Конспект лекций Линейная алгебра - Долгопрудный

Линейная алгебра. Конспект лекций и семинаров.Петров Александр14 февраля 2020 г.1Линейная алгебраВерсия №1.0Содержание1 Введение42 Обозначения53 Обратная матрица (напоминание)3.1 Алгоритм нахождения −1 (Метод Гаусса) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664 Ранг матрицы4.1 Как находить ранг матрицы?7.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Скелетное разложение матрицы116 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)126.1 Метод Гаусса решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Двойственность (нахождение СЛАУ по известной ФМ) . . . . . . . . . . .

. . 157 Линейные (= Векторные) пространства157.1 Линейная зависимость. Ранг. Размерность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2 Замена базиса в ЛП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.3 Сумма подпространств. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 208 Линейные отображения и преобразования.8.1 Координатная запись отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2 Изменение матрицы ЛО при замене базисов . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Сумма и произведение отображений .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4 Изоморфизм линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5 Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5.1 Характеристический многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.8.5.2 Общий вид характеристического многочлена (отсутствует) . . . . .8.6 Собственные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6.1 Традиционный алгоритм нахождения собственных подпространств8.6.2 Алгоритм Бурмистрова нахождения собственных подпространств .8.6.3 Комплексные характеристические числа . . .

. . . . . . . . . . . . .8.7 Приведение матрицы преобразования к диагональному виду . . . . . . . .............9 Евклидовы пространства9.1 Ортогонализация методом Грамма-Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.1.1 Геометрический смысл ортогонализации . . . . . . . . . . . .

. . . . .9.2 Матрица Грамма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.1 Матрица Грамма при замене базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Ортогональное проецирование вектора на подпространство . . . . . .

. . . .9.3.1 Методы нахождения ортогональной проекции . . . . . . . . . . . . . .9.4 Ортогональное дополнение подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5 Расстояние от вектора до подпространства и угол между вектором и подпространством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .9.6 Объем параллелепипеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.6.1 Дополнительная формула объема параллелепипеда (отсутствует) . .2212425252626282828292930313233333434363636373838Линейная алгебраВерсия №1.010 Линейные преобразования в евклидовом пространстве10.1 Сопряженные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.10.2 Самосопряженные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3 Изоморфизм евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . .10.4 Ортогональные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.4.1 Матрица сужения ОП на C (отсутствует доказательство)...................................38383939394011 Унитарные пространства11.1 Матрица Грамма в УП . . . . . .

. . . . . . . . . . .11.1.1 Изменение МГ при переходе к новому базису11.2 Неравенство Коши-Буняковского в УП . . . . . . . .11.3 Скалярное произведение в УП . . . . . . . . . . . . .11.4 Сопряженные (= эрмитовы) преобразования в УП ....................................404040414141...................................12 Линейные функционалы12.1 Координатная запись ЛФ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2 Строка ЛФ при замене базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3 Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3.1 Биортогональный базис (ББ) . . . . . .

. . . . . . . . . . . .12.3.2 Матрица перехода от одного ББ к другому . . . . . . . . . .12.4 Линейные функционалы в евклидовых пространствах (отсутствует)..............................4141414242424313 Билинейные функции13.1 Квадратичные формы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2 Приведение квадратичной формы к диагональному виду . .13.3 Преобразование, присоединенное билинейной форме . . . . .13.4 Приведение пары квадратичных форм к диагональному виду13.4.1 Метод №1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.4.2 Метод №2 (метод Бурмистрова - отсутствует) . . . . ...............................44444546464646........................14 Полярное разложение преобразований4615 Поверхности II порядка (отсутствует)463Линейная алгебра1Версия №1.0ВведениеДанные конспекты были оцифрованы по нескольким причинам:∙ Во-первых, мне было интересно изучить глубже линейную алгебру, так как данныйпредмет является очень мощным инструментом, которым любой студент ФАЛТ МФТИ будет пользоваться практически во всех изучаемых науках.∙ Во-вторых, это была моя первая практика верстки текста в среде LATEX∙ Ну и в третьих, я надеюсь что эти записи помогут кому нибудь еще при изучениилинейной алгебры.Так как лектор и семинарист у меня были разными людьми, я видел два взгляда налинейную алгебру и попытался сформировать свой, который тут и изложил.К сожалению, мне не удалось успеть закончить все темы (из-за нехватки времени), поэтому я буду благодарен, если вы сообщите мне о пропускетой или иной темы, а также о смысловых ошибках и опечатках.НАСТОЯТЕЛЬНО РЕКОМЕНДУЮ СВЕРЯТЬ ДАННЫЙ МАТЕРИАЛ С ОФИЦИАЛЬНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ: ЛЕКЦИЯМИ И КНИГАМИ.Версии данных конспектов нумеруются как N.M, где N - количество добавлений новогоматериала с сделанными правками, M - количество сделанных правок без добавлениянового материала.4Линейная алгебра2Версия №1.0Обозначения∙ Def - определение∙ Th - теорема∙ Ex - пример5Линейная алгебра3Версия №1.0Обратная матрица (напоминание)Def 3.1.

