Конспект лекций Линейная алгебра - Долгопрудный (1187925), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . , ) ⎝ ... ⎠ = 0 ⇒ |Γ(1 , . . . , )| = 0Замечание. |Γ(1 , . . . , )| = 0 ⇔ 1 , . . . , - ЛЗ.Следствие. , ∈ E(︂)︂(, ) (, )|Γ(, )| == (, )(, ) − (, )2 > 0(, ) (, )⇒ |||| > |(, )| − неравенство Коши-БуняковскогоСледствие.( + , + ) = (, ) + 2(, ) + (, ) ≤ ||2 + 2|||| + ||2 = (|| + ||)2⇒ | + |2 ≤ (|| + ||)2Замечание.
Базис ортогонален ⇔ Γ векторов этого базиса диагональная35Линейная алгебра9.3Версия №1.0Ортогональное проецирование вектора на подпространство′′′′′′Утверждение 9.7. E ⊂ E : ∀ ∈ E ∃ ∈ E ∧ ∃ ⊥ E :′′= +′ - проекция на E′′ - ортогональнаясоставляющая′′Такое представление единственно.Доказательство. От противного. = ˜′ + ˜′′′= +′′′⊥E′′⇒ − ˜′ = − ˜′′ = ⇒′ ⇒ = 0⏟ ⏞⏟ ⏞∈E′′′′∈E∈Eч.т.д.9.3.1I методМетоды нахождения ортогональной проекции1.
Строим ОНБ в E′′2. Используем формулу для проекции: = (, 1 )1 + · · · + (, )′II метод E , E = L (1 , . . . , ). Пусть 1 , . . . , - ЛНЗ (к-тные ст-цы в некотором ОНБ из E )′⇒ = 1 1 + · · · + = (1 | . . . | )⎛ ⎞1′⎜ .. ⎟ ⇒ = =⎝ . ⎠′Чтобы найти найдем :′′ = + | · ′′ ⊥ L (1 , . .
. , )⇒ = ⏟ ⏞ =Γ′ = ( )−1 ⇒ = ( )−1 Замечание. Матрица перехода от одного ОБ к другому ОБ - ортогональная ( = −1 )9.4Ортогональное дополнение подпространства′′′Def 9.8. E⊥ = { ∈ E | ⊥ E } - ортогональное дополнение E до E .′Утверждение 9.8. E⊥ - подпространство. (выполнены все аксиомы)′′Утверждение 9.9. E = E ⊕ E⊥36Линейная алгебраДоказательство.Версия №1.0′1. Докажем сначала, что E = E + E′′′′′′′′∀ ∈ E ∃ ∈ E ∧ ∈ E⊥ : = + ′′′′′Множество всевозможных сумм + - это сумма подпространств.′′⇒ E ⊂ E + E⊥′′E ⊃ E + E⊥ (т.к. все векторы ∈ E )′′′′′⇒ E = E + E⊥′2. Докажем, что E + E⊥ = E ⊕ E⊥Если вектор лежит и в ортогональной проекции и в ортогональном дополнении, тоон ортогонален сам себе, следовательно он нуль.ч.т.д.′Утверждение 9.10.
(E⊥ )⊥ = EДоказательство.′′′′1. E = ⇒ E⊥ = − ⇒ (E⊥ )⊥ = ′′2. Докажем, что E ⊂ (E⊥ )⊥′′′′′∀ ∈ E ⇒ ⊥ E⊥ ⇒ ∈ (E⊥ )⊥ ⇒ E ⊂ (E⊥ )⊥ч.т.д.Утверждение 9.11. Подпространство часто задается СЛАУ:⎧⎧⎫⎪⎪⎨⎨ (1 , ) = 0 ⎪⎬′′. . . ⇒ E⊥ = L (1 , . . . , )E = :⎪⎪⎩⎩( , ) = 0 ⎪⎭9.5Расстояние от вектора до подпространства и угол между вектором и подпространством′E ⊂ E , ∈ E ′′Def 9.9.
