Конспект лекций Линейная алгебра - Долгопрудный, страница 4

(L1 ∩ L2 ) ⊕ = L2 , то + L1 = ⊕ L1 ⇒ dim = dim L2 − dim (L1 ∩ L2 ) = dim (L1 + L2 ) − dim L1ч.т.д.8Линейные отображения и преобразования.Def 8.1. Отображение из множества А в множество В - это правило по которому каждому элементу из А сопоставлен элемент или множество элементов из В.Def 8.2. Если : L → L˜ :1) ∀, ∈ L ˓→ ( + ) = () + ()2) ∀ ∈ L , ∀ ∈ R(C) ˓→ () = ()то - линейное отображение из пространства L в L˜.21Линейная алгебраВерсия №1.0Def 8.3. Если L = L˜, то линейное отображение называется линейным преобразованием.Def 8.4. Пусть ⊂ L - набор векторов из L .() = {() | ∈ } - образ Def 8.5. = (L ) = {() | ∈ L } - образ отображения .(т.е.

это все векторы "конечного" пространства (включая 0), которые имеют прообраз в"исходном" пространстве)Def 8.6. = { ∈ L | () = 0} - ядро отображения (т.е. это те векторы из "исходного" пространства, которые при действии на них отображения переходят в 0)Замечание. Для лучшего понимания понятий образ и ядро полезно представлять себе воттакую картинку:где L1 - "исходное" пространство, L2 - "конечное" пространство.Замечание. : L → L˜ - нулевое отображение = 0⇒ = L∀ ∈ L ˓→ () = 0 ∈ L˜Свойства линейного отображения:1.

(0) = 0(︂ )︂∑︀∑︀2. = ( )=1=1′′2.1. Если L ⊂ L - подпространство, то: (L ) - подпространство в L˜.2.2. - подпространство.2.3. - подпространство.22Линейная алгебраВерсия №1.02.4. ЛЗ вектора переходят в ЛЗ.2.5. > ()′′2.6. L > (L )Def 8.7. = - ранг отображения.Def 8.8. - инъекция, если ̸= ⇒ () ̸= ()(разные вектора переходят в разные)Замечание. - инъективное ⇒ = 0Замечание.

- инъективное ⇒ ЛНЗ векторы переходят в ЛНЗ.Def 8.9. - сюръекция, если = L˜Th 8.1 (Критерий сюръективности). - сюръекция ⇔ = Ex 8.1 (23.8(4)). Даны ⃗, ⃗ ̸= ⃗0 : (⃗,⃗) ̸= 0L1 - прямая, параллельная ⃗L2 - плоскость, перпендикулярная ⃗ - проекция на L1 вдоль L2Найти формулу для , проверить его линейность, найти , , .Решение:∙ L = L1 ⊕ L2Выберем базис в L : ⏟ ⃗⏞ , [⃗,⃗], [⃗,[⃗,⃗]]⏟⏞∈L1∈L2Любой вектор из L можно разложить по базису:⃗ =+[⃗,⃗] + [⃗,[⃗,⃗]] | · ⃗ (скалярно)⏟⃗⏞пр-я на L1 вдоль L2(⃗, ⃗) = (⃗, ⃗) ⇒ =(⃗, ⃗)(⃗, ⃗)⇒ Ответ: (⃗) =⃗(⃗, ⃗)(⃗, ⃗)∙ Линейность следует из линейности скалярного произведения:∀⃗,⃗ ∈ L ˓→ (⃗ + ⃗ ) =(⃗ + ⃗ , ⃗)(⃗, ⃗)(⃗ , ⃗)⃗ =⃗ +⃗ = (⃗) + (⃗ )(⃗, ⃗)(⃗, ⃗)(⃗, ⃗)∀⃗ ∈ L , ∀ ∈ R ˓→ (⃗) = (⃗)∙ = {⃗ | (⃗,⃗) = 0 } = L2⏟⏞ = {⃗ | ∈ R} = L1Ур-е пл-ти ⊥⃗ = = 123Линейная алгебра8.1Версия №1.0Координатная запись отображенийОчень важным является то, что каждому линейному отображению в некоторых базисах(в исходном и конечном пространствах) сопоставлена некоторая матрица размера ×, где количество строк m - это размерность пространства В КОТОРОЕ отображают, аколичество столбцов n - это размерность пространства ОТКУДА отображают.Столбцы этой матрицы имеют важный смысл, который определяет действие отображения на каждый базисный вектор исходного пространства.Интуитивно понятно, что если мы знаем действие отображения на каждый базисныйвектор данного пространства, то мы также знаем его действие на любой вектор из этогопространства.Покажем это, отыскав связь между координатным столбцом любого вектора из исходного пространства с координатным столбцом образа этого вектора в конечном пространстве, зная как действует отображение на базисные вектора (координатные столбцыв конечном пространстве).L˜ , f = (1 .