В - обратная матрица к А, если = = Обозначение. = −1Def 3.2. ∃−1 ⇒ − обратимаяСвойства обратных матриц:1. ∃−1 ⇒ − квадратная2. ∃−1 ⇒ −1 − единственная3. ()−1 = −1 −14. ( )−1 = (−1 )Def 3.3. Элементарными преобразованиями строк называют:∙ перестановку местами любых двух строк матрицы;∙ умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;∙ прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.3.1Алгоритм нахождения −1 (Метод Гаусса)ЭП СтрокОбщий вид: (А|Е) −−−−−−→ (Е|−1 )Ex 3.1.⎛⎞⎛⎞⎛⎞1 1 1 1 0 01 1 1 10 01 1 1 1 0 0⎝1 2 2 0 1 0⎠ ⇒ ⎝0 1 1 −1 1 0⎠ ⇒ ⎝0 1 1 −1 1 0⎠ ⇒2 3 4 0 0 10 1 2 −2 0 10 0 1 −1 −1 1⏟⏞прямой ход метода Гаусса⎛⎞⎛⎞1 1 0 21 −11 0 0 2 −1 02 −1⎠ ⇒ ⎝0 1 0 02 −1⎠⇒ ⎝0 1 0 00 0 1 −1 −1 10 0 1 −1 −1 1⏞⏟обратный ход метода ГауссаЗамечание (Получение −1 и −1 ).(︂ )︂(︂)︂ ЭП столбцов−−−−−−−→−1)︀ЭП строк (︀(А|) −−−−−→ Е|−1 6Линейная алгебраВерсия №1.0Ex 3.2.

Решить матричное уравнение: = , где(︂)︂(︂)︂2 13 5=; =1 11 0Решение. Общий вид: = ⇒ −1 = −1 ⇒ = −1 Ответ:(︂)︂25=−1 −5Ex 3.3 (15.56). ∈ ; ∃ ∈ N : = .×Док − ть : + + 2 + · · · + −1 = ( − )−1Доказательство:⎧⎪( − ) = − ⎪⎪⎪⎪( − ) = − 2⎪⎨( − )2 = 2 − 3+⇒ ( − )( + + 2 + · · · + −1 ) = − = ⎪⏟⏞⎪⎪2 +···+−1 =(−)−1......⎪++⎪⎪⎩( − )−1 = −1 − ч.т.д.4Ранг матрицыПусть A - набор столбцов высоты m (для строк аналогично)Def 4.1 (Столбцовый ранг).

Если в наборе A ∃ r ЛНЗ столбцов и ∀ набор из (r+1)столбца ЛЗ, то будем говорить, что ранг A равен rОбозначение. A = Свойства столбцового ранга:1. A + B > ( A ∪ B) (док-во тривиально - от противного)2. A ⊃ B ⇒ A > BDef 4.2. {1 , . . . , } ⊂ A - базисная подсистема A , если:1) {1 , . . . , } - ЛНЗ2) ∀ ∈ A линейно выражается через {1 , . . . , }Th 4.1. A = ⇒ {1 , . . . , } − базисная подсистема для A{1 , . .

. , } ⊂ A − ЛНЗДоказательство.∙ { A = } ⇒ {∀ ∈ A ˓→ {1 , . . . , , } ⊂ A − ЛЗ} ⇒{︃}︃∑︁⇒ ∃ нетривиальная ЛК 0 + = 0=17Линейная алгебраВерсия №1.0∙ Если 0 = 0, то получаем нетрив. ЛК {1 , . . . , } равную 0 ⇒ ?!)︂ (︂∑︁Если 0 ̸= 0 ⇒ =− ⇒ A линейно выражается через {1 , . . . , }0=1{︃∙ Итог :{1 , . . .

, } ⊂ A − ЛНЗ,⇒ {1 , . . . , } − б. п. для A∀ ∈ A линейно выражается через {1 , . . . , }ч.т.д.Замечание. Рассмотрим - мн-во всех столбцов высоты m.Рассмотрим столбцы:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞100⎜0⎟⎜1⎟⎜ .. ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟1 = ⎜ .. ⎟ ; 2 = ⎜ .. ⎟ · · · = ⎜ . ⎟⎝.⎠⎝0⎠⎝.⎠001⏟⏞∈∙ {1 , · · · , } - ЛНЗ∙ ∀ ∈ рассклад.

по {1 , · · · , }⎛ ⎞1⎜ .. ⎟ = ⎝ . ⎠ = 1 1 + · · · + Вывод: {1 , · · · , } - базисная подсистема в ⇒ = Def 4.3 (ранг матрицы).⎛11⎜ 21⎜ = ⎜ ..×⎝ .1222...······1 2 · · ·⎞12 ⎟⎟.. ⎟ =. ⎠⎛⎞1∙⎜ .. ⎟⎝ . ⎠⏟∙⏞(︀= ∙1 · · ·⏟⏞∙)︀столбцовая записьстрочная запись = {∙1 , · · · , ∙ } = {1∙ , · · · , ∙ } ⇒ = Иными словами, ранг матрицы - это максимальное количество ЛНЗ столбцовили строк данной матрицы.

Ранг матрицы равен ее строчному и столбцовому рангам.Замечание. Равенство {∙1 , · · · , ∙ } = {1∙ , · · · , ∙ } иногда называют теоремой орангахЗамечание. Доказав равенство = , далее мы можем говорить о том, что всесвойства матриц связанные со столбцами так же верны и для строк.8Линейная алгебраВерсия №1.0Th 4.2. Если к матрице приписать какой либо столбец (строку), то ранг либо увеличится на 1, либо не изменится.Свойства ранга матрицы:1.