Расстояние от до E : (, E ) = | − |∈E ′′′′Утверждение 9.12. (, E ) = ′ | − | = | |∈EDef 9.10. Угол между вектором и подпространством - это угол между вектором и′его проекцией на это подпространство. ( ̸= 0, ̸= 0)′′′′′′′[︁ ]︁(, )( + , )| |2| | ====>0⇒∈0,|||′ ||||′ ||||′ |||237Линейная алгебра9.6Версия №1.0Объем параллелепипедаDef 9.11. 1 , . . .
, - ЛНЗ.Π(1 , . . . , ) = { = 1 1 + · · · + | ∈ [0,1], = 1, . . . , }- параллелепипед, образованный на векторах 1 , . . . , Def 9.12. (1 , . . . , ) = (1 , . . . , −1 ) · ( , L (1 , . . . , −1 ))′′( , L (1 , . . . , −1 )) = | | - ортогональная составляющая относительно L (1 , .
. . , −1 ).′′′′′′′′⇒ (1 , . . . , ) = (1 , . . . , −2 )|−1 || = · · · = |1 | · · · · · | |⏟⏞′′′′ (1 , . . . , ) = |1 | · · · · · | |- объем параллелепипедаУтверждение 9.13. (1 , . . . , ) =√︀|Γ(1 , . . . , )|Замечание.′′ (1 , . . . , , ) (1 , . . . , )| |′′== | | (1 , . . . , ) (1 , . . .
, )9.6.110Дополнительная формула объема параллелепипеда (отсутствует)Линейные преобразования в евклидовом пространствеЗамечание (№0). Все свойства ЛП в евклидовом пространстве остаются как и в линейных,но с некоторыми добавлениями.Замечание. Далее мы заметим, что чем больше мы вводим ограничений в виде определений новых типов преобразований, тем интереснее и обширнее их свойства.10.1Сопряженные преобразованияDef 10.1. E , : E → E* : E → E - сопряженное к преобразование, если:∀, ∈ E ˓→ (, ()) = (* (), )Def 10.2.
− базис, Γ() ↔ * () ↔ * ↔ ↔* ↔ *() Γ = Γ* () Γ = Γ↔⇒ * = Γ−1 Γ - матрица сопряженного преобразованияЗамечание. В ОНБ: * = Свойства сопряженного преобразования:1. (* )* = 2. ()* = * *3. () = * ()38Линейная алгебра10.2Версия №1.0Самосопряженные преобразованияDef 10.3. - самосопряженное (ССП), если = *′Ex 10.1. E ⊂ E , - ортогональное проецирование на E′′′′′′= + = +() = ′′′′′′′′′′′⇒ ((), ) = ( , + ) = ( , ) = ( + , ) = (, ())′Следовательно - ОП - самосопряженное преобразование.Свойства самосопряженного преобразования:1. Характеристические числа вещественные2. СВ, принадлежащие разным СЗ - ортогональны друг другу′′3. E - инвар.
относительно ⇒ E⊥ - тоже инвариантно4. У ССП существует ОНБ из СВ5. ССП - диагонализуемоЗамечание.У ССП существует ОНБ из СВ′⇒ ∃ : = Λ = −1 = ССП - диагонализуемоΛ - диагональная матрицаЗамечание. С геометрической точки зрения ССП - это набор растяжений и сжатий квзаимно перпендикулярным осям.10.3Изоморфизм евклидовых пространствDef 10.4. Два евклидовых пространства - изоморфны, если существует взаимно однозначное линейное отображение, при котором:((), ()) = (, )т.е. - сохраняет скалярное произведение.Утверждение 10.1.′′′′′′E ∼= E ⇔ E = E10.4Ортогональные преобразованияDef 10.5.
Преобразование - ортогональное (ОП), если оно сохраняет скалярное произведение:((), ()) = (, )Утверждение 10.2. ОП - линейное39Линейная алгебраВерсия №1.0Свойства ортогонального преобразования:1. - ОП ⇒ * = −12. В ОНБ у ОП матрица ортогональная3. - ОП ⇒ - биекцияЗамечание. В бесконечномерных пространствах ОП не обязательно биекция.Пример: : → +1 (тогда 1 не соответствует никакой вектор)4. ХЧ по модулю равны 15. Сохраняет длины и углы между векторами6. e - ОНБ - ОП ⇔ (1 ), . .