. . )L , e = (1 . . . ) = 1 1 + · · · + () = 1 (1 ) + · · · + ( )( ) = 1 1 + · · · + ( = 1, . . . ,)() = 1 1 + · · · + ∑︀ ==1∑︀=1∑︀ ∑︀∑︀==1 ==1 =1 =⇓∑︀∑︀=1∑︀ =1 =1⎞⎛⎛111⎜ .. ⎟ ⎜ ..⎝ . ⎠=⎝ .···1 · · ·⎞⎛ ⎞11.. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⇒ = A. ⎠⎝ . ⎠Def 8.10. Матрицей ЛО : L → L˜ в базисах e, f называется:⎞⎛11 · · · 1⎜.. ⎟ = (︀ · · · )︀ (обозначение : → ) = ⎝ ...∙1∙. ⎠×,1 · · · i-ый столбец матрицы линейного отображения - координатный столбец образаi-го старого базисного вектора в новом базисеЗамечание. = A ⇒ = { ↔ | A = 0} = L (∙1 , .

. . , ∙ )(если в исходном пространстве базис 1 , . . . , , то = L ((1 ), . . . , ( )))Th 8.2. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения: = 24Линейная алгебраВерсия №1.0Th 8.3. + = Замечание. = 0 ⇔ = Замечание. О сюръективности или инъективности ЛО также можно судить, зная его матрицу:∙ столбцы м-цы ЛО ЛНЗ ⇔ ЛО - инъекция∙ строки м-цы ЛО ЛНЗ ⇔ ЛО - сюръекцияDef 8.11. Отображение - биекция, если каждому ∈ L˜ соответствует прообраз одногои только одного вектора из L , т.е.

ЛО и сюръекция и инъекция.Замечание.Для инъекции : = ⇒ = = ⇔ - биекцияДля сюръекции : = 8.2Изменение матрицы ЛО при замене базисовТак как матрица ЛО зависит от базисов в исходном и конечном пространствах, то при ихзамене она изменится.Найдем связь матрицы ЛО, записанной в новом базисе с матрицей, записанной в старомбазисе, зная матрицы переходов от старых базисов к новым. : L → L˜, e, f - базисы в L и L˜′e = e′f = f′⇒ →′ ′ ,Пусть ∈ L , = () ∈ L˜e↔′e↔ = ′′f↔′′′′′′′′ = ′′В случае преобразования: = −1 8.3Сумма и произведение отображений, : L → L˜, ∈ RDef 8.12.( + )() = () + ()Замечание.′−1−1′f ↔ ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ( + ) → + →,→()() = (),⇒() → ,,25Линейная алгебраВерсия №1.0Def 8.13. : L → L˜˜˜⇒ ∀ ∈ L ˓→ ()() = (()) ∈ L˜ ⇒ : L → L˜˜ : L˜ → L˜Def 8.14.

: L → L0 = (единичное преобразование - () = )1 = ··· = · . . . ⏞⏟ разDef 8.15. : L → L() = 0 + 1 + 2 2 + · · · + () = 0 + 1 + 2 2 + · · · + Замечание. → ⇒ () → () = 0 + 1 + 2 2 + · · · + 8.4Изоморфизм линейных пространствDef 8.16. Изоморфизм - биекция с сохранением операций.Def 8.17. Если существует изоморфизм L → L˜, то ЛП L и L˜ - изоморфны.Обозначение. L ∼= L˜Ex 8.2. Выбор базиса в n-мерном ЛП определяет изоморфизм этого ЛП на n-мерное арифметическое пространство (пространство столбцов - координат), сопостовляющий каждомувектору его координатный столбец. Это координатный изоморфизм.Th 8.4 (Теорема об изоморфизме).

L ∼= L˜ ⇔ L = L˜Замечание (Значение теоремы об изоморфизме (!!!)). ЛП могут состоять из чегоугодно - столбцов, многочленов, чисел, направленных отрезков, функций - природа ихэлементов роли не играет, когда изучаются их свойства, связанные с линейными операциями.Все эти свойства у двух изоморфных пространств совершенно одинаковые. Если мыусловимся не различать между собой изоморфные пространства, то для каждой размерности существует только одно линейное пространство.Иными словами, мы можем изучать свойства связанные с линейными операциями уобычных арифметических пространств, а не у всевозможных абстрактных линейных пространств.8.5Инвариантные подпространстваЗамечание.

