Конспект лекций Линейная алгебра - Долгопрудный (1187925)
Текст из файла
Линейная алгебра. Конспект лекций и семинаров.Петров Александр14 февраля 2020 г.1Линейная алгебраВерсия №1.0Содержание1 Введение42 Обозначения53 Обратная матрица (напоминание)3.1 Алгоритм нахождения −1 (Метод Гаусса) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664 Ранг матрицы4.1 Как находить ранг матрицы?7.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Скелетное разложение матрицы116 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)126.1 Метод Гаусса решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Двойственность (нахождение СЛАУ по известной ФМ) . . . . . . . . . . .
. . 157 Линейные (= Векторные) пространства157.1 Линейная зависимость. Ранг. Размерность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2 Замена базиса в ЛП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.3 Сумма подпространств. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 208 Линейные отображения и преобразования.8.1 Координатная запись отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2 Изменение матрицы ЛО при замене базисов . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Сумма и произведение отображений .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4 Изоморфизм линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5 Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5.1 Характеристический многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.8.5.2 Общий вид характеристического многочлена (отсутствует) . . . . .8.6 Собственные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6.1 Традиционный алгоритм нахождения собственных подпространств8.6.2 Алгоритм Бурмистрова нахождения собственных подпространств .8.6.3 Комплексные характеристические числа . . .
. . . . . . . . . . . . .8.7 Приведение матрицы преобразования к диагональному виду . . . . . . . .............9 Евклидовы пространства9.1 Ортогонализация методом Грамма-Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.1.1 Геометрический смысл ортогонализации . . . . . . . . . . . .
. . . . .9.2 Матрица Грамма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.1 Матрица Грамма при замене базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Ортогональное проецирование вектора на подпространство . . . . . .
. . . .9.3.1 Методы нахождения ортогональной проекции . . . . . . . . . . . . . .9.4 Ортогональное дополнение подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5 Расстояние от вектора до подпространства и угол между вектором и подпространством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .9.6 Объем параллелепипеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.6.1 Дополнительная формула объема параллелепипеда (отсутствует) . .2212425252626282828292930313233333434363636373838Линейная алгебраВерсия №1.010 Линейные преобразования в евклидовом пространстве10.1 Сопряженные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.10.2 Самосопряженные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3 Изоморфизм евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . .10.4 Ортогональные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.4.1 Матрица сужения ОП на C (отсутствует доказательство)...................................38383939394011 Унитарные пространства11.1 Матрица Грамма в УП . . . . . .
. . . . . . . . . . .11.1.1 Изменение МГ при переходе к новому базису11.2 Неравенство Коши-Буняковского в УП . . . . . . . .11.3 Скалярное произведение в УП . . . . . . . . . . . . .11.4 Сопряженные (= эрмитовы) преобразования в УП ....................................404040414141...................................12 Линейные функционалы12.1 Координатная запись ЛФ . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2 Строка ЛФ при замене базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3 Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3.1 Биортогональный базис (ББ) . . . . . .
. . . . . . . . . . . .12.3.2 Матрица перехода от одного ББ к другому . . . . . . . . . .12.4 Линейные функционалы в евклидовых пространствах (отсутствует)..............................4141414242424313 Билинейные функции13.1 Квадратичные формы .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2 Приведение квадратичной формы к диагональному виду . .13.3 Преобразование, присоединенное билинейной форме . . . . .13.4 Приведение пары квадратичных форм к диагональному виду13.4.1 Метод №1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.4.2 Метод №2 (метод Бурмистрова - отсутствует) . . . . ...............................44444546464646........................14 Полярное разложение преобразований4615 Поверхности II порядка (отсутствует)463Линейная алгебра1Версия №1.0ВведениеДанные конспекты были оцифрованы по нескольким причинам:∙ Во-первых, мне было интересно изучить глубже линейную алгебру, так как данныйпредмет является очень мощным инструментом, которым любой студент ФАЛТ МФТИ будет пользоваться практически во всех изучаемых науках.∙ Во-вторых, это была моя первая практика верстки текста в среде LATEX∙ Ну и в третьих, я надеюсь что эти записи помогут кому нибудь еще при изучениилинейной алгебры.Так как лектор и семинарист у меня были разными людьми, я видел два взгляда налинейную алгебру и попытался сформировать свой, который тут и изложил.К сожалению, мне не удалось успеть закончить все темы (из-за нехватки времени), поэтому я буду благодарен, если вы сообщите мне о пропускетой или иной темы, а также о смысловых ошибках и опечатках.НАСТОЯТЕЛЬНО РЕКОМЕНДУЮ СВЕРЯТЬ ДАННЫЙ МАТЕРИАЛ С ОФИЦИАЛЬНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ: ЛЕКЦИЯМИ И КНИГАМИ.Версии данных конспектов нумеруются как N.M, где N - количество добавлений новогоматериала с сделанными правками, M - количество сделанных правок без добавлениянового материала.4Линейная алгебра2Версия №1.0Обозначения∙ Def - определение∙ Th - теорема∙ Ex - пример5Линейная алгебра3Версия №1.0Обратная матрица (напоминание)Def 3.1.
