Рассчёт допусков, страница 3

6.4).Тогда по "правилу трех сигм"w(y)половина поля допуска δ(у) на выδ(y)δ(y)ходной параметр может быть записана какM(y)Рис. 6.4. Кривая распределениявыходного параметраyδ( y ) ≈ 3σ( y ) ;(6.11)⎛ ∆y ⎞ δ(y)⋅ 100% .δ⎜⎜ ⎟⎟ =⎝ y ⎠ M(y)(6.12)Так как мы воспользовались"правилом трех сигм", то этот допуск будет гарантироваться с вероятностью Р г = 0,9973.Основу метода Монте-Карло составляет процесс полученияслучайных реализаций устройства или процесса.

Каждая реализацияописывается значением выходного параметра рассматриваемого14устройства или процесса. Как правило, ей соответствует определенное сочетание первичных параметров и новое значение выходногопараметра.Значения первичных параметров для той или иной реализацииустанавливают не произвольно, а с учетом их вероятностного описания, т.е. используют характеристикиM(x i ), σ(x i ), w(x i ); i = 1, …, n,где n– число первичных параметров, принимаемых во внимание прирассмотрении устройства или процесса.Значения выходного параметра в каждой реализации определяются, как правило, новой комбинацией (сочетанием) первичных параметров (рис.

6.5). На рис. 6.5 штриховкой обозначены поля допусков первичных параметров.w( xi )x1x2• • • • • • • • • • • • • • • • • • •xn2-я комбинация1-я комбинация3-я комбинацияРис. 6.5. Получение случайной комбинации первичных параметровПолучив N реализаций устройства или процесса, можно сформировать рядy 1 , y 2 , …, y N .Статистическая обработка этого ряда позволяет определить характеристики М(у) и σ(у).При практической реализации метода Монте-Карло используютматематическое или физическое моделирование устройств или процессов.15При математическом моделировании используют модель устройства или процесса в виде выраженияy=φ(x 1 , …, x n ),(6.13)где п – количество принятых во внимание первичных параметров.Метод Монте-Карло с использованием математического моделирования реализуют, как правило, на ЭВМ. Исходными даннымидолжны быть:• количество первичных параметров п;• вероятностное описание первичных параметров, т.е.

характеристики M(x i ), σ(x i ), w(x i ); i=1, …, n;• требуемое число реализации устройства или процесса N.Последовательность действий при реализации метода:1. Уточняют требуемое число N. В инженерной практике дляопределения этой величины часто пользуются выражением4[σ( y )]N≥,∆22(6.14)где ∆ – заданная до проведения моделирования допустимая погрешность (ошибка) в определении характеристики М(у);σ(у) –среднее квадратическое отклонение выходного параметра.Формула (6.14) предполагает, что по результатам моделирования математическое ожидание М(у) с ошибкой ∆ гарантируется с доверительной вероятностью γ = 0,95.

Число 4 в указанной формулеесть не что иное, как tγ2 , так как при γ = 0,95 t γ = 1,96 ≈ 2 (см.табл.6.1).2. Используя генераторы случайных чисел (подпрограммы дляЭВМ), получают случайную комбинацию первичных параметров дляпервой реализации устройства или процесса.3. Подставляют полученную комбинацию значений первичныхпараметров в математическую модель вида (6.1)и рассчитывают значение у, соответствующее первой реализации.4. Действия, описанные в пунктах 2-3, повторяют N раз. В итогеполучают рядy 1 , y 2 , …, y N .5. Выполняют математическую обработку полученного ряда инаходят характеристики М(у), σ(у).6. При необходимости устанавливают значение допуска на выходной параметр.16При определении значения N предполагается известным σ(y).Если же σ(y) неизвестно, то поступают следующим образом.

Задаются некоторым числом реализаций устройства или процесса N 1 .N 1 ≥ 500...1000.Выполняют N 1 реализаций. Оценивают значение σ(y) и проверяют условие (6.14). Если оно выполняется, то заданная точностьопределении М(у) уже достигнута. В противном случае увеличиваютчисло реализаций процесса или устройства, корректируют значениеσ(y) и вновь по условию (6.14) проверяют, достигнута ли заданнаяточность.6.12 Принцип оценки стабильности выходных параметровСтабильность выходных параметров – это свойство устройстваили технологического процесса. Она характеризует степень неизменности (постоянство) выходного параметра в условиях воздействия факторов окружающей среды и процессов старения (фактор –время), причем подразумевается неизменность выходного параметраотносительно своего начального значения в нормальных условияхэксплуатации.Замечено, что применительно к многим видам устройств радиоэлектроники и приборостроения нестабильность, обусловленная такими факторами, как температура и время, составляет не менее90...95% общей нестабильности выходных параметров, причем надолю температуры приходится до 60...70%.

Поэтому, если изделиеэксплуатируется не в каких-то специфических условиях, то в инженерных расчетах, как правило, принимают во внимание эти два важнейших фактора – температуру и время.Известно, что для количественной оценки температурной ивременной стабильности первичных параметров (параметров элементов) могут использоваться температурные коэффициенты и коэффициенты старения. В принципе подобные коэффициенты можно былобы использовать и для количественной оценки температурной и временной стабильности выходных параметров устройств или процессов. Однако в промышленности для этого пользуются температурными допусками и допусками старения.В основу оценки стабильности выходного параметра положеноуравнение относительной погрешности, обусловленной действиемтого или иного эксплуатационного фактора.Предположим, что известна математическая модель устройстваили процесса в виде выражения (6.1):y=φ(x 1 , …, x n ).17Тогда, по аналогии с получением уравнения относительнойпроизводной погрешности выходного параметра, можно получитьуравнение относительной погрешности выходного параметра, обусловленной действием эксплуатационных факторов.

Вид интересующего нас уравнения таковn⎛ ∆x ⎞⎛ ∆y ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ Bi ⎜⎜ i ⎟⎟ ,⎝ y ⎠ j i =1 ⎝ xi ⎠ j(6.15)Bi– коэффициент влияния i-ro первичного параметра;(∆x i /x i ) j – относительное изменение i-го первичного параметра,вызываемое действием j-го эксплуатационного фактора.Индекс j подчеркивает конкретный эксплуатационный фактор.Приведенное уравнение относительной погрешности использоватьсразу для оценки стабильности выходных параметров не представляется возможным в силу случайного характера величин (∆x i /x i ) j . Однако это уравнение позволяет получить рабочие формулы, используемые при определении температурных допусков и допусковстарения.где6.13.

Определение температурных допусков и допусков старенияЗдесь и далее при анализе стабильности выходных параметровпримем во внимание два важнейших фактора: температуру и время.Экспериментально установлено, что температурные и временные изменения первичных параметров носят случайныйхарактер и сопровождаются различного рода выбросами (флуктуациями), как показано на рис.6.6.Чтобы выполнять инженерные расчеты, указанные измененияпринимают за квазиде⎛ ∆xi ⎞⎜⎜⎟⎟терминированные про цес⎝ xi ⎠t °сы, в которых прослежи⎛ ∆xi ⎞вается тенденция изменеРеальный⎜⎜⎟⎟xния параметров, и а п процесс⎝ i ⎠ стпроксимируюткакимиЛинейнаялибоматематическимимодельмоделями. В инженернойТемпература tпрактике популярна аппроксимация линейнымиВремя τмоделями. С учетом лиРис. 6.6.

Случайный характернейнойаппроксимациитемпературных и временных измененийможно записать:первичных параметров18⎛ ∆x i⎜⎜⎝ xi⎞⎟⎟ = α i ∆t ;⎠t°(6.16)⎛ ∆xi ⎞⎟⎟ = сi ∆τ ,⎜⎜⎝ xi ⎠ cт(6.17)где α i – температурный коэффициент i-го первичного параметра, показывающий, как изменяется первичный параметр при изменении температуры на один градус; обычно имеет размерность [%/град C];∆t = t c p – 20°C,где t c p – температура окружающей среды, °C;с i – коэффициент старения i-го первичного параметра; показывающий изменение первичного параметра за каждый часвремени эксплуатации; имеет размерность [%/час];∆τ – рассматриваемый интервал времени.Так как для устройств обычно задается диапазон рабочих температур, то условно различают две их области: положительную и отрицательную (рис.6.7).В инженерных расчетах в ка+–честве t c p принимают: для отрицательной области – наименьшую, а+20t, °Cдля положительной – наибольшуюРис. 6.7.

Положительная ииз возможных температур.отрицательная областиСледует помнить, что значениятемпературкоэффициентов α i для этих областеймогут отличаться. Например, для резисторов типа МЛТα i = ±7 ⋅ 10 −2 % / °C при t = +20…100°C;α i = ±12 ⋅ 10 −2 % / °C при t= –60…+20°C.В таких случаях анализ температурной стабильности выходногопараметра ведут по двум ветвям, а окончательное решение о температурном допуске должно приниматься с учетом возможных температурных изменений параметра как для области отрицательных, таки для области положительных температур.В справочной литературе во многих случаях коэффициентыстарения c i в явном виде не указываются. Приводится лишь информация об изменении первичного параметра, происходящем, например, за 5000 час.19Подставив (6.16) и (6.17) в уравнение относительной погрешности, обусловленной действием j-го эксплуатационного фактора, можно записать:nn⎛ ∆y ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ Bi α i ∆t = ∆t ∑ Bi α i = ∆t ⋅ α ∑ ;i =1⎝ y ⎠ t ° i =1(6.18)nn⎛ ∆y ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ Bi сi ∆τ = ∆τ∑ Bi сi = ∆t ⋅ с∑ .i =1⎝ y ⎠ cт i =1(6.19)В выражениях (6.18) и (6.19) величины α Σ и сΣ могут рассматриваться соответственно как суммарный температурный коэффициент и суммарный коэффициент старения функционального узла приусловии, что первичными параметрами являлись параметры элементов.