. , ( ) - ОНБ7.e → f ⇒ - ортогональная матрицаОНБ10.4.1ОНБМатрица сужения ОП на C (отсутствует доказательство)Утверждение 10.3. Существует ОНБ в котором матрица ОП имеет вид блочнодиагональной, на диагонали которой находятся либо ±1 либо матрица вида:(︂)︂ − 11Унитарные пространстваDef 11.1. Линейное пространство над полем C называется унитарным (УП), если нанем введено скалярное произведение, подчиняющееся аксиомам:1) (, ) = (, )(не (, ) = (, ) как в ЛП над R, т.к.
(, ) = −(, ) < 0, что невозможно, т.к. длинавектора неотрицательна)2) ( + , ) = (, ) + (, )3) (, ) = (, ), но : (, ) = (, )(т.к. (, ) = (, ) = (, ) = (, ))Def 11.2. Матрица называется эрмитовой, если = 11.1Матрица Грамма в УП1 , . . . , - базис⎛⎞(1 , )УП.. ⎟ В=⇒Γ = Γ. ⎠( , )(1 , 1 ) · · ·⎜ ..Γ=⎝ .( , 1 ) · · ·11.1.1Изменение МГ при переходе к новому базису′E , = (1 , . . . , ), → ′↔↔′↔↔′′ = = ′′′⇒′ Γ = ( ) Γ ′′′′′( ) Γ( ) = ( ) Γ 40′′⇒ Γ = ΓЛинейная алгебра11.2Версия №1.0Неравенство Коши-Буняковского в УП, - любые векторы ∈ R, ∈ C( + , + ) = 2 (, ) + (, ) + ⏟ ⏞ (, ) + ||2 (, ) > 0=((, ) + (, ))2 − 4(, )||2 (, ) ≤ 0 ⇒ |(, )|2 (|(, )|2 − (, )(, )) ≤ 01 случай: (, ) ̸= 0 ⇒ ||2 ||2 > |(, )|22 случай: (, ) = 0 ⇒ 0 ≡ 011.3Скалярное произведение в УПУтверждение 11.1.
В УП: (, ) = Γ11.4Сопряженные (= эрмитовы) преобразования в УП((), ) = (, * ()) → ⇒* → *12( ) Γ = Γ(* ) Γ = Γ* ⇒ Γ = Γ*Линейные функционалыDef 12.1. Линейный функционал (= линейная функция)(ЛФ) - это линейное отображение: :L →RИначе говоря, это самое обычное линейное отображение, у которого "конечное" пространство - это одномерное пространство действительных чисел (переводит точки n-мерногопространства в чиселки).12.1Координатная запись ЛФЗамечание. Матрица ЛФ будет строкой 1 × , где n - размерность "исходного" пространства, а 1 - размерность числовой прямой: = ( (1 ) . . .
( )), где ( ) ∈ RУтверждение 12.1. Значение ЛФ на любом векторе определяется абсолютно такжекак и для ЛО:⎛ ⎞1(︀)︀ ⎜ . ⎟ () = (1 ) . . . ( ) ⎝ .. ⎠ = (() = − для ЛО)12.2Строка ЛФ при замене базиса′L , e, e → e :L →R′′ ′⇒ () = ( ) = ( ) = = = = ( (1 ) . . . ( ))↔′↔′41Линейная алгебраВерсия №1.0⇒ ′ = 12.3Сопряженное пространствоУтверждение 12.2.
Если строки двух ЛФ равны, то и ЛФ равны.Утверждение 12.3. Между функционалами и строками длины n - биекция.Утверждение 12.4.L , ( + ) ↔ + ↔ ↔ ⇒ ↔ Вывод:Между строками ЛФ и строками длины n биекция, а также сохраняются операции сЛФ. Следовательно, можно говорить о линейном пространстве линейных функционаловL * - сопряженное пространство по отношению к L ( L * = )Замечание. Сопряженное пространство можно также считать некоторой абстракцией и ненужно пытаться представить пространство функций, ведь мы изучаем свойства этого ЛП.Поэтому, говоря о пространстве ЛФ мы имеем ввиду самое обычное пространство строкдлины n (т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