В - обратная матрица к А, если = = Обозначение. = −1Def 3.2. ∃−1 ⇒ − обратимаяСвойства обратных матриц:1. ∃−1 ⇒ − квадратная2. ∃−1 ⇒ −1 − единственная3. ()−1 = −1 −14. ( )−1 = (−1 )Def 3.3. Элементарными преобразованиями строк называют:∙ перестановку местами любых двух строк матрицы;∙ умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;∙ прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.3.1Алгоритм нахождения −1 (Метод Гаусса)ЭП СтрокОбщий вид: (А|Е) −−−−−−→ (Е|−1 )Ex 3.1.⎛⎞⎛⎞⎛⎞1 1 1 1 0 01 1 1 10 01 1 1 1 0 0⎝1 2 2 0 1 0⎠ ⇒ ⎝0 1 1 −1 1 0⎠ ⇒ ⎝0 1 1 −1 1 0⎠ ⇒2 3 4 0 0 10 1 2 −2 0 10 0 1 −1 −1 1⏟⏞прямой ход метода Гаусса⎛⎞⎛⎞1 1 0 21 −11 0 0 2 −1 02 −1⎠ ⇒ ⎝0 1 0 02 −1⎠⇒ ⎝0 1 0 00 0 1 −1 −1 10 0 1 −1 −1 1⏞⏟обратный ход метода ГауссаЗамечание (Получение −1 и −1 ).(︂ )︂(︂)︂ ЭП столбцов−−−−−−−→−1)︀ЭП строк (︀(А|) −−−−−→ Е|−1 6Линейная алгебраВерсия №1.0Ex 3.2.
Решить матричное уравнение: = , где(︂)︂(︂)︂2 13 5=; =1 11 0Решение. Общий вид: = ⇒ −1 = −1 ⇒ = −1 Ответ:(︂)︂25=−1 −5Ex 3.3 (15.56). ∈ ; ∃ ∈ N : = .×Док − ть : + + 2 + · · · + −1 = ( − )−1Доказательство:⎧⎪( − ) = − ⎪⎪⎪⎪( − ) = − 2⎪⎨( − )2 = 2 − 3+⇒ ( − )( + + 2 + · · · + −1 ) = − = ⎪⏟⏞⎪⎪2 +···+−1 =(−)−1......⎪++⎪⎪⎩( − )−1 = −1 − ч.т.д.4Ранг матрицыПусть A - набор столбцов высоты m (для строк аналогично)Def 4.1 (Столбцовый ранг).
Если в наборе A ∃ r ЛНЗ столбцов и ∀ набор из (r+1)столбца ЛЗ, то будем говорить, что ранг A равен rОбозначение. A = Свойства столбцового ранга:1. A + B > ( A ∪ B) (док-во тривиально - от противного)2. A ⊃ B ⇒ A > BDef 4.2. {1 , . . . , } ⊂ A - базисная подсистема A , если:1) {1 , . . . , } - ЛНЗ2) ∀ ∈ A линейно выражается через {1 , . . . , }Th 4.1. A = ⇒ {1 , . . . , } − базисная подсистема для A{1 , . .
. , } ⊂ A − ЛНЗДоказательство.∙ { A = } ⇒ {∀ ∈ A ˓→ {1 , . . . , , } ⊂ A − ЛЗ} ⇒{︃}︃∑︁⇒ ∃ нетривиальная ЛК 0 + = 0=17Линейная алгебраВерсия №1.0∙ Если 0 = 0, то получаем нетрив. ЛК {1 , . . . , } равную 0 ⇒ ?!)︂ (︂∑︁Если 0 ̸= 0 ⇒ =− ⇒ A линейно выражается через {1 , . . . , }0=1{︃∙ Итог :{1 , . . .
, } ⊂ A − ЛНЗ,⇒ {1 , . . . , } − б. п. для A∀ ∈ A линейно выражается через {1 , . . . , }ч.т.д.Замечание. Рассмотрим - мн-во всех столбцов высоты m.Рассмотрим столбцы:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞100⎜0⎟⎜1⎟⎜ .. ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟1 = ⎜ .. ⎟ ; 2 = ⎜ .. ⎟ · · · = ⎜ . ⎟⎝.⎠⎝0⎠⎝.⎠001⏟⏞∈∙ {1 , · · · , } - ЛНЗ∙ ∀ ∈ рассклад.
по {1 , · · · , }⎛ ⎞1⎜ .. ⎟ = ⎝ . ⎠ = 1 1 + · · · + Вывод: {1 , · · · , } - базисная подсистема в ⇒ = Def 4.3 (ранг матрицы).⎛11⎜ 21⎜ = ⎜ ..×⎝ .1222...······1 2 · · ·⎞12 ⎟⎟.. ⎟ =. ⎠⎛⎞1∙⎜ .. ⎟⎝ . ⎠⏟∙⏞(︀= ∙1 · · ·⏟⏞∙)︀столбцовая записьстрочная запись = {∙1 , · · · , ∙ } = {1∙ , · · · , ∙ } ⇒ = Иными словами, ранг матрицы - это максимальное количество ЛНЗ столбцовили строк данной матрицы.
Ранг матрицы равен ее строчному и столбцовому рангам.Замечание. Равенство {∙1 , · · · , ∙ } = {1∙ , · · · , ∙ } иногда называют теоремой орангахЗамечание. Доказав равенство = , далее мы можем говорить о том, что всесвойства матриц связанные со столбцами так же верны и для строк.8Линейная алгебраВерсия №1.0Th 4.2. Если к матрице приписать какой либо столбец (строку), то ранг либо увеличится на 1, либо не изменится.Свойства ранга матрицы:1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