Начиная с этого момента под и другими обозначениями ЛО мы будем понимать линейное преобразование, если не оговорено противное.В связи с этим следует обратить внимание на то, что образ и ядро преобразованиябудут находиться в одном ЛП. В дальнейшем мы сможем определить те условия, прикоторых образ и ядро могут совпадать, быть вложенными друг в друга или не иметьобщих векторов.26Линейная алгебраВерсия №1.0Def 8.18. Подпространство L˜ ⊂ L инвариантно относительно преобразования .

если(L˜) ⊂ L˜ (т.е.: ∀ ∈ L˜ ˓→ () ∈ L˜).Переводя на русский язык - подпространство инвариантно относительно преобразования,если после действия преобразования на каждый вектор данного подпространства ни одиниз этих векторов "не выпрыгнул" из этого подпространства.В качестве упражнения советую вам доказать следующие замечания:Замечание. ∀ ˓→∙ - инвариантное подпространство (( ) ⊂ )∙ ∀L˜ ⊃ ˓→ L˜ - инвариантное подпространство.∙ - инвариантное подпространство.∙ ∀L˜ ⊂ ˓→ L˜ - инвариантное подпространство.Отсюда можно сделать вывод, что L и 0 всегда инвариантные подпространства.Замечание.

L1 , . . . , L - инвариантные подпространства относительно преобразования, то:∙ L1 ∩ · · · ∩ L - инвариантное подпространство∙ L1 + · · · + L - инвариантное подпространство.Утверждение 8.1. = (1 , . . . , ) - базис в L(︃1) L˜ = L (1 , . . . , ) − инвариантно относительно ⇔ =)︃∙0∙×⎛ ˜L1 = L (1 , . . . , 1 ) − инвариантно⎜1 ×10L2 = L (1 +1 , . . . , 1 +2 ) − инвариантно ⇔ → = ⎜2)⎝L3 = L (1 +2 +! , . . . , 1 +2 +3 ) − инвариантно00˜2 ×200⎞⎟0 ⎟⎠˜3 ×31 + 2 + 3 = Замечание. Если = (1 . . .

) - базис пространства L и L (1 ), . . . , L ( ) - инвариантные подпространства относительно , то действие линейного преобразования на базисныевекторы будет следующим: ( ) = и:⎞⎛1 0 · · · 0⎜ 0 2 · · · 0 ⎟⎜⎟ = ⎜ ...... ⎟..⎝.. .⎠.0 · · · · · · ′′′′′Def 8.19. - ограничение (сужение) преобразования если : L → L , L подпространство (инвариантное)Замечание. В случае утверждения выше матрицами сужения преобразования с матрицей˜ , ˜ .А являются: ˜ , 1 ×1 2 ×2 3 ×3Th 8.5. Если преобразования и перестановочны, то ядро и множество значенийодного из них инвариантно относительно другого.27Линейная алгебраВерсия №1.0Доказательство. В два пункта:∙ Если ∈ , то () = 0 ⇒ (()) = 0 ⇒ (()) = 0 ⇒ () ∈ ∙ Если ∈ , то ∃ : = () ⇒ () = (()) = (()) ⇒ () ∈ ч.т.д.8.5.1Характеристический многочленDef 8.20.

→ () = | − |- характеристический многочлен преобразования Утверждение 8.2. () не зависит от базиса е.Def 8.21. Уравнение () = 0 - характеристическое уравнение (ХУ) . Его корни характеристические числа (ХЧ) .8.5.28.6Общий вид характеристического многочлена (отсутствует)Собственные подпространстваDef 8.22. L - вещественное (комплексное) ЛП.

Число ∈ R(C) - собственное значение(СЗ) линейного преобразования, если:∃ ̸= : () = .При этом - собственный вектор (СВ), отвечающий собственному значению .Замечание. (вспомните предыдущие 2 замечания)∙ − СВ ⇔ L () - одномерное инвариантное подпространство ∙ Если - СЗ, то хотя бы один СВ ему принадлежащий существует.Th 8.6. (О связи СЗ и ХЧ)∙ В комплексном ЛП: - ХЧ ⇔ - СЗ∙ В действительном ЛП: ∈ R ⇔ - СЗDef 8.23. − СЗ .