × ”⇐”{︃0, ̸= Возьмем =⇒ − решение. Это верно ∀ = 1, . . . , 1, = ч.т.д.Def 6.8.

Упорядоченный набор 1 , . . . , частных решений однородной системы = 0- фундаментальная система решений (ФСР), если:1. 1 , . . . , - ЛНЗ столбцы2. ∀ частное решение системы = 0 выражается через 1 , . . . , Th∑︀ 6.3. Общее решение однородной системы = 0 имеет вид:{ =1 | ∈ R} , где 1 , . . . , - образуют ФСР системы.Th 6.4.∑︀ Общее решение неоднородной системы = имеет вид:{0 + =1 | ∈ R} , где 0 - к.-л. частное решение неоднор.

системы, а 1 , . . . , образуют ФСР однородной системы = 0.6.1Метод Гаусса решения СЛАУEx 6.1.⎧⎪⎨⎛⎞⎛⎞ + 3 = −10 1 3 −12 3 532 + 3 + 5 = 3 ↔ ⎝2 3 5 3 ⎠ → ⎝0 1 3 −1⎠ →⎪⎩3 5 7 60 1 −1 33 + 5 + 7 = 6⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞2 3 5 32 3 0 82 0 0 21 0 0 1→ ⎝0 1 3 −1⎠ → ⎝0 1 0 2 ⎠ → ⎝0 1 0 2 ⎠ → ⎝0 1 0 2 ⎠0 0 1 −10 0 1 −10 0 1 −10 0 1 −1Ответ: = 1; = 2; = −1Ex 6.2.⎛1 −5 −6 11⎝5 1 −4 31 87 −15(︂1 0→0 1Ответ:⎞⎛⎞(︂)︂−91 −5 −6 11 −91−5−611−97 ⎠ → ⎝0 26 26 −52 52 ⎠ →→0 11 −2 2170 13 13 −26 26)︂(︂)︂(︂ )︂−1 1 1−1 11˜˜= (||); =,=1 −2 21 −22⎛ ⎞⎛⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 −1⎞˜(︂)︂(︂ )︂1⎜0⎟⎟ ⎜−1 2 ⎟ 1− ⎜ .. ⎟ ⎜2⎜ ⎟⎟ ⎜⎟ = ⎜.⎟ +, 1,2 ∈ R⎝ . ⎠=⎜⎝0⎠ + ⎝ 10 ⎠ 2⎝ ..

⎠−001013Линейная алгебраDef 6.9.Версия №1.0(︂)︂−Φ=− Фундаментальная матрица (ФМ) системыЗамечание. − решение = ⇔ раскл. по ст-цам ∙1 , . . . , ∙ с к-тами 1 , . . . , Ex 6.3. Док-ть: строки ЛНЗ ⇔ = совместна ∀ ××1Док-во:” ⇒ ” {A имеет m ЛНЗ строк} ⇒ {А имеет m ЛНЗ столбцов} ⇒ {( ∙1 , . . . , ∙ ) = =⏞⏟ст-цы высоты m } ⇒ {∀ ∈ лин.

выражается ч-з ст-цы ∙1 , . . . , ∙ } ⇒ { = совместна ∀}×1×1” ⇐ ” Если в качестве b (поочередно) взять m первых столбцов (они ЛНЗ) единичнойматрицы, то они раскладываются по столбцам ∙1 , . . . , ∙ ⇒ (∙1 , . . . , ∙ ) > ⇒⏟⏞обр. м-цу с m стр.строки ЛНЗ.ч.т.д.Замечание. Что{︃ будет если переставлять местами переменные в ст-це = (1 , . . . , ) ?˜ = ↔ , т.е.⇒ ∙1 1 + · · · + ∙ ˜ + · · · + ∙ ˜ + · · · + ∙ = ˜ = ⎛ ⎞1⎜ .. ⎟⎜.⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ˜ ⎟⎜ .

⎟ ⎜ .1 ⎟˜ = (∙1 · · · ∙ · · · ∙ · · · ∙ ) ⎜ .. ⎟ = ⎝ .. ⎠ = ˜⎜ ⎟⎜ ˜ ⎟⎜ ⎟⎜.⎟⎝ .. ⎠Вывод: переобозначение переменных привело к перестановке столбцов основной м-цы системы (если вдуматься в этот факт, то он становится очевидным)Ex 6.4.⎛⎞⎛3 1 1 1 −2 23⎝ 6 1 2 3 −4 6 ⎠ → ⎝310 1 3 6 −7 111⎛1⎝→ 11⎞⎛⎞1 1 1 −2 22 1 1 0 −1 10 1 2 −2 4⎠ → ⎝1 0 1 0 0 2⎠0 0 1 −1 11 0 0 1 −1 1⎞1 0 0 −1 −10 1 0 02⎠0 0 1 −1 1Переобозначение: ˜1 = 2 , ˜2 = 3 , ˜3 = 4 , ˜4 = 1 , ˜5 = 5⎛ ⎞ ⎛⎞−11 −1⎛⎞⎜ 2 ⎟ ⎜1 0 ⎟ (︂ )︂1 0 0 1 −1 −1⎜ ⎟ ⎜⎟⎟ + ⎜1 −1⎟ 12 ⎠ ; ˜ = ⎜1˜ = ⎝0 1 0 1 0⎜ ⎟ ⎜⎟⎝ 0 ⎠ ⎝1 0 ⎠ 20 0 1 1 −1 100 114Линейная алгебраВерсия №1.0Совершая обратную замену (т.е. меняем строки в ˜) получаем x:⎛ ⎞ ⎛⎞0−1 0⎜−1⎟ ⎜−1 1⎟ (︂ )︂⎜ ⎟ ⎜⎟ 1⎟ ⎜⎟=⎜⎜ 2 ⎟ + ⎜−1 0⎟ 2⎝ 1 ⎠ ⎝−1 1⎠00 16.2Двойственность (нахождение СЛАУ по известной ФМ)Задача: по данной ФМ находим одну из СЛАУ.Идея: Пусть Φ = (∙1 . .

. ∙ ) - ФМ системы (А|0) ⇒ Φ = = Φ Т.О.: для СЛАУ (Φ |0) ∀ столбец А - решение.Алгоритм:1) Решаем систему (Φ |0)2) Транспонируем ФМ данной системы.3) Полученная матрица - матрица искомой СЛАУ.7Линейные (= Векторные) пространстваПеред тем как начать изучение данной темы стоит отметить, что те многомерныепространства о которых мы будем говорить можно считать некоторымиабстракциями, которые определены ТОЛЬКО АКСИОМАМИ (множества, прокоторые говорится в определении, могут быть совершенно разными:числа, матрицы, стулья, конфеты, студенты), которые на каждоммножестве вводятся принудительным образом.В дальнейшем вы встретите много конкретных примеров пространств сосвоими особенностями (метрические пространства, топологические, гильбертовы и т.д.),а на данном этапе нужно просто привыкнуть к "n-мерности"на примере линейных пространств.Не нужно себе представлять пространство размерности большей чем 3,нужно лишь знать и уметь применять свойства того пространства в которомвы решаете задачу.Также, для того чтобы легче решить какую либо задачу в n-мерномпространстве иногда достаточно решить эту задачу в 2 или 3 мерномпространстве и понять геометрический смысл.Def 7.